振动理论基础课程总结报告

第一章机械振动学基础第一节引言机械振动学研究的问题包括以下几个方面的内容1..建立物理模型建立数学模型方程的求解结果的阐述第二节接卸振动的运动学概念简谐振动物体简谐振动位移的三角函数式A/2n 2兀 、x=Acos（ t一甲）=Asm（ t+Q）物体简谐振动速度和度的三角函数式. 兀v=x-Awcos(wt+Q)=Awsin(wt+Q+?)a二x二一Aw2sin(wt+p)二Aw2sin(wt+p+兀)周期振动x（t）="o+EAsin（nwt+屮）TOC\o"1-5"\h\z2 n n简谐振动的合成（一）同方向振动的合成两个同频率振动的合成x二Asin(wt+屮)和x二Asin(w+屮 )111222合运动A=\KAcos屮+Acos屮)2+(Asin屮+Asin屮)2V11221122Asin屮+Asin屮tan申=―1 12 2-Acos屮+Acos屮1 12 2两个不同频率运动的合成x二Asinwt11合运动w<w12x=x+x二w<w12121122

w口w对于A二A二A1212wx=Acos(2对于A□Ax二Asinwtwx=Acos(2211二）两垂直方向振动的合成1.同频率真懂得合成w+wsin2( t)式中A=A1xw+wsin2( t)式中A=A1x2 y2 2xy合运动 +=—cos申—sm2申=0A2 B2 AB2.不同频率振动的合成x二Asinwty二Bsin(w+申)12合运动nw二mwm,n=1,2,3-----12第三节构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。d2x惯性F=m恢复性F二—kx阻尼力F二—c'xdt2 s d第四节自由度与广义坐标物体在这些约束条件下运动时，用于确定其位置所需的独立坐标就是该系统的自由度数对于n个质点组成的质点系，各质点的位移可用3n个直角坐标（x,y,z，…，x,y,z）111nnn来描述。当有r个约束条件时，约束方程为f（x,y,z，…，x,y,z）二0 k=1,2,---,rk111nnn为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r个独立的坐标q=q（x,y,z，…，x,y,z） j=1,2,—,Njj111nnn来代替3n个直角坐标系。这种坐标叫做广义坐标第二章单自由度系统第一节概述任何一个但自由度系统都可以用一个理论模型(图中所示)，来描述：它是由理想的质量m,理想的弹簧k和理想的阻尼三个基本的元件组成的系统。系统的运动方向只有一个方向。研究单自由度系统振动的意义：从物理的角度看，一个系统受到一个外界的激励(或输入)Fl(t)时，可测得其响应(输出)为X1(t)。而受到输入F2(t)时，测得的响应为X2(t)。他们可表示为：F(t)Tx(t)11F(t)Tx(t)22如果受到的输入是F(t)=a1F1(t)+a2F2(t)，对于线性系统，可以预测系统的响应为：X(t)=a1x1(t)=a2x2(t)。其中al，a2为任意常数。上述的公式中表示，几个激励函数共同作用的总响应时各个响应函数的总和。这一结果叫做叠加原理，是一个系统成为线性系统的必要条件。从数学角度看，线性系统由线性方程描述。对于时不变、集中参数的机构振动系统，由常数、线性常微分方程描述，即表示为：d2x dx+a 1+ax=F(t) (2.1-3)dt21dt011式中a0和a1是决定系统的系数。如果有激励F1(t)和F2(t)分别输出响应x1(t)和x2(t)，则有：d2x dx2。1-4）1+a 1+ax=尸（t）2。1-4）dt21dt011d2x dx 2+a—士+ax=F(t) (21-5)dt2 1dt022将上述两式相加得：_(x+x)+a (x+x)+a(x+x)=F(t)+F(t) (2.1-6)dt2121dt1201212表明，系统对激励的响应等于两个单激励响应之和。所以说:d对于线性方程。叠加原理成立；对于非线性方程，不成立。小结：线性系统是在一定条件下对非线性系统的近似。微幅运动则是线性化的重要前提第二节无阻尼自由振动

阻尼是一个很复杂的因素，有些系统阻尼的性质、大小很难确定。阻尼对抑制系统共振频率的运动影响不大。为了大致确定系统的共振频率和分析系统在共振频率的运动，不考虑阻尼，使c=0,作为无阻尼系统研究是很有效的。stW=mg二k6st若给予系统某种扰动，比如把弹簧再往下压x距离，弹簧的恢复力就要增大kx,有k(6+x)>W=mgst系统的静平衡状态遭到破坏。所以，为了对系统进行研究，就要建立坐标(按照图示，简单建立)若在某一时刻t,系统的位移为x(t)。由牛顿定理：W-k(6+x)二mxst于是有 mx+k并0这就是系统的无阻尼时的运动方程线性系统自由振动的频率只决定于系统本身参数，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率或无阻尼固有频率。第三节能量法当一个无阻尼弹簧 质量系统中。如下图

频率的重要准则条件不变，则弹簧会律。频率的重要准则条件不变，则弹簧会律。O第四节有阻尼自由振动在实际系统中总存在这阻尼，所以系统必定有能量的散失。系统不可能一直做等幅自由振动一．粘性阻尼对于一般系统。比如大气中的飞行物。其阻尼力与速度成正比，方向与速度相反。其中必有一个系数可以反映他们之间的关系。这个系数就是阻尼系数。同时，也说明了粘性阻尼的概念。二．粘性阻尼自由振动如图所示为一个震荡系统。

其运动方程为：mx+cx+kx=0解上述方程的根可得：通解x(t)=Beat+Bebb12当式中的a和b为零时，有 c=Jk/m=e或c=2m=2Jmk2m n o n为临界阻尼系数。于是可以得出下式：叫做阻尼比，使系统的实际阻尼与临界阻尼系数的比值。而W=\：'l-g23d n叫做有阻尼固有频率，它决定于系统的物理参数。同时，实际阻尼小于临界阻尼的系数的系统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。三．结构阻尼实验表明，弹性材料，特别是金属材料表示出一种结构阻尼的性质。这种阻尼是由于材料受力变形而产生的内摩擦力，力和摩擦之间产生离相位的滞后。结构阻尼虽然是常见的一种阻尼形式，由于它用能量损失来定义，且和振幅间有非线性的关系，所以在数学上难于处理。四．库伦阻尼具有库伦阻尼的系统，其运动是一个具有线性衰减的简谐振动。自由振动的频率不受阻尼的影响。最后，系统的运动并不一定停留在原来的静止位置，这是因为当运动幅值为X时，恢复力kx比摩擦力uWx小，系统运动就逐渐静止第五节简谐激励作用下的强迫振动一．简谐激励作用下的强迫振动在上节的图示系统所示的运动方程中：mx+cx+kx=FsinwtF为激励力振幅，w为激励频率。方程为一个非齐次方程。其通解为:x（t）二Ae-絢sin®+p）hd上述式子用复数的方法表示:F(k-w2m)2+w2c2其中r=改写为：X=X= e=其中r=(1-r2)2+(2gr)2当r=1时，若g=0,在理论上M趋近于0。这就意味着，当系统中不存在阻尼时，激励频率和系统的固有频率一致，振幅将趋于无穷大，这种现象叫做共振。二．旋转不平衡质量引起的强迫振动。在许多旋转系统，转动部分总存在质量不平衡。由于这一点，系统将发生强迫振动，振动的频率就是机器的角速度。系统的稳态响应的振幅决定于不平衡质量m,m与旋转中心O的偏心距离e和角速度的平方。三．基础运动引起的强迫振动事实上，在许多情况下，支撑或基础是运动的，并引起了系统的振动，并且，基础运动可能使系统受到两个作用力或几个作用力的作用。第六节简谐激励强迫振动理论的应用一．隔振隔振有两种：把振源与地基隔离开来以减少它对周围的影响而采取的措施叫做积极隔振；为了减少外界振动对设备的影响而采取的隔振措施叫做消极隔振。（1） 积极隔振：将机器安装在合理设计的柔性支撑上，这一支撑叫做隔振装置或隔着基础。（2） 消极隔振：周围的振动经过地基传递会是机器产生振动。在实际工作中，机器有个启动过程，将通过共振区。因而，小量的阻尼是人们期望的。不过，零阻尼情况只是在理想情况，实际上小阻尼总是存在的。二．振动测试仪器振动测试仪器有三种基本形式：测试加速度、速度和位移的仪器。它们都是根据基础运动引起系统振动的原理工作的。第七节非简谐激励作用下的系统响应

一．周期激励作用下的强迫振动一个有阻尼弹簧----质量系统，受到周期激励力F的作用，其运动方程为mx+cx+kx=F(t)且F(T+1)=F(t)把该周期激励展成Fourier级数，把级数的每一项是做一简谐激励，确定稳态响应，并把每个稳态响应加起来，就得到了系统对该周期激励的稳态响应。系统的稳态响应为：x(t)二a+艺 a cos(nrot-0)+艺 a sin(nrot-0)2kn=1kJ(a-r2)2+(2^r)2 ”=1kJ(a-r2)2+(2gr)2n n n n为一个无穷级数。二．非周期激励作用下的系统响应非周期激励力作用下的系统响应在许多工程问题中，会碰到对系统的激励不是周期的，而是任意的时间函数。脉动就是指很短时间内非常大的力作用时的有限冲量。非周期基础运动作用下的系统响应脉冲响应函数与频响函数脉动函数h(t)是系统特性在时域中的表现，频响应函数是系统特性在频域中的表现。它们在现代机械机构动态特性分析中，有着重要的作用第三章两自由度系统概述：系统的自由度数就是描述系统运动所必须的独立坐标数。如果一个系统的运动需要两个独立的坐标来描述，那么这个系统就是一个两自由度系统。第一节无阻尼自由振动1)凡需要要用两个独立坐标来描述其运动的系统都是两自由度系统。系统运动方程的一般形式可表示为k)(x) (F(t))12k22丿22(第一节无阻尼自由振动1)凡需要要用两个独立坐标来描述其运动的系统都是两自由度系统。系统运动方程的一般形式可表示为k)(x) (F(t))12k22丿22(2

厂m11im21rrn合与)两自由度(k11lk21m12m)221IX2丿1lF2(t)丿又可以表示为：[m]{x}+[k]{x}={f(t)}式中：2丿常数矩阵［m］和［k］分别叫做质量矩阵和刚度矩阵。3)(ml0(k+k12lka-kb112111 22 1ka2+kb2II01121(0)0该式两个方程不能单独求解的l0丿状况叫做坐标耦合。方程通过刚度项相互耦合叫做静耦合。在矩阵方程中，质量矩阵IM]具有非零的对角元，两运动方程通过惯性项而相互耦合的叫做惯性耦合‘结论：1).描述一个两自由度系统的运动，所需要的独立坐标数是确定的.唯一的，就是自由度数2，但描述系统运动可选择的坐标不是只有唯一的一组。2).若方程中存在耦合，则各个方程不能单独求解。(1o'q(w20、(q)(0'1+n11—<01丿Iq丿'2y10w2丿n2Iq丿2<0丿6)主坐标：能使系统运动方程不存在耦合，成为相互独立方程的坐标。第二节无阻尼强迫振动第二节无阻尼强迫振动1)对于两自由度系统，无阻尼强迫振动运动方程的一般形式为：'m11.m21m'm11.m21m12m22(kiiIk21kx\12k22丿22iIX2丿(F(t))1IF(t)丿'2y(2)简谐外激励力：F(t)二Fsinwt13)两自由度系统在简谐激励力作用下的稳态响应将是与激励力相同频率的简谐函数第三节无阻尼吸振器在激励力J)二Fsdt的作用下，该系统发生了强迫振动。为了减小其振动强度，不能采用改变主参数m1和%的方法，而应设计安装一个由质量m2和勺组成的辅助系统——吸振器。运动方程：(m1I00X\(k+运动方程：(m1I00X\(k+k12<—k2m丿2712丿—k)(x\2k2丿21IX2丿sinwt第四节有阻尼振动.自由振动：对于有阻尼系统，自由振动运动方程的一般形式可表示为[m] {x}+[c]{x}+[k]{x}={o}

m、rx)rcc、rx)rkk)rx)rf(t))121+11121+11121=1m丿22Ix•丿Ic21c丿22yIx丿Ik21k丿22yIx丿、2ZLF(t)丿、2z/m⑵.强迫振动： 11(m21第五节有阻尼振动吸振器有些设备的工作速度是在一个比较大的范围变动，要消除器振动，就产生了有阻尼振动吸振器。为了在相当宽的工作范围内，使主系统的振动能够减小到要求的强度，设计了由质量m.2弹簧k2和粘性阻尼器C组成的系统’叫做有阻尼吸振器。运动方程：\~c1IX2运动方程：\~c1IX2丿'k+k12<—k2—krx)21k2丿Lx丿'2ysinwt第六节位移方程(1)系统的运动方程表示为：[m]{x}+[c]{x}+[k]{x}={f(t)}x⑵柔度影响系数：d== i,j=l,2 即，只在j点作用一单位力时，在i引起的位移ijFj的大小。⑶刚度影响系数：对于系统的刚度矩阵，其元素k..就叫做刚度影响系数。ijFk i,j=1,2......即，只在j点作用一单位力时，在i点需要施加的力的大小。ijxj第四章多自由度系统第一节lagrange方程

lagrange方程的一般形式可表示为dlagrange方程的一般形式可表示为d何、ST6D 6U()-++-dtSq Sq Sq Sqiiii=Fi=l,2,---,ni式中q是广义坐标，对于n自由系统有n个广义坐标。F沿广义坐标q方向作用广义力（力iii矩）。T是系统的动能函数，U是系统的势能函数，D是系统的散逸函数（对于粘性阻尼）。对于线性系统，系统的势能lu二2{q}T[k]{q}U=2工艺(-S^Ulu二2{q}T[k]{q}2 SqSqij2ijiji=1j=1ij i=1j=1对于线性系统，系统的动能T=1HKmqq或tJ{qT[M]{q}2 ijij 2i=1j=1对于线性系统，粘性阻尼的散逸函数为d=1HZqq或d=；{q}T[C]{q}2 ijij 2i=1j=1列出了系统的势能、动能和散逸函数后，由lagrange方程可得n自由度系统的运动方程[M]{q+C]q（+}Kq=}F{t第二节无阻尼自由振动和特征值问题N自由度无阻尼系统自由振动的运动方程为：[M]{q}+[K]{q}={0}它表示由下面n个齐次微分方程组成的方程组工m+工kq=0 i=1,2,---,nij ijji=1 j=1首先，写出系统的特征行列式 IK-九M=]I,0解该方程得出系统的固有频率w,w，…w。n1n2 nn然后，将w,w，…w代入方程（[K]-X[M]）{u}={0}求得{u}，{u}叫做特征n1n2 nn r r rr向量、固有向量或模态向量。最后，求得方程的通解

{q(t)}={q(t)}=工{q(t)}=》rA{u}sin(wt+屮)rrnrrr=1 r=1=[u]{Asin(wt+屮)}n第三节特征向量的正交性和主坐标对于一个n自由度系统，其第r阶特征值九=W2对应的特征向量为{u},其第s阶特征TOC\o"1-5"\h\zrnr r值九=W2对应特征向量为{u}，它们都满足方程([K]-X[M]){u}={0}，因而有sns s r r[K]{u}=w2[M]{u}r nr r\o"CurrentDocument"[K]{u}=w2[M]{u}s ns s经过一些列变换得到{u}t[M]{u}=0r丰ssr{u}t[K]{u}=0r丰ssr这两个式子表示了系统特征向量的正交关系，是对质量矩阵[M],刚度矩阵[K]加权正交。方程[M]{q}+[K]{q}={0}存在着耦合，为了描述系统的运动，我们选择另一组广义坐标{q}有下面的线性变换关系{q}=[u]{p}得[M][u]{p}+[K][u]{p}={0}解方程得p=Asin(wt+屮)r=1,2,---,nrrwrr或 {p}={Asin(wt+屮)}n沿着第r个广义坐标p(r=1,2,---,n)只发生固有频率为w (r=1,2,---,n)的简谐振动，这r wr组广义坐标{p}叫做主坐标。这时对于广义坐标{q}，系统的运动为{q(t)}=[u][p]=[u]{Asin(wt+屮)}n第四节对初始条件的响应和初值问题N自由度无阻尼系统的自由振动表达式为{q(t)}==£A{u}sin(wt+屮)=[u]{Asin(wt+屮}rrnrr nrr=1为计算A和屮做下面的变换rrAsinW片屮 手Dcow+Esiwtrnrrrnrrnr解得 {D}二[u卜i{q},{E}二[w卜i[u卜i{q}0n0第五节半确定系统有一个或几个固有频率等于零的系统叫做半确定系统。并且具有半正定刚度矩阵［K］的系统是一个半确定系统。第六节具有等固有频率的系统在微分振动时，系统的运动方程为mq+2kq二011mq+2kq二022它们有两个相等的固有频率，是一个退化的系统。线性代