高考数学 考前3个月（上）专题复习 专题四 第三讲 空间向量与立体几何配套限时规范训练

第三讲空间向量与立体几何（推荐时间：50分钟）一、选择题1．已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,3)，且ka＋b与2a－b垂直，则k的值为 A.eq\f(12,5) B．1C.eq\f(7,5) D．22．以下命题中，不正确的命题个数为 ()①已知A、B、C、D是空间任意四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②若{a，b，c}为空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面．A．0 B．1C．2 D．33．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OG,\s\up6(→))，则λ的值为()A．1 B．2C．3 D．44．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1A．30° B．45°C．60° D．90°5.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝eq\f(\r(2),2)，则下列结论中错误的是 ()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值6.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定7．S为正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角为 ()A．90° B．60°C．45° D．30°8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下面结论错误的为 ()A．AC⊥BDB．△ACD是等边三角形C．AB与平面BCD所成的角为60°D．AB与CD所成的角为60°二、填空题9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC10．已知2a＋b＝(0，－3，－10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c11．已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为________．12.过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________．三、解答题13.如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK14．(·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

答案1．A2．B3．C4．C5．D6．B7．C8．C9.eq\f(\r(6),6)10.eq\f(π,3)11.eq\r(3)12．45°13．证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1∵四边形AA1D1D，DD1C∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK∴平面A1MK⊥平面A1B1C14．(1)证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)解方法一如图，设BD与AC交于点O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，BE、OE⊂平面BDE.∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BEO即为二面角B－PC－A的平面角．由(1)知BD⊥平面PAC.又OE、AC⊂平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴BD＝AC＝2eq\r(2)，BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2).由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD得PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.而PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5)，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝3.在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE得BE＝eq\f(2\r(5),3).在Rt△BOE中，OE＝eq\r(BE2－BO2)＝eq\f(\r(2),3).∴tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝3，即二面角B－PC－A的正切值为3.方法二如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系．由(1)知BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2,0)．设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·x＋0·y－z＝0，,0·x＋2·y＋0·z＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝2x，,y＝0，))取x＝1得n＝(1,0,2)．∵BD⊥平面PAC，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2,0)为平面PAC的一个法向量．cos〈n，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(BD,\s\up6(→)),|n|·|\o(BD,\s\u