3.5 利用圆柱的体积求不规则物体的体积（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（人教版）

3.5利用圆柱的体积求不规章物体的体积第一部分第一部分学问清单V=ShV=πr2h依据体积不变的特性，明确瓶子正放和倒放时空余无水部分的容积是相等的，这样就把不规章的图形转化成规章的图形了，体现了转化的思想方法。其次部分其次部分典型例题例1：一个圆柱体容器底面直径4dm，水面高2dm，放入5个质量一样的小铁球后，水面上升到3dm。小海用算式“”计算的是（

）。A．每个小铁球的体积 B．5个小铁球的体积C．圆柱形容器里水的体积 D．圆柱形容器里水的体积和5个小铁球的体积答案：A分析：分析算式“”，“”求的是底面积，是水面上升的高度，铁球总体积＝圆柱底面积×水面上升的高度，因此“”求的是5个小铁球的体积，再除以5是求每个小铁球的体积。详解：依据分析，算式“”计算的是每个小铁球的体积。故答案为：A例2：如图，依据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（

）mL。A．108π B．72π C．54π答案：B分析：同一个瓶子的容积不变，水的体积不变，则瓶子中的空气体积也相同，所以瓶子的容积＝左图中水的体积＋右图中空气的体积。先依据圆柱的体积分别求出左图中水的体积和右图空气的体积；再把二者加起来即可求出瓶子的容积。详解：＝＝＝＝（cm3）cm3＝mL所以瓶子的容积是mL。故答案为：B例3：如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，依据图中的数据（数据是从瓶子里面测量得到的）可知瓶中水的体积是()立方厘米，瓶中水的体积占瓶子容积的()%。

答案：141.325分析：（1）圆柱的体积，把直径6厘米，高5厘米代入公式计算即可求出水的体积。（2）瓶子的容积＝有水部分的容积＋无水部分的容积，即求瓶子的容积列式为3.14×（6÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×15；再用瓶中水的体积÷瓶子的容积即可。详解：3.14×（6÷2）2×5＝3.14×32×5＝3.14×9×5＝28.26×5＝141.3（立方厘米）3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×15]＝3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×（5＋15）]＝3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×20]＝5÷20＝25%所以瓶中水的体积是141.3立方厘米，瓶中水的体积占瓶子容积的25%。例4：如图一个瓶身是圆柱形的饮料瓶，内直径是5cm，里面装满了饮料。小多喝了一些后，瓶中饮料的高度是10cm。把瓶盖拧紧后倒置放平，此时无饮料部分是圆柱形，且高度是6cm，这个饮料瓶的容积是()mL。答案：314分析：观看图形可知，这个饮料瓶的容积等于底面直径是5cm，高是（10＋6）cm的圆柱的容积，依据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。详解：3.14×（5÷2）2×（10＋6）＝3.14×6.25×16＝19.625×16＝314（cm3）＝314（mL）则这个饮料瓶的容积是314mL。：基础过关练一、选择题1．一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，放置状况如图所示，水的体积与瓶子容积的比是（

）。A．2∶3 B．3∶4 C．6∶72．如图，一个酒瓶里面深25厘米，底面内直径是10厘米，瓶里酒深13厘米。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深20厘米，酒瓶的容积是（

）毫升。A．392.5 B．1570 C．1413 D．1962.53．如下图，一个饮料瓶高30cm，瓶内饮料的高度是7cm，将这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是18cm。已知这个饮料瓶的容积是1200mL，则瓶内的饮料有（

）。A．48m B．280mL C．336mL D．无法确定4．一个圆柱形玻璃容器内盛着水，底面半径是厘米，把一个正方体铁块浸没水中，水面上升了厘米，这个铁块的体积是（

）立方厘米。A． B． C．5．如图所示，把一块磁铁完全浸没在圆柱形容器的水中，依据浸没前后两次测量的数据计算这块磁铁的体积大约是（

）立方厘米。（玻璃厚度忽视不计，π取3.14）A．75.36 B．18.84 C．12.56 D．25.12二、填空题6．一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10cm，把一块完全浸在这个容器的水中的铁块取出后，水面下降2cm。这个铁块的体积是()cm3。7．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别为10厘米和20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中浸没一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块浸没于乙杯，且乙杯中的水未外溢。这时乙杯中的水位上升了()厘米。8．如图，水的体积和容器的容积比是。9．（如图）一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分的圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是()mL。10．一个饮料瓶内饮料的高度是4cm，将这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是10cm。已知这个饮料瓶的容积是210mL，则这个饮料瓶的底面积是()。三、推断题11．圆柱体的底面积不变时，圆柱体的高扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的2倍。()12．把一个圆柱形木料锯成两段，它的体积和表面积都不会发生变化。()13．一张长方形纸片，长是15cm，宽是8cm。把它卷成一个最大的圆柱，这个圆柱的侧面积是120cm2。()14．一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到它的8倍。()15．用圆柱体侧面积的一半乘底面半径等于这个圆柱的体积。()：培优提升练四、解答题16．如图，有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶内饮料是240毫升，正放时，液体高20厘米，倒放时瓶中空白部分高5厘米，求瓶子的容积是多少毫升？17．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10厘米，高是12厘米，一块石头完全浸没在水里，量得水深9.5厘米，将石头取出后，水深是7.5厘米，这块石头的体积是多少？18．在一个底面半径为80厘米圆柱形的鱼缸里，放进一个石山做装饰（完全浸没），水面由原来40厘米升为50厘米的，问这个石山体积是多少？19．孙楠利用两种方法测量石块的体积（如下图）：（1）这两种方法有什么相同和不同的地方？想一想，写一写。（2）选择你宠爱的一种方法计算这块石块的体积。20．有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），底面直径是6厘米，瓶子的高度为30厘米，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时饮料的高度为25厘米（见下图）。问：瓶子的容积是多少？

21．春风学校组织同学去科技馆参观，李老师做了一个试验：把一段圆柱形钢材垂直放入一个圆柱形的水桶中，钢材露出水面10厘米时，水面上升6厘米；再把钢材全部浸入水中，水面又上升2厘米。已知钢材的底面半径是5厘米，你能求出这段钢材的体积吗？

1．B分析：由图可知，正放时瓶子中水的体积＋倒放时瓶子中空白部分的体积＝瓶子的容积，利用“”分别表示出水的体积和瓶子的容积，再依据比的意义求出水的体积与瓶子容积的比，据此解答。详解：假设正放时瓶子的底面积为S。水的体积：（立方厘米）瓶子的容积：＝（立方厘米）水的体积∶瓶子的容积＝∶＝12∶16＝（12÷4）∶（16÷4）＝3∶4所以，水的体积与瓶子容积的比是3∶4。故答案为：B点睛：把握圆柱的体积计算公式，把瓶子的容积看作两个圆柱的体积之和是解答题目的关键。2．C分析：依据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（10÷2）2×13即可求出酒的体积，然后用3.14×（10÷2）2×（25－20）即可求出空白部分的体积，最终将两部分相加即可；然后把单位换算成毫升。据此解答。详解：3.14×（10÷2）2×13＋3.14×（10÷2）2×（25－20）＝3.14×52×13＋3.14×52×5＝3.14×25×13＋3.14×25×5＝1020.5＋392.5＝1413（立方厘米）1413立方厘米＝1413毫升酒瓶的容积是1413毫升。故答案为：C点睛：本题主要考查了圆柱的体积公式的机敏应用，要娴熟把握公式。3．C分析：由题意可知，这个瓶子的容积＝图一饮料的体积＋图二空气的体积，依据圆柱的容积公式：V＝Sh，据此求出瓶子的底面积，进而求出饮料的体积。详解：1200÷（7＋18）＝1200÷25＝48（cm2）48×7＝336（cm3）＝336（mL）则瓶内的饮料有336mL。故答案为：C点睛：本题考查圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。4．B分析：正方体铁块放入水中后，水面上升的高度为h厘米，铁块的体积等于水面上升的体积，水面上升的体积可看作底面积为平方厘米，高为h厘米的圆柱的体积，依据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入数据即可求出这个铁块的体积。详解：依据分析得，V＝Sh＝故答案为：B点睛：此题的解题关键是把握求不规章物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，机敏运用圆柱的体积公式求解。5．D分析：依据不规章物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此可求出磁铁的体积。详解：3.14×（8÷2）2×（4－3.5）＝3.14×16×0.5＝50.24×0.5＝25.12（立方厘米）故答案为：D点睛：本题考查不规章物体的体积，明确不规章物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度是解题的关键。6．157分析：完全浸在这个容器的水中的铁块取出后，铁块的体积＝水面下降的体积，水面下降的体积可看作底面半径为（10÷2）cm，高为2cm的圆柱的体积，依据圆柱的体积公式，把数据代入即可得解。详解：3.14×（10÷2）2×2＝3.14×52×2＝3.14×25×2＝157（cm3）即这个铁块的体积是157cm3。点睛：此题的解题关键是把握不规章物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，机敏运用圆柱的体积公式，解决问题。7．0.5分析：甲杯中浸没一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米，则铁块的体积是底面直径为10厘米，高为2厘米的圆柱的体积，再除以乙杯底面积，求出乙杯水面上升的高度。详解：（立方厘米）（厘米）所以这时乙杯中的水位上升了0.5厘米。点睛：本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是把握题中的数量关系。8．1∶4分析：瓶子整体是个不规章容器，当瓶子正放时水的体积是6厘米高圆柱的体积，瓶子倒置时，空气的体积是28－10＝18厘米高圆柱的体积，瓶子的体积就等于（6厘米圆柱）水的体积与（18厘米圆柱）空气体积的和，据此解答。详解：28－10＝18（厘米）18＋6＝24（厘米）水的体积和容器的容积比是6∶24即1∶4。点睛：求不规章物体的体积或容积，可以利用转化思想将其转化成规章的物体进行计算。9．1256分析：瓶子容积＝水的体积＋空白部分的容积，观看左右两幅图，可以将瓶子容积看成底面直径8cm，高（7＋18）cm的圆柱，依据圆柱体积＝底面积×高，即可求出容积。详解：8÷2＝4（cm）3.14×42×（7＋18）＝3.14×16×25＝1256（cm3）＝1256（mL）这个瓶子的容积是1256mL。点睛：关键是利用转化思想，将不规章物体的体积转化为圆柱进行计算。10．15分析：从图中可知，瓶子的两种放法，饮料、无水部分的容积是不变的，将右图中圆柱形的无水部分移到左图，替换掉左图不规章的无水部分，则这个饮料瓶的体积相当于一个以瓶子的底面为底面，高为（4＋10）cm的圆柱的体积；已知这个饮料瓶的容积，依据圆柱的底面积公式S＝V÷h，求出瓶子的底面积，留意单位的换算。详解：210mL＝210cm3210÷（4＋10）＝210÷14＝15（cm2）即这个饮料瓶的底面积是15。点睛：本题考查圆柱体积（容积）计算公式的机敏运用，关键是把不规章的饮料瓶看作等体积的圆柱，利用圆柱的体积公式列式计算。11．√分析：圆柱体的体积＝底面积×高，圆柱体的底面积不变，高扩大到原来的2倍，依据一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也会随之扩大到相同的倍数，所以体积就扩大到原来的2倍，由此可以推断。详解：由分析可知，圆柱体的底面积不变，高扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的2倍。故答案为：√12．×分析：如下图，把一个圆柱形木料锯成两段，两个小圆柱的底面积等于原来圆柱的底面积，两个小圆柱的高的和等于原来圆柱的高，所以两个小圆柱的体积和等于原来这个圆柱的体积；把一个圆柱形木料锯成两段，增加了两个圆柱的底面积，即两个小圆柱的表面积的和比原来圆柱的表面积多了两个底面积，所以两个小圆柱的表面积和大于原来这个圆柱的表面积。详解：把一个圆柱形木料锯成两段，它的体积不会发生变化；表面积变大了。即原题说法错误。故答案为：×点睛：解决此类题可接受画图法。通过画图，使题意形象具体，一目了解，以便较快找到解题途径。画图法对解答条件隐蔽、简单的问题，可以起到化难为易的作用。13．√分析：由题意可知，把一张长方形纸片卷成一个最大的圆柱，则该圆柱的侧面积等于长方形的面积，依据长方形的面积公式：S＝ab，据此计算即可。详解：15×8＝120（cm2）则这个圆柱的侧面积是120cm2。原题干说法正确。故答案为：√点睛：本题考查圆柱的侧面积，明确该圆柱的侧面积就是长方形的面积是解题的关键。14．√分析：依据圆柱的体积公式：V＝πr2h，积的变化规律，可知假如一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到它的（2×2×2）倍。据此解答。详解：假设圆柱的底面半径是1，高也是1，则圆柱的体积是：3.14×1×1×1＝3.14扩大后底面半径和高：1×2＝2扩大后圆柱的体积：3.14×2×2×2＝25.1225.12÷3.14＝8假如一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到它的8倍。原题干说法正确。故答案为：√点睛：本题主要考查了圆柱的体积公式的应用。15．√分析：依据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆柱的侧面积是S＝2πrh，则侧面积的一半是πrh，侧面积的一半乘半径的为πrh×r＝πr2h，据此推断即可。详解：圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆柱的侧面积是S＝2πrh，则侧面积的一半是πrh，侧面积的一半乘半径的积为πrh×r＝πr2h，因此，题干中的结论是正确的。故答案为：√点睛：此题考查的目的是理解把握圆柱的体积公式、圆柱的侧面积公式及应用，关键是熟记公式。16．300毫升分析：依据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高；底面积＝容积÷高，用瓶内饮料的容积除以此时的高度，即240÷20，求出这个饮料瓶底的底面积；空白处的容积等于底面积是圆柱形饮料瓶的底面积，高是5厘米的圆柱的容积，代入数据，求出空白处的容积，再加上瓶内饮料的容积，留意单位名数的换算；即可解答。详解：240毫升＝240立方厘米240÷20＝12（平方厘米）12×5＝60（立方厘米）60立方厘米＝60毫升60＋240＝300（毫升）答：瓶子的容积是300毫升。17．157立方厘米分析：依据题意，把一块石头完全浸没在装有水的圆柱形容器里，水深9.5厘米，将石头取出后，水深是7.5厘米，那么这块石头的体积等于水下降部分的体积；水下降部分是一个底面直径10厘米，高（9.5－7.5）厘米的圆柱，依据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这块石头的体积。详解：10÷2＝5（厘米）3.14×52×（9.5－7.5）＝3.14×25×2＝157（立方厘米）答：这块石头的体积是157立方厘米。18．200960立方厘米分析：不规章物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，再结合圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。详解：3.14×802×（50－40）＝3.14×6400×10＝20096×10＝200960（立方厘米）答：这个石山体积是200960立方厘米。19．（1）见详解（2）96立方厘米分析：（1）依据图示可知，两种方法都用到了转化思想。第一种将石块的体积转化成上升的水的体积，其次种方法是将石块的体积转化成削减的长方体的体积；（2）方法不唯一，如选择其次种，用带有石块的长方体的体积减去取出石块后的体积，它们的差即为石块的体积。详解：（1）相同点：通过转化，