3.2 圆柱的展开图（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（人教版）

3.2圆柱的开放图第一部分第一部分学问清单我们发觉，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时，侧面开放是正方形。圆柱的侧面不是沿高剪开，可以得到一个平行四边形。圆柱的侧面沿高剪开的开放图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的宽（或边长）等于圆柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时，沿高剪开的侧面开放图是一个正方形。所以一般说圆柱的开放图就是上下两个圆加中间的侧面开放图（长方形或正方形）。其次部分其次部分典型例题例1：用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面（

）圆形铁片正好做成圆柱形容器。A．r＝1 B．d＝3 C．d＝9 D．r＝4答案：D分析：依据圆柱侧面开放图的特征，圆柱的侧面沿高开放是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长、宽等于圆柱的高，依据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，r＝C÷π÷2，据此求出直径或半径，问题即可得到解决。详解：若长方形的长为底面周长，直径为：25.12÷3.14＝8（厘米）半径为：8÷2＝4（厘米）若长方形的宽为底面周长，直径为：18.84÷3.14＝6（厘米）半径为：6÷2＝3（厘米）所以只有D符合题意。故答案为：D例2：用一块长为25.12cm，宽为18.84cm的长方形铁皮，配下面（

）的圆形铁皮正好可以做成圆柱形容器。A．r＝1cm B．d＝3cm C．r＝4cm D．d＝9cm答案：C分析：依据题意分析，当长方形的长或者宽等于圆形铁皮的周长时可以做成圆柱形容器。圆周长＝π×d，即25.12＝π×d或者18.84＝π×d，据此列式解答。详解：当长方形长等于圆周长时；25.12÷3.14＝8（cm），即圆形铁皮直径是8cm，则半径为8÷2＝4（cm）。当长方形宽等于圆周长时：18.84÷3.14＝6（cm），即圆形铁皮直径为6cm，则半径为6÷2＝3（cm）。即圆形铁皮的直径是8cm，半径为4cm或直径是6cm，半径为3cm。A．r＝1cm，即半径是1cm，不符合题意。B．d＝3cm，即直径是3cm，不符合题意。C．r＝4cm，即半径是4cm，符合题意。D．d＝9cm，即直径是9cm，不符合题意。故答案为：C例3：把一个圆柱形罐头盒的侧面包装纸开放，得到一个正方形，这个圆柱形罐头盒的底面半径是5厘米，那么它的高是()厘米。答案：31.4分析：依据底面周长公式：C＝2πr，用2×3.14×5即可求出底面周长，依据圆柱的侧面积＝底面周长×高，假如侧面开放得到一个正方形，则底面周长和高相等，据此得出高。详解：2×3.14×5＝31.4（厘米）高是31.4厘米。例4：一个圆柱形纸筒，把它沿虚线剪开（如图），得到的长方形的长是()cm，宽是()cm。答案：21.984分析：由图可知：圆柱的底面直径是7cm，高是4cm，将圆柱形纸筒沿虚线剪开得到一个长方形，依据圆柱侧面开放图的特征，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，依据圆的周长公式C＝πd，代入数据解答即可。详解：由分析可知：长方形的长：3.14×7＝21.98（cm）长方形的宽＝圆柱的高＝4cm：基础过关练一、选择题1．将圆柱体的侧面沿AB剪开再开放，所得到的侧面开放图可能是（

）。A．①② B．①③ C．①②③ D．③④2．把一个圆柱体沿底面直径竖直剖开，截面是一个正方形，这个圆柱的（

）相等。A．底面直径和高 B．底面周长和高 C．底面积和侧面积3．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种铁皮可供搭配（如图），应选择（

）。

A．①和③ B．②和④ C．②和③4．已知一个圆柱的高是10cm，底面圆的半径是3cm，它的侧面开放图是（

）。A．

B．

C．

5．下面（

）图形是圆柱的开放图。（单位：厘米）A．

B．

C．

6．用下图中的长方形纸围成一个圆柱，下面（

）不能做底面。

A．直径3的圆 B．直径4的圆 C．直径5的圆二、填空题7．一张长方形的纸，长是8cm，宽是6cm，以长所在直线为轴旋转一周形成一个()，这个立体图形的高是()cm，长方形的宽等于这个立体图形的()。8．把一个底面半径是3cm，高是6cm的圆柱沿高开放，侧面开放后得到一个长方形，这个长方形的长是()cm，宽是()cm，面积是()cm2。9．把一个圆柱体的侧面开放后，得到一个长方形。长方形的长是6.28分米，宽是3.14分米。这个圆柱体的底面半径是()分米，或是()分米。10．圆柱的上、下两个底面都是()（图形的名称），并且大小()。把圆柱的侧面沿高剪开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面()，圆柱的高等于长方形的()。11．一个圆柱的侧面开放后是一个周长为75.36厘米的正方形，这个圆柱的底面半径是()厘米。三、推断题12．圆柱的侧面沿直线剪开，不是长方形就是正方形。()13．一个圆柱，底面半径是4dm，高是8dm，将它的侧面沿高剪开，会得到一个正方形。()14．圆柱的高是底面直径的π倍，侧面沿高开放后是一个正方形。()15．有一个圆柱的底面直径和高相等，它的侧面可以开放成一个正方形。()16．一个圆柱，底面直径是10cm，侧面开放后得到一个正方形，这个圆柱的高是31.4cm。()：培优提升练四、解答题17．

（1）如图，将边长为20厘米的正方形围成一个最大的圆柱，那么正方形的边长就是圆柱的（

）。（2）这张纸还可以通过什么方式形成圆柱？请写出正方形与形成的圆柱之间的联系。18．“三八”妇女节，小华想送给妈妈一个自制的笔筒，并且自己制作一个无盖礼品盒。有以下几种型号的彩纸可供搭配选择。（1）选择（

）号和（

）号彩纸可以制作一个无盖的礼品盒。（2）做这个无盖的礼品盒至少需要多少平方厘米的彩纸？19．如图，用下面的长方形硬纸卷成圆柱形小笔筒，再给这个笔筒配一个底，想一想，还需要多少平方厘米的硬纸片？（请写出两种状况）20．怎样选择下面的材料制作一个水桶，最多有几种方案？并说一说每一种方案的理由。

1．A分析：图中AB为圆柱的高，将圆柱的侧面沿高开放，得到长方形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高，当底面周长等于高时，侧面沿高开放得到的图形为正方形；将圆的侧面沿高开放得到的图形只能为长方形或正方形，不行能是梯形或圆，据此解答。详解：依据分析可知，将圆柱体的侧面沿AB剪开再开放，所得到的侧面开放图可能是或。故答案为：A点睛：娴熟把握圆柱的侧面开放图的特征是解答本题的感觉。2．A分析：由题意可知，把一个圆柱体沿底面直径竖直剖开，截面是一个正方形，则这个正方形的边长相当于圆柱的底面直径和高，即圆柱的底面直径和高是相等的。据此选择即可。详解：由分析可知：把一个圆柱体沿底面直径竖直剖开，截面是一个正方形，这个圆柱的底面直径和高相等。故答案为：A点睛：解答此题的关键是依据侧面开放图是一个正方形，明确圆柱的高与底面直径相等。3．C分析：由图可知，圆柱的侧面开放图是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，利用“”和“”求出③和④的周长，然后与长方形的进步行比较，即可求得。详解：③的周长：3.14×3＝9.42（dm）④的周长：2×3.14×4＝6.28×4＝25.12（dm）由上可知，②的长和③的周长相等，所以应选择②和③。故答案为：C点睛：本题主要考查圆柱的生疏，把握圆柱开放图的特征是解答题目的关键。4．C分析：如下图，圆柱的侧面沿高剪开的开放图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的一边长等于圆柱的底面周长，另一边长等于圆柱的高。先依据圆的周长求出圆柱的底面周长，再与3个选项作比较。

详解：圆柱的底面周长：2×3.14×3＝6.28×3＝18.84（cm）所以它的侧面开放图是长18.84cm，宽10cm的长方形。故答案为：C点睛：此题考查了圆柱的侧面开放图与圆柱的关系。5．A分析：圆柱的开放图是一个长方形，长方形的长相当于圆柱的底面周长，宽相当于圆柱的高，依据圆柱的底面周长公式：C＝πd，代入数据推断即可。详解：A．3×3.14＝9.42（厘米）9.42＝9.42所以是圆柱的开放图；B．9.42≠3所以不是圆柱的开放图；C．9.42≠12所以不是圆柱的开放图。故答案为：A点睛：本题主要考查了圆柱的开放图以及圆柱的侧面的长和底面周长的关系。6．C分析：由题意知：长方形纸围成一个圆柱，有两种状况，一是以长方形的长做为圆柱的底面周长，宽做为圆柱的高；另一种是以长方形的宽做为圆柱的底面周长，长做为圆柱的高。据此列式解答。详解：以长方形的长做为圆柱的底面周长，底面直径：12.56÷3.14＝4（cm）以长方形的宽做为圆柱的底面周长，底面直径：9.42÷3.14＝3（cm）直径5cm的圆不能做底面。故答案为：C点睛：了解长方形围成圆柱，会形成两种不同的底面周长是解答的关键。7．圆柱8底面圆周长分析：以长方形的长为轴旋转一周形成的图形是圆柱；此时这个圆柱的高是原长方形的长，底面圆周长是原长方形的宽。据此可得出答案。详解：以长所在直线为轴旋转一周形成一个圆柱，这个立体图形的高是原长方形的长8cm，长方形的宽等于这个立体图形的底面圆周长。8．18.846113.04分析：圆柱侧面沿高开放是一个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，长方形的面积＝圆柱侧面积，依据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。详解：2×3.14×3＝18.84（cm）18.84×6＝113.04（cm2）这个长方形的长是18.84cm，宽是6cm，面积是113.04cm2。9．10.5分析：当长方形的宽为圆柱的高时，长方形的长等于圆柱的底面周长；当长方形的长为圆柱的高时，长方形的宽等于圆柱的底面周长，利用“”求出圆柱的底面半径，据此解答。详解：6.28÷3.14÷2＝2÷2＝1（分米）3.14÷3.14÷2＝1÷2＝0.5（分米）所以，这个圆柱体的底面半径是1分米或是0.5分米。点睛：把握圆柱侧面开放图的长和宽与圆柱的底面周长和高的对应关系，并机敏运用圆的周长计算公式是解答题目的关键。10．圆/圆形相等周长宽详解：圆柱的上、下两个底面都是圆形，并且大小相等。把圆柱的侧面沿高剪开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，圆柱的高等于长方形的宽。如下图所示。

11．3分析：圆柱的侧面开放后是个正方形，则圆柱底面周长＝高＝正方形的边长，据此用正方形周长÷4，先求出底面周长，再依据圆的半径＝周长÷π÷2，列式计算即可。详解：75.36÷4＝18.84（厘米）18.84÷3.14÷2＝3（厘米）这个圆柱的底面半径是3厘米。点睛：关键是生疏圆柱特征，理解侧面开放图和圆柱之间的关系。12．×分析：圆柱的侧面沿着圆柱的高剪开可能是长方形或者正方形，沿着斜线剪开，会是一个平行四边形。详解：依据分析可知圆柱的侧面沿直线剪开，可能是长方形也可能是正方形还可能是平行四边形，故答案为：×13．×分析：若圆柱的底面周长等于圆柱的高，则它的侧面开放图是一个正方形；若圆柱的底面周长不等于圆柱的高，则它的侧面开放图是一个长方形。据此推断即可。详解：3.14×（4×2）＝3.14×8＝25.12（dm）≠8（dm）则一个圆柱，底面半径是4dm，高是8dm，将它的侧面沿高剪开，会得到一个长方形。原题干说法错误。故答案为：×点睛：本题考查圆柱的开放图，明确若圆柱的底面周长等于圆柱的高，则它的侧面开放图是一个正方形是解题的关键。14．√分析：圆柱的侧面开放图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊状况下，圆柱的侧面开放图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等。依据题意，圆柱的高是底面直径的π倍，可以圆柱的底面直径是1，则圆柱的高是π；依据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算，求出圆柱的底面周长，再与圆柱的高比较，假如圆柱的底面周长和高相等，那么圆柱的侧面开放图是正方形。详解：设圆柱的底面直径是1，则圆柱的高是π；圆柱的底面周长：π×1＝π；圆柱的底面周长＝圆柱的高所以，圆柱的侧面沿高开放后是一个正方形。原题说法正确。故答案为：√点睛：明确圆柱侧面开放图是正方形时，圆柱的底面周长和高相等。15．×分析：圆柱侧面开放图是个正方形，说明圆柱底面周长＝圆柱的高，据此分析。详解：有一个圆柱的底面直径和高相等，沿着直径切开的剖面是个正方形，侧面开放是个长方形，原题说法错误。故答案为：×点睛：关键是生疏圆柱特征，理解圆柱侧面开放图和圆柱之间的关系。16．√分析：由圆柱的侧面开放后是个正方形可知：这个圆柱的底面周长等于圆柱的高，利用圆的周长公式即可求解。详解：3.14×10＝31.4（cm）所以，这个圆柱的高是31.4cm。故答案为：√点睛：解答此题的主要依据是：圆柱的侧面开放图的特点。17．（1）高；（2）见详解分析：（1）依据圆柱的特点可知，圆柱两个底面之间的距离即是高，而两个底面是由两条相对的边围成的，所以两底面之间的距离就是一条边的边长。所以正方形的边长等于圆柱的高。（2）要形成圆柱，还可以从上往下卷，同样，圆柱的底面周长就是正方形的边长，圆柱的高就是正方形的边长。详解：（1）将边长为20厘米的正方形围成一个最大的圆柱，那么正方形的边长就是圆柱的高。（2）答：如图：把这张纸从上往下卷，形成一个圆柱；正方形与形成的圆柱之间的联系：圆柱的底面周长等于正方形的边长，圆柱的高等于正方形的边长。点睛：此题主要考查圆柱的形成以及圆柱开放图的特征。18．（1）②；③；（2）301.44平方厘米分析：（1）依据圆柱侧面开放图的特征，圆柱的侧面沿高开放是一个长方形。这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，依据圆的周长公式：C＝，或C＝，把数据代入公式求出三个圆的周长，然后与两个长方形的进步行比较即可。（2）依据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝，把数据代入公式解答。详解：（1）①号2×3.14×3＝18.84（厘米）②号2×3.14×4＝25.12（厘米）③号长方形的长等于25.12厘米。所以选择②号和③号彩纸可以制作一个无盖的礼品盒。（2）25.12×10＋3.14×42＝251.2＋3.14×16＝251.2＋50.24＝301.44（平方厘米）答：做这个无盖的礼品盒至少需要301.44平方厘米的彩纸。点睛：此题考查的目的是理解把握圆柱侧面开放图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。19．50.24平方厘米或12.56平方厘米分析：由题，长方形硬纸卷成圆柱形小笔筒有两种方法：以长为底面周长或者以宽为底面周长；依据圆的周长公式C＝2πr，先分别求出两种状况下的底面半径r，再依据圆的面积公式S＝π分别求出两种状况下的面积即可。详解：以长为底面周长时：25.12÷3.14÷2＝8÷2＝4（厘米）3.14×＝3.14×16＝50.24（平方厘米）以宽为底面周长时：12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（厘米）3.14×＝3.14×4＝12.56（平方厘米）答：还需要50.24平方厘米或12.56