广东省2024届高三下学期百日冲刺联合学业质量监测试题（一模） 数学 含解析

广东省2024届高三“百日冲刺”联合学业质量监测数学试卷考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合，则（）A. B.C. D.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知随机变量的分布列如下：12则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A. B.C. D.5.已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（）A.四边形可能是菱形B.四边形一定是正方形C.四边形不可能是直角梯形D.平面不一定与平面垂直6.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（）A202 B.204 C.206 D.208二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的周期为B.函数的图象关于点对称C.函数在单调递减D.该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象10.已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（）A. B.存在实数，使得C.若，则 D.若直线PA与PB的倾斜角互补，则11.将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（）A.可以取到中任意一个值B.C.的值可以是任意小的正数D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中的系数为，则的值为______．13.等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为______．14.已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若点在上（与不重合），且，求的值．16.如图，在正四棱柱中，分别为的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏检率时，求临界值和错检率；（2）设函数，当时，求解析式，并求在区间的最小值．18.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点，是双曲线上一点（与不重合），直线的斜率分别为，且．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线，且与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，且，若直线与圆相切，求直线的方程．19.已知函数．（1）判断是否成立，并给出理由；（2）①证明：当时，；②证明：当时，．

广东省2024届高三“百日冲刺”联合学业质量监测数学试卷考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，且，则.故选：D2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，其对应点坐标为，所以对应的点位于第一象限，故选：A.3.已知随机变量的分布列如下：12则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】由题意可知，若，则，得，故充分性满足；若，则，解得或.当时，，此时，当时，，此时，则或，故必要性不满足.故选：A.4.设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】令，得，代入曲线，所以的最小值即为点到直线的距离.故选：B.5.已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（）A.四边形可能是的菱形B.四边形一定是正方形C.四边形不可能是直角梯形D.平面不一定与平面垂直【答案】C【解析】【分析】根据题设得到面，且四边形有外接圆，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】因为四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，可得点在底面上的投影都是四边形的外心，所以两射影重合，即有面，且四边形有外接圆，对于选项A，当四边形是的菱形时，此时四边形没有有外接圆，所以选项A错误，对于选项B，当四边形是矩形时，显然满足题意，所以选项B错误，对于选项C，因为直角梯形没有外接圆，一定不合题意，所以选项C正确，对于选项D，因为面，又面，所以平面，所以选项D错误，故选：C.6.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义结合已知条件解出，，根据焦半径的取值范围即可解出离心率范围，再结合椭圆离心率，即可求解.【详解】因为，，所以有，故，，因为，既有，，解得，又因为椭圆离心率，所以.故选：7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到，从而得到，即可求出结果.【详解】因为，得到，又，所以，所以，故选：B8.已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（）A.202 B.204 C.206 D.208【答案】C【解析】【分析】根据条件得到函数是周期为的偶函数，再根据条件得出，，即可求出结果.【详解】因为，所以①，即有②，由①②得到，所以函数的周期为，又是偶函数，所以，得到，即函数为偶函数，又由，得到，，，又，所以，故，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的周期为B.函数的图象关于点对称C.函数在单调递减D.该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象【答案】ABD【解析】【分析】由图像可知：，周期，从而利用周期公式可求出的值，再将点坐标代入解析式可求出的值，从而可得函数解析式，然后利用三角函数的图像和性质逐个分析判断即可【详解】由图像可知：，周期，∴；由解得：故函数对于A：，故A正确；对于B：故B正确；对于C：当时，所以在上不单调．故C错误；对于D：向右平移个单位得到，再把横坐标伸长为原来的2倍，可得的图象，故D正确．故选：ABD10.已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（）A. B.存在实数，使得C.若，则 D.若直线PA与PB的倾斜角互补，则【答案】CD【解析】【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可知可判断A错误；联立直线和抛物线方程利用向量数量积公式可知，恒成立，所以B错误；根据可知A，B两点的纵坐标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得，即C正确；由直线PA与PB的倾斜角互补，可知，利用韦达定理联立方程即可求出，即D正确.【详解】由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为，直线恒过，如下图所示：设，作垂直于准线，垂足为，根据抛物线定义可知，，易知，所以，但当时，此时与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此，所以，即A错误；联立直线和抛物线方程得；所以，，此时，所以，即，所以不存在实数，使得，故B错误；若AF＝2FB，由几何关系可得，结合，可得或，即或，将点坐标代入直线方程可得，所以C正确；若直线PA与PB的倾斜角互补，则，即，整理得，代入，解得或，当时，直线过点，A与P点重合，不符合题意，所以；即D正确.故选：CD11.将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（）A.可以取到中任意一个值B.C.的值可以是任意小的正数D.【答案】BD【解析】【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值.【详解】过R作圆柱的轴截面，过O作交圆柱轴截面的边于M，N，由与圆柱下底面所成的角为，则，所以，即，故B正确；当点P，Q均在球面上时，角取得最小值，此时，所以，所以，故A错误；令，所以，所以，另，解得两根，所以，所以在时单调递减，所以，故D正确，C错误；故选：BD．【点睛】关键点睛：本题主要考查运用导数求最值的方法，难度较大，解决问题的关键在于先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中的系数为，则的值为______．【答案】1【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析求解.【详解】因为的展开式的通项公式为，可知展开式中含的项为，则展开式中的系数为，解得.故答案为：1.13.等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用等差数列的定义及前项和公式即可求解.【详解】因为等差数列通项公式为，所以，，所以由，得数列是等差数列；所以数列的前100项的和为故答案为：.14.已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.【答案】【解析】【分析】分析可得，设，，可得出，可设，可得出向量的坐标，设，可得出、所满足的等式，利用向量模的三角不等式可求得的最大值.【详解】因为，即，可得，设，，则，则，设，则，因为，，则或，因为，则或，令，则或，根据对称性，可只考虑，由，记点、、，则，，所以，，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立，所以，.故答案为：.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若点在上（与不重合），且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，边转角得到，再利用即可求出结果；（2）根据题设得到，进而可求得，，再利用，即可求出结果.【小问1详解】由，得到，又，所以，又三角形为锐角三角形，所以，得到，即.【小问2详解】因为，又，所以，则，所以，由（1）知，，则，，则，又，所以.16.如图，在正四棱柱中，分别为的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件及矩形和正方形的性质，结合三角形的中位线定理即可求解；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的夹角的关系即可求解.【小问1详解】连接,则与交于点,连接并延长，则与交于点,在正四棱柱中，，所以是矩形，所以为的中点，因为底面是正方形,所以为的中点,则为的中位线，所以.【小问2详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则则设平面的一个法向量为，则,即，取，则，所以.设平面的一个法向量为，则,即，取，则，所以.设平面与平面夹角为，则故平面与平面夹角的余弦值为.17.某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏检率时，求临界值和错检率；（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据题意结合频率分布直方图求得，进而可求容错率；（2）分、两种情况，根据题意求，即可得的解析式，并根据解析式求最值.【小问1详解】由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为，可知，可得，解得，所以错检率.【小问2详解】当时，则，，可得；当时，则，，可得；所以，当且仅当时，取到最小值.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点，是双曲线上一点（与不重合），直线的斜率分别为，且．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线，且与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，且，若直线与圆相切，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，利用点差法求得的关系，再利用双曲线的定义即可得解；（2）先利用直线与圆相切得到的关系，再联立直线与双曲线的方程，推得，进而利用弦长公式得到关于