3.1 因数与倍数（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学五年级下册同步培优讲义（苏教版）

3.1因数与倍数第一部分第一部分学问清单在整数乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是任何一个乘数的倍数。因数与倍数是相互依存的，不能单独说一个数是因数或一个数是倍数争辩因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。12×1=1212和1是12的因数，12是12和1的倍数。其次部分其次部分典型例题例1：甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数。那么丙数是甲数的（

）。A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数答案：C分析：设甲、乙、丙分别为A、B、C；依据因数和倍数的意义可得：A＝xB，B＝yC，故A＝xyC，所以甲数是丙数的倍数，丙数是甲数的因数，据此解答。详解：解：设甲、乙、丙分别为A、B、C；可得：A＝xBB＝yC即：A＝xyC。所以，甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数。那么丙数是甲数的因数。故答案为：C点睛：本题主要考查因数与倍数的意义，留意因数与倍数是相互依存的。例2：48÷6＝8，()和()是()的因数，()是()和()的倍数。答案：68484868分析：因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数的特点：因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。详解：48÷6＝8换成乘法算式为8×6＝48，则6和8是48的因数，48是6和8的倍数。例3：由于1.2÷0.4＝3，所以1.2是3的倍数。()答案：×分析：只在自然数（零除外）范围内争辩倍数和因数。假如a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。详解：1.2÷0.4＝3，1.2和0.4都是小数，不在因数、倍数的争辩范围，所以1.2不是3的倍数。原题干说法错误。故答案为：×例4：下面哪些数是12的因数？哪些数是18的因数？哪些数既是12的因数，又是18的因数？1

2

3

4

6

12

18答案：12的因数：1、2、3、4、6、12；18的因数：1、2、3、6、18；既是12的因数，又是18的因数：1、2、3、6分析：依据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。据此解答。详解：12的因数：1、2、3、4、6、12；18的因数：1、2、3、6、18；既是12的因数，又是18的因数：1、2、3、6。点睛：此题是考查因数的意义，留意不要忽视a、b、c为非0自然数这点。：基础过关练一、选择题1．由于5×8＝40，所以8是40的（

）。A．质因数 B．公因数 C．因数 D．倍数2．质数的倍数（

）。A．肯定是质数 B．肯定是合数 C．可能是质数也可能是合数3．4×3＝12，4和3都是12的（

）。A．倍数 B．因数 C．公倍数 D．公因数4．我们学过的很多数学学问之间有着亲密的联系，下面（

）不能正确表示它们之间的关系。A． B．C． D．5．下列说法正确的有（

）个。（1）5和7没有公因数，但5和7有公倍数。（2）一个两位数，十位上的数字是8，个位上的数字是b，这个数可表示为8b。（3）方程肯定是等式，等式不肯定是方程。（4）3的倍数肯定是9的倍数，9的倍数也肯定是3的倍数。（5）若（a、b为非0自然数），则a和b的最小公倍数是ab。A．1 B．2 C．3 D．46．下列说法正确的是（

）。A．9的倍数都是3的倍数，4的倍数都是8的倍数。B．a是b的倍数，b是c的倍数，那么a肯定是c的倍数。C．一个大于0的自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。D．甲和乙都是质数，那么甲和乙的积肯定也是质数。7．a是一个质数，则5a的因数有（

）个。A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题8．15的因数有()，其中是质数的有()，这几个质数就是15的()。9．mn＝k（m，n，k是非0自然数），m和n是k的()，k是m和n的()。10．3×4＝12，()和()是12的因数，12是3和4的()。11．一个数的最小倍数是14，那么它的最大因数是()。12．在45÷9＝5中，5和9是45的()，45是5的()，也是9的()。三、推断题13．由于2.4÷0.6＝4，所以2.4是0.6的倍数。()14．3的倍数不肯定是9的倍数。()15．由于40×0.9＝36，所以36是0.9的倍数。()16．一个自然数（0除外）的因数是有限的，倍数个数是无限的。()17．由于24÷8＝3，所以24是倍数，8是因数。()18．假如一个数是12的倍数，那么它肯定是3和6的倍数。()：培优提升练四、解答题19．小熊饼干每袋有7块。把下表填写完整，并填空。袋数1234567饼干块数714（1）小熊饼干的块数肯定是7的（

）。（2）表中7的倍数有（

）。20．你能写出几个乘积是24的算式吗？21．用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸片，一共能够裁剪成多少张？22．观看后面一组自然数。284、122、128、366、460、1728…（1）找出能被4整除的数。（2）认真观看能被4整除的这些数的末两位，看看能否被4整除。你有什发觉？把它写下来。（3）要使326□，能被4整除，□里可填（

），（

），（

）。23．21的因数有哪些？21是哪些数的倍数？

1．C分析：依据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。质因数表示因数里面的质数，公因数表示两个数公有的因数。详解：由于5×8＝40，所以8是40的因数，不是40的质因数、倍数和公因数。故答案为：C点睛：此题是考查因数和倍数的意义，留意不要忽视a、b、c为非0自然数这点。2．C分析：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。据此举例说明。详解：3是质数，3的倍数有3、6、9、12…，其中3是质数，其它数除了1和它本身，还有3等因数，即都是合数。则质数的倍数可能是质数，也可能是合数。故答案为：C点睛：一个数的最小倍数是它本身，则质数的最小倍数还是质数，但其它倍数都是合数。3．B分析：依据因数和倍数的意义：假如数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，据此解答。详解：由于12÷3＝4，12÷4＝3，所以3和4都是12的因数，12是3和4的倍数。4×3＝12，4和3都是12的因数。故答案为：B点睛：本题考查因数和倍数的意义，应明确倍数和因数是相对的，一个不能独立存在。4．B分析：A．等式包含方程，方程是等式的一种。据此解答；B．依据质数、奇数的意义，一个自然数，假如只有1和它的倍数两个因数，这样数叫做质数；不是2的倍数的数叫做奇数。据此解答；C．一个非0的自然数最大的因数和最小的倍数都是它本身。据此解答；D．两个数的公有因数叫做这两个数的公因数，据此求解。详解：A．表示方程是特殊的等式，关系图表示正确；B．2是质数，但是2不是奇数，所以关系图表示错误；C．a的最大因数和最小倍数相等，关系图表示正确；D．如：a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，a的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；b的因数有1、2、5、7、10、14、35、70；它们的公有的因数有1、2、5、10；关系图表示正确。故答案为：B点睛：本题考查了方程与等式的关系、因数倍数质数、奇数以及公因数的意义。5．B分析：（1）先列举出5和7的因数、倍数，再求出它们的公因数和公倍数，即可得出答案；（2）由于十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一，由此得出两位数的表示方法：十位数字×10＋个位数字；（3）方程是含有未知数的等式，表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；（4）举例说明：6是3的倍数，但是6不是9的倍数；（5）由于a、b都是非0的自然数，b－a＝1，那么a和b是互质数，是互质数的两个数，它们的最小公倍数即这两个数的乘积；据此推断即可。详解：（1）5的因数有1和5，7的因数有1和7，5和7的公因数是1；所以说5和7没有公因数，错误。5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70……7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70……5和7的公倍数有35、70……所以5和7有公倍数，正确。所以5和7没有公因数，但5和7有公倍数，说法错误。（2）这个两位数可写成8×10＋b＝80＋b，所以原题说法错误。（3）依据方程与等式的意义可知，方程肯定是等式，但等式不肯定是方程，说法正确。（4）由以上分析，6是3的倍数，但是6不是9的倍数；因此9的倍数肯定是3的倍数，但3的倍数不肯定是9的倍数，原题说法错误。（5）由于a、b都是非0的自然数，b－a＝1，那么a和b是互质数，则a和b的最小公倍数是ab，说法正确。说法正确的有2个。故答案为：B点睛：此题主要考查了求两个数的最小公倍数，方程与等式的关系，公因数等学问，要娴熟把握。6．B分析：依据倍数、奇数、偶数、质数、合数等学问依次分析各个选项即可。详解：A．9的倍数最小的是9，9除了有1和它本身2个约数外，还有3，所以9的倍数也都是3的倍数，这是正确的；4是4的倍数，但不是8的倍数，所以说法错误；B．依据因数和倍数的意义：假如数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。那么，a是b的倍数，b是c的倍数，那么a肯定是c的倍数，所以说法正确；C．一个大于0的自然数不是奇数就是偶数，这是正确的；但是1是自然数，1既不是质数也不是合数，所以说法错误；D．举例：2×3＝6，2和3是质数，6是合数，所以说法错误。故答案为：B点睛：此题考查的有：①4、8、3、9的倍数特征。②奇数、偶数、质数、合数与自然数的关系。留意1既不是质数也不是合数。③倍数和因数的意义。7．C分析：依据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1，最大的是它本身。依此即可求解。详解：a是一个质数，则5a的因数有1，5，a，5a，一共有4个。故答案为：C点睛：此题主要考查求一个数的因数的方法。8．1、3、5、153、5质因数分析：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。先应用列乘法算式法找到15的全部因数，再依据质数的概念，找出是质数的因数，据此解答。详解：，，所以15的因数有1，3，5，15，其中是质数的是3、5，这几个质数就是15的质因数。9．因数倍数分析：依据因数和倍数的概念可知：两个非零自然数相乘，其中这两个数都叫做积的因数；积就是两个因数的倍数。由此解答。详解：mn＝k（m，n，k是非0自然数），m和n是k的（因数），k是m和n的（倍数）。10．34倍数分析：在整数除法中，被除数和除数是非0自然数，同时商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数，因数和倍数的概念相互依存，不能单独存在，依据因数和倍数的意义：当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b和c的倍数，b和c是a的因数，据此解答即可。详解：由分析可得：由于3×4＝12，所以12÷3＝4或12÷4＝3，所以3和4是12的因数，12是3和4的倍数。综上所述：3×4＝12，3和4是12的因数，12是3和4的倍数。11．14分析：一个数的最小倍数是1倍，即它本身；最大的因数也是它本身。据此可得出答案。详解：，。即一个数的最小倍数是14，那么它的最大因数是14。12．因数倍数倍数分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。详解：由分析可得：在45÷9＝5中，5和9是45的因数，45是5的倍数，也是9的倍数。13．×分析：依据倍数的定义：一个整数能被另一个整数整除，则这个整数就是另一个整数的倍数。依据定义可知两个数都是整数，据此可得出答案。详解：2.4÷0.6＝4，被除数2.4和除数0.6都不是整数，不符合倍数的定义。即2.4不是0.6的倍数，题干表述错误。故答案为：×14．√分析：由于9是3的倍数，那么9的倍数肯定是3的倍数，3的倍数中，例如6是3的倍数，但是6不是9的倍数，据此推断。详解：3的倍数不肯定是9的倍数，如3和6是3的倍数，但不是9的倍数；所以原题说法正确。故答案为：√。点睛：本题主要考查了找一个数的倍数，解题的关键是列举出3的倍数中不是9的倍数的数。15．×分析：若整数a能够被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。详解：36÷40＝0.9，但是0.9是小数，不符合因数和倍数的意义。原题干说法错误。故答案为：×点睛：本题主要考查因数与倍数的意义，留意因数与倍数是相互依存的。16．√分析：依据因数、倍数的含义和找一个数的因数、倍数的方法，可得一个数（0除外）的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，据此解答即可。详解：由于一个数（0除外）的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，所以题中说法正确。故答案为：√点睛：此题主要考查了因数、倍数的含义和找一个数的因数、倍数的方法，要娴熟把握。17．×分析：假如a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数详解：依据24÷8＝3可得3×8＝24，所以3和8是24的因数，24是3和8的倍数。原说法错误。故答案为：×点睛：因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。18．√分析：依据因数和倍数的意义，假如数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可。详解：由于12＝3×4＝2×6所以一个数是12的倍数，这个数肯定是3和6的倍数。例如：24是12的倍数，也是3和6的倍数。故答案为：√点睛：本题主要考查了倍数的生疏。19．21；28；35；42；49（1）倍数（2）7、14、21、28、35、42、49分析：每袋饼干的数量×袋数＝饼干块数，在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，c是a、b的倍数，所以饼干块数是每袋饼干数量的倍数，即小熊饼干的块数是7的倍数，然后依次写出表中7的倍数即可。详解：填表如下：袋数1234567饼干块数7142128354249由分析可知：（1）小熊饼干的块数肯定是7的倍数。（2）表中7的倍数有7、14、21、28、35、42、49。20．见详解分析：列乘法算式找因数，依据从小到大的挨次，一组一组地写出全部积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此写出乘积是24的算式。详解