黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．x2+﹣1＝0 B．2x2﹣y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝02．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2023＝0的一个解，则1+a+b的值是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．20243．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1且m≠2 B．m＞1 C．m＞1且m≠2 D．m≠24．（3分）某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1+x＝4 B．（1+x）2＝4 C．1+（1+x）2＝4 D．1+（1+x）+（1+x）2＝45．（3分）（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y36．（3分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．9 B．10 C．6或10 D．8或107．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣ B．k＜﹣ C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠08．（3分）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则代数式a2+b2的值为（）A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．39．（3分）若b＜0，则二次函数y＝x2+bx﹣1的图象的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1．其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④二、填空题（每小题3分，共21分）11．（3分）将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是．12．（3分）当m时，关于x的方程（m﹣3）﹣x＝5是一元二次方程；当m＝时，此方程是一元一次方程．13．（3分）抛物线y＝ax2+x+2经过点（﹣1，0），则a＝．14．（3分）抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是．15．（3分）九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A，B两组，在每一组中进行单循环的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组的前4名选出进行比赛，最后进行决赛得出名次；若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有个班．16．（3分）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为．17．（3分）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为．三、解答题（共69分）18．（10分）解下列方程．（1）2x2﹣x﹣15＝0；（2）（x﹣1）2﹣4（x+3）2＝0．19．（8分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少．20．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．21．（8分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？22．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），且经过直线y＝x﹣3与x轴的交点B及与y轴的交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．23．（12分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？（3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？24．（14分）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；（3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标．

2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【解答】解：A、x2+﹣1＝0是分式方程；B、2x2﹣y﹣3＝0是二元二次方程；C、ax2﹣x+2＝0中若a＝0时是一元一次方程；D、3x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程；故选：D．2．【解答】解：因为x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2023＝0的一个解，所以a+b﹣2023＝0，则a+b＝2023，所以1+a+b＝2024．故选：D．3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣4（m﹣2）（﹣1）＝4m﹣4＞0且m﹣2≠0，解得：m＞1，即m的取值范围是m＞1且m≠2；故选：C．4．【解答】解：设增长率为x，依题意，得：1+（1+x）+（1+x）2＝4．故选：D．5．【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5图象上的三点，∴把函数y＝﹣x2﹣4x+5变形为：y＝﹣（x+2）2+9，∴由函数图象可知当x＝2时此函数有最大值为9，当x＞﹣2时，y的值随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3，故选：B．6．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，∵2+2＝4，∴三角形三边为4、4、2，∴△ABC的周长为10，故选：B．7．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有两个交点，∴，∴k＞﹣且k≠0．故选：D．8．【解答】解：令x＝a2+b2，则原方程可变形为x2﹣2x﹣3＝0，∵（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，又∵x＝a2+b2≥0，∴a2+b2＝3，故选：D．9．【解答】解：∵a＝1＞0，∴此函数的开口向上，∵b＜0，a＞0，∴对称轴x＝﹣＞0，即对称轴位于y轴的右侧，即可能是位于第一或第四象限；∵c＝﹣1＜0，∴与y轴的交点为在y轴的负半轴上，可能位于第三或第四象限∴二次函数y＝x2+bx﹣1的图象的顶点在第四象限．故选：D．10．【解答】解：①∵图象开口向上，与y轴交于负半轴，能得到：a＞0，c＜0，∵对称轴在y轴左边，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②当x＝1时，由图象知y＝2，把x＝1，y＝2代入解析式得：a+b+c＝2，故②正确；③由图象得，﹣＞﹣1，∴b＜2a，由①②得，a+b+c＝2，c＜0，∴2＝a+b+c＜a+2a+c＝3a+c，∴3a+c＞2，∴a＞（2﹣c），∵c＜0，∴2﹣c＞2，∴a＞，∴a＞，故③正确；④由图象得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，由①②得，a+b+c＝2，c＜0，∴（a+b+c）﹣（a﹣b+c）＞2，∴2b＞2，∴b＞1，故④错误；综上，②③正确．故选：B．二、填空题（每小题3分，共21分）11．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k，∴h＝3，k＝﹣8，则h+k＝﹣5，故答案为：﹣5．12．【解答】解：由一元二次方程的特点得m2﹣7＝2，即m＝±3，m＝3舍去，即m＝﹣3时，原方程是一元二次方程；由一元一次方程的特点得m2﹣7＝1，即m＝±2或m﹣3＝0，即m＝3时，原方程是一元一次方程．由一元一次方程的特点得m2﹣7＝0，即m＝±时，原方程是一元一次方程．13．【解答】解：把点（﹣1，0）代入y＝ax2+x+2，得a﹣1+2＝0，∴a＝﹣1．14．【解答】解：根据题意：p2﹣4×9×4＝0，解得p＝±12．15．【解答】解：设A组共有x个班级．依题意得：，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去），∴九年级共有7×2＝14个班级．故答案为：14．16．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，DE在x轴上，y轴经过最高点C，设AB与y轴交于点H，∵DE＝36m，∴D（﹣18，0），E（18，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣18）（x+18），∵AB＝24m，∴AH＝BH＝12m，设OH＝k，则A（﹣12，k），∵拱桥最高点C到AB的距离为8m，∴C（0，k+8），将点A和点C的坐标代入抛物线解析式得：，解得：，∴点E到直线AB的距离为10m．故答案为：10m．17．【解答】解：由x2+3x+y﹣3＝0得y＝﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y＝x﹣x2﹣3x+3＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值为4．故答案为：4．三、解答题（共69分）18．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣15＝0，（2x+5）（x﹣3）＝0，∴2x+5＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣，x2＝3；（2）（x﹣1）2﹣4（x+3）2＝0，（x﹣1）2＝4（x+3）2，∴x﹣1＝2（x+3）或x﹣1＝﹣2（x+3），解得x1＝﹣7，x2＝﹣．19．【解答】解：根据题意得：m2﹣m＝0，且m﹣1≠0，解得：m＝0，即m的值为0．20．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．21．【解答】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，又因为点A（0，2）在抛物线上，所以有2＝a（0﹣4）2+6．所以a＝﹣．因此有：y＝﹣（x﹣4）2+6．（2）令y＝4，则有4＝﹣（x﹣4）2+6，解得x1＝4+2，x2＝4﹣2，|x1﹣x2|＝4＞2，∴货车可以通过．22．【解答】解：（1）把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝3，则B点坐标为（3，0）；把x＝0代入y＝x﹣3得y＝﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入A（﹣1，0），得a（0+1）（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（3））∵OC＝OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∵OD⊥BC，∴∠BOD＝45°，即直线OD为二、四象限角平分线，∴直线OD的解析式为y＝﹣x，联立抛物线则有：y＝x2﹣2x﹣3＝﹣x，解得x＝或，∵点M在第四象限，∴x＝，将x＝代入抛物线得，∴M（，）．23．【解答】解：（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果为500﹣10×（60﹣50）＝400（千克）；答：每月销售水果400千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8000＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，整理得，解得：x1＝60，x2＝80，答：每千克水果售价为60元或80元；（3）由题意得，500﹣10（x﹣50）≥400，解得x≤60，∴40≤x≤60，设获得的月利润为y元，由题意可得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10（x﹣70）2+9000，∴当x＝60时，y有最大值为8000元，答：当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元．24．【解答】解：（1）∵OC＝3OA，A（﹣1，0），∴C（0，﹣3）．把点A，C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得，解得，∴抛物线线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N．∵抛物线线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴B（3，0），∴AB＝4，∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB×OC+×DM×（BN+ON）＝6+×DM×OB＝6+DM，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴