3.4 质数与合数（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学五年级下册同步培优讲义（苏教版）

3.4质数与合数第一部分第一部分学问清单一个数，假如只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。如2、3、5都是质数。一个数，假如除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。如4、6、9都是合数。1的因数只有1个。1既不是质数，也不是合数。质数与合数的个数都是无限的，没有最大的质数或合数。最小的质数是2，最小的合数是4。其中，2是唯一一个既是偶数又是质数的数。自然数（不包括0）可以分成质数、合数和1三大类。其次部分其次部分典型例题例1：将分别标有1、2、3、4、5的五张卡片放在一个口袋里，从口袋里任意摸出一张，摸后放回，下面（

）说法是正确的。A．摸到奇数的可能性比偶数的大 B．摸到偶数的可能性最大C．摸到质数的可能性最小 D．摸到合数的可能性最大答案：A分析：找出1、2、3、4、5中奇数、偶数、质数、合数的个数，再依据数量的多少进行比较，数量最多的，摸到的可能性最大，数量最少的，摸到的可能性最小，数量相等的，摸到的可能性一样。详解：五张卡片中奇数有1、3、5共3个；偶数有2、4共2个；质数有2、3、5共3个；合数只有4共1个。3＝3＞2＞1所以摸到奇数、质数的可能性相等，摸到偶数的可能性居中，摸到合数的可能性最小。故答案为：A点睛：本题主要考查可能性的大小，找格外数、偶数、质数、合数的个数是解题的关键。例2：甲数是一个质数，乙数是一个合数，它们的和是11，甲、乙两数相乘的积最小是()，把这个乘积分解质因数是()。答案：1818＝2×3×3分析：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。先把11拆分两个数相加，找出符合题意的全部状况，再找出最小的积即可；分解质因数是将合数写成几个质数相乘的形式表示出来。据此解答。详解：11＝1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6符合题意的只有2＋9、3＋8、4＋7、5＋6；2×9＝183×8＝244×7＝285×6＝3018＜24＜28＜3018＝2×3×3甲数是一个质数，乙数是一个合数，它们的和是11，甲、乙两数相乘的积最小是18，把这个乘积分解质因数是18＝2×3×3。点睛：本题主要考查了质数、合数以及分解质因数的生疏和应用，要娴熟把握每个学问点。例3：两个质数的和不肯定是合数。()答案：√分析：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，通过对质数和合数的生疏解题即可。详解：由分析可得：比如质数2和3，它们的和为：2＋3＝55，只有1和它本身两个因数，所以5也是质数，由此可见，两个质数的和不肯定是合数。故答案为：√点睛：本题考查的是质数和合数的有关学问，需要娴熟把握概念，同时不能光死记硬背概念，而是要把对概念的理解，娴熟的运用到题目中来。例4：哥哥和妹妹的年龄是两个质数，已知这两个质数的积是85，则哥哥和妹妹分别是多少岁？答案：哥哥17岁：妹妹5岁分析：把85写成两个质数相乘，其中较大的数是哥哥的年龄，较小的数是妹妹的年龄。详解：85＝17×5，所以哥哥17岁，妹妹5岁。答：哥哥17岁，妹妹5岁。点睛：解答此题的关键在于知道85是两个质数17和5的积。：基础过关练一、选择题1．假如a、b为非0自然数，那么3a＋3b的结果肯定是（

）。A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数2．学校阶段学了很多数学学问，它们之间有亲密的联系。下列不能正确表示它们之间关系的是（

）。A． B． C．3．有名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个质数之和。下列3个算式中，符合这个猜想的是（

）。A．4＝1＋3 B．40＝23＋17 C．20＝9＋114．将分别标有数字2、3、4、5、6、7的六个同样小球放在一个不透亮     的袋子里，从袋子里任意摸出一个球，摸到标有（

）的球可能性最小。A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数5．哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和，下面的式子中反映这个猜想的是（

）。A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．54＝7＋47二、填空题6．在括号里填不同的质数。20＝()＋()

20＝()＋()7．已知，均为质数，且＝32，那么与的乘积最小是()，最大是()。8．一个四位数，它个位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的合数，百位上的数是合数且是奇数，千位上最小的质数，这个四位数是()。9．在1，2，17，27，49，70，87，97中，质数有()个，把70分解质因数是()。10．“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”。该猜想认为：任何大于4的偶数都是两个奇质数之和。依据这个猜想，16＝()＋()＝()＋()。11．端午节期间，小明和爸爸去大洋湾观看龙舟赛。入住酒店后，小明问爸爸：“我们的房间号是多少？”爸爸说：“房间号由三个数字组成，第一个数字代表楼层，它既是质数又是偶数；后面两个数字代表房间挨次，它是20以内最大的奇数。”小明和爸爸的房间号是()。三、推断题12．一个自然数，不是质数就是合数。()13．若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。()14．最小的合数是最小的质数的2倍。()15．质数加上1就可以变成合数。()16．哥德巴赫猜想是任何一个数都可以拆成两个质数相加。()：培优提升练四、解答题17．下面括号中被除数是大于6的质数。（1）试举例，并算出商和余数。（

）÷6＝（

）……（

）

（

）÷6＝（

）……（

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）÷6＝（

）……（

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）÷6＝（

）……（

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）÷6＝（

）……（

）

（

）÷6＝（

）……（

）（2）发觉：上面（

）÷6的余数是哪些数？（

）（3）用所学学问解释说明为什么余数不行能是其他的数？18．五（1）的同学在学习《蒜叶的生长》时，栽种了几行大蒜，每行的棵数一样多，四位同学一起数大蒜的棵数，只有一个人数对了，你知道是谁吗？你是怎样想的？请加以说明。姓名佳峰宇阳言丽玉梁棵数4143454719．按要求填一填。(1)德国数学家哥德巴赫提出猜想：“全部大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和”。该猜想成为数学中的一个有名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面符合这个猜想的是（

）。A．20＝2＋18 B．20＝3＋17C．20＝5＋15 D．20＝11＋9(2)请你仿照上面正确的例子填写：30＝()＋()，40＝()＋()。(3)从这个猜想又可推出：任意一个大于5的奇数都可以写成三个质数之和，如：11＝3＋3＋5，21＝3＋5＋13。请你再写三个符合猜想的算式。()＝()＋()＋()()＝()＋()＋()20．下面的数，哪些是质数，哪些是合数？21

23

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47

1．D分析：奇数：末尾是1、3、5、7、9的数是奇数；偶数：末尾是0、2、4、6、8的数是偶数；质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；合数：1和它本身，还有其它因数的是数合数。据此即可逐项分析。详解：A．当a＝2，b＝4，则3a＋3b＝3×2＋3×4＝6＋12＝18；18是偶数，不符合；B．当a＝1，b＝2，则3a＋3b＝3×1＋3×2＝3＋6＝9；9是奇数；不符合；C．由于3a＋3b＝3×（a＋b），那么这个数的积肯定是3的倍数，所以它不是质数；D．3a＋3b＝3×（a＋b），这个数有因数3，它肯定是合数。故答案为：D点睛：本题主要考查奇数、偶数、质数、合数的意义，娴熟把握它们的含义是解题的关键。2．A分析：合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数；偶数：能被2整除的数是偶数；等腰三角形：两条边相等的三角形是等腰三角形；正三角形：三条边相等的三角形是正三角形；正三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知数的等式就是方程；方程是等式，等式不是方程，据此即可逐项分析。详解：A．偶数和合数不是包含关系，2是偶数，但不是合数，所以选项A不能表示它们之间的关系。B．等腰三角形两腰相等，两个底角相等，当三条边都相等时，就变成了正三角形，所以B能表示它们之间的关系。C．方程是等式，是含有未知数的等式，所以选项C能表示它们之间的关系。故答案为：A点睛：解答本题需娴熟把握分类标准，明确分类方法。3．B分析：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数，据此解答即可。详解：由分析可得：A．4＝1＋3，1不是质数，所以不符合题意；B．40＝23＋17中，23和17都是质数，所以符合题意；C．20＝9＋11中，9不是质数，其有1、3、9三个因数，所以不符合题意；故答案为：B点睛：本题考查了质数和偶数的概念，生疏概念的同时也要会结合题目机敏运用。4．D分析：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。不确定大事发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。所以合数最少，摸到标有合数的球可能性最小。详解：奇数有3、5、7，共3个；偶数有2、4、6，共3个；质数有2、3、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。2＜3＜4合数最少，摸到标有合数的球可能性最小。故答案为：D点睛：本题主要考查可能性大小的推断，理解不确定大事发生的可能性的大小与事物的数量有关。5．C分析：依据质数的定义，除了1和它本身外，没有其它因数的数叫质数；是2的倍数是数是偶数，不是2的倍数的数是奇数，依据题意“这个猜想的内容是任何大于2的偶数都是两个质数之和”进行推断逐项分析即可。详解：A．“4＝1＋3”中1既不是质数，也不是合数，不符合猜想；B．“13＝2＋11”中13是奇数，不是偶数，不符合猜想；C．“54＝7＋47”中54是偶数，7和47是质数，符合猜想；故答案为：C点睛：此题考查了质数的意义以及拓展应用，要娴熟把握娴熟把握质数的意义是解答本题的关键。6．317713分析：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。1既不是质数也不是合数，据此解答。详解：由分析可知：20＝3＋1720＝7＋13点睛：本题考查了质数的生疏以及应用，把握质数的定义是解答本题的关键。7．87247分析：一个数的因数只有1和它本身两个因数，这样的数就是质数；找到和是32的两个质数，然后把它们相乘即可。详解：32＝3＋29；32＝13＋193×29＝87；13×19＝247所以m与n的乘积最小是87，最大是247。点睛：本题考查质数，明确质数的定义是解题的关键。8．2949分析：最大的一位数是9；依据合数的意义：在自然数中，除了1和它本身还有别的因数的数是合数；最小的合数是4；百位上的数是合数且是奇数，即百位上是9，在自然数中，除了1和它本身，没有别的因数的数是质数，最小的质数是2，由此即可解答。详解：由分析可知：这个四位数是：2949。点睛：本题主要考查质数、合数的意义，娴熟把握它们的意义并机敏运用。9．370＝2×5×7分析：只有1和它本身两个因数的数叫做质数，除了1和它本身还有其它因数的数叫做合数，据此推断在1，2，17，27，49，70，87，97中质数的个数；把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数；据此解答。详解：在1，2，17，27，49，70，87，97中，2、17、97是质数，所以在1，2，17，27，49，70，87，97中，质数有3个。70＝2×5×7，所以把70分解质因数是70＝2×5×7。点睛：本题考查质数的生疏及合数分解质因数的方法。10．313511分析：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身之外没有其它因数，这样的数叫质数。据此将16分成两个奇质数的和即可。详解：16＝3＋13＝5＋11点睛：关键是理解奇数、偶数、质数、合数的分类标准。11．219分析：一个数，假如只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，假如除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。详解：第一个数字代表楼层，它既是质数又是偶数，即2；后面两个数字代表房间挨次，它是20以内最大的奇数，即19；小明和爸爸的房间号是219。点睛：本题考查质数、偶数与奇数的意义及应用，明确2是最小的质数，也是偶数中唯一的质数。12．×分析：一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数。一个数的因数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数，1既不是质数，又不是合数。据此推断即可。详解：由分析可知：1是自然数，它既不是质数也不是合数，原题说法错误。故答案为：×点睛：本题考查质数和合数，明确质数和合数的定义是解题的关键。13．√分析：正方形面积＝边长×边长；除了1和本身还有别的因数的数，是合数。据此分析推断。详解：由于正方形面积＝边长×边长，所以正方形的面积至少有3个因数，分别为1、本身和边长。所以，若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。故答案为：√点睛：本题考查了质数和合数、正方形的面积，把握面积公式、质数和合数的定义是解题的关键。14．√分析：质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数；最小的质数是2，最小的合数是4，用4除以2即可推断。详解：由分析可知：4÷2＝2最小的合数是最小的质数的2倍，原题说法正确。故答案为：√点睛：本题主要考查质数和合数的意义，娴熟把握它的意义是解题的关键。15．×分析：自然数中除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此举例，继而得出结论。详解：如：2是质数，2＋1＝3，而3是质数，所以全部的质数加上1后都是合数说法错误。故答案为：×点睛：解答此题应依据质数和合数的含义，并结合题意，举例说明即可。16．×详解：200百多年前，德国数学家哥德巴赫猜想发觉每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和；同时，欧拉又补充指出：任何大于2的偶数都是两个质数之和；后来这两个命题被合称为“哥德巴赫猜想”；原说法中没有限定“任何大于2的偶数”，所以说法错误。故答案为：×17．（1）7；1；111；1；513；2；117；2；519；3；123；3；5（2）大于6的质数；1或5（3）见详解分析：（1）一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，找出大于6的质数，计算出商和余数；（2）依据大于6的质数÷6，得到余数进行解答；（3）依据余数是其他数，那么被除数就不行能是质数，据此解答。详解：（1）试举例，并算出商和余数。（7）÷6＝1…1

（11）÷6＝1…5（13）÷6＝2…1

（17）÷6＝2…5（19）÷6＝3…1

（23）÷6＝3…5（2）发觉：上面（大于6的质数）÷6的余数是（1或5）。（3）大于6的质数做被除数余数不能为2和3、4，若余数是2或4，则被除数是偶数，不是质数；若余数为3，那么被除数肯定能整除3，也不是质数，所以余数只能是1或5，不行能是其他数。点睛：娴熟把握质数的意义以及偶数