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文档简介
学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页,共8页广东省汕头市汕头市聿怀初级中学2024-2025学年九上数学开学质量检测试题题号一二三四五总分得分A卷(100分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)1、(4分)如图,一客轮以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里2、(4分)二次根式有意义的条件是()A.x>3 B.x>-3 C.x≥3 D.x≥-33、(4分)如图,在中,,,平分交于点,于点,下列结论:①;②;③;④点在线段的垂直平分线上,其中正确的个数有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个4、(4分)下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是()A.3,4,5 B. C.30,40,50 D.0.3,0.4,0.55、(4分)下列计算正确的是()A. B. C. D.6、(4分)如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形,那么亮亮画图的依据是()A. B. C. D.7、(4分)下列四个图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是().A.B.C.D.8、(4分)如图,将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平,恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH,若EH=5,EF=12,则矩形ABCD的面积是(
)A.13
B.
C.60
D.120二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)9、(4分)化简________.10、(4分)数据5,5,6,6,6,7,7的众数为_____11、(4分)已知锐角,且sin=cos35°,则=______度.12、(4分)若分式的值为正数,则x的取值范围_____.13、(4分)如图,、、、分别是四边形各边的中点,若对角线、的长都是,则四边形的周长是______.三、解答题(本大题共5个小题,共48分)14、(12分)若a>0,M=,N=.(1)当a=3时,计算M与N的值;(2)猜想M与N的大小关系,并证明你的猜想.15、(8分)在如图所示的平面直角坐标系中,直线AB:y=k1x+b1与直线AD:y=k2x+b2相交于点A(1,3),且点B坐标为(0,2),直线AB交x轴负半轴于点C,直线AD交x轴正半轴于点D.(1)求直线AB的函数解析式;(2)若△ACD的面积为9,解不等式:k2x+b2>0;(3)若点M为x轴一动点,当点M在什么位置时,使AM+BM的值最小?求出此时点M的坐标.16、(8分)如图,为线段上一动点,分别过点作,,连接.已知,设.(1)用含的代数式表示的值;(2)探究:当点满足什么条件时,的值最小?最小值是多少?(3)根据(2)中的结论,请构造图形求代数式的最小值.17、(10分)为保护环境,我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆.若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次,则该公司有哪几种购车方案?(3)在(2)的条件下,哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少万元?18、(10分)如图,平行四边形ABCD中,AE=CE,请仅用无刻度的直尺完成下列作图:(1)在图1中,作出∠DAE的角平分线;(2)在图2中,作出∠AEC的角平分线.B卷(50分)一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)19、(4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC,则MN的长为___.20、(4分)若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值范围是_____.21、(4分)如图,分别以的斜边,直角边为边向外作等边和,为的中点,,相交于点.若∠BAC=30°,下列结论:①;②四边形为平行四边形;③;④.其中正确结论的序号是______.22、(4分)已知点M(-1,),N(,-2)关于x轴对称,则=_____23、(4分)如图,将矩形纸片ABCD分别沿AE、CF折叠,若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上,下列说法:①四边形AECF为菱形,②∠AEC=120°,③若AB=2,则四边形AECF的面积为,④AB:BC=1:2,其中正确的说法有_____.(只填写序号)二、解答题(本大题共3个小题,共30分)24、(8分)在▱ABCD中,点E为AB边的中点,连接CE,将△BCE沿着CE翻折,点B落在点G处,连接AG并延长,交CD于F.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若CF=5,△GCE的周长为20,求四边形ABCF的周长.25、(10分)如图,以△ABC的各边,在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI,BCFE,ACHG.(1)求证:△BDE≌△BAC;(2)求证:四边形ADEG是平行四边形.(3)直接回答下面两个问题,不必证明:①当△ABC满足条件_____________________时,四边形ADEG是矩形.②当△ABC满足条件_____________________时,四边形ADEG是正方形?26、(12分)已知:如图所示,菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.(1)试说明:AE=AF;(2)若∠B=60°,点E,F分别为BC和CD的中点,试说明:△AEF为等边三角形.
参考答案与详细解析一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)1、D【解析】
首先根据路程=速度×时间可得AC、AB的长,然后连接BC,再利用勾股定理计算出BC长即可.【详解】解:连接BC,
由题意得:AC=16×2=32(海里),AB=12×2=24(海里),
CB==40(海里),
故选:D.本题主要考查了勾股定理的应用,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.2、D【解析】
根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案.【详解】根据被开方数大于等于0得,有意义的条件是解得:故选:D本题主要考查二次根式有意义的条件,掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.3、A【解析】
首先求出∠C=30°,∠ABC=60°,再根据角平分线的定义,直角三角形30°角的性质,线段的垂直平分线的定义一一判断即可.【详解】∵在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=2∠C,∴∠C=30°,∠ABC=60°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=30°,∴∠EBC=∠C,∴EB=EC,∴AC-BE=AC-EC=AE,故①正确,∵EB=EC,∴点E在线段BC的垂直平分线上,故④正确,∵AD⊥BE,∴∠BAD=60°,∵∠BAE=90°,∴∠EAD=30°,∴∠EAD=∠C,故②正确,∵∠ABD=30°,∠ADB=90°,∴AB=2AD,∵∠BAC=90°,∠C=30°,∴BC=2AB=4AD,故③正确,故选A.本题考查角平分线的性质,线段的垂直平分线的定义,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.4、B【解析】分析:根据勾股定理的逆定理,只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形.详解:A.∵32+42=52,∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形.故选项错误;B.∵()2+()2≠()2,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形.故选项正确;C.∵(30)2+(40)2=(50)2,∴以这三个数为长度的线段,能构成直角三角形.故选项错误;D.∵()2+(0.4)2=(0.5)2,∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形.故选项错误.故选B.点睛:本题主要考查了勾股定理的逆定理,已知三条线段的长,判断是否能构成直角三角形的三边,简便的方法是:判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可.5、C【解析】
根据二次根式的加法法则判断A、B;根据二次根式的乘法法则判断C;根据二次根式的除法法则判断D.【详解】A、不是同类二次根式,不能合并,故本选项错误;B、不能合并,故本选项错误;C、故本选项正确;D、故本选项错误;故选:C.本题考查了二次根式的运算,掌握运算法则是解题的关键.6、C【解析】
根据图象,三角形有两角和它们的夹边是完整的,所以可以根据“角边角”画出.【详解】解:根据题意,三角形的两角和它们的夹边是完整的,所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故选:C.本题考查了三角形全等的判定的实际运用,熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键.7、A【解析】试题分析:利用知识点:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形;在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,知:选项A是轴对称图形,但不是中心对称图形;选项B和C,既是轴对称图形又是中心对称图形;选项D是中心对称图形,但不是轴对称图形.考点:轴对称图形和中心对称图形的定义8、D【解析】
由折叠图形的性质求得∠HEF=90°,则∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90∘,得到四边形EHFG是矩形,再由折叠的性质得矩形ABCD的面积等于矩形EFGH面积的2倍,根据已知数据即可求出矩形ABCD的面积.【详解】如图,根据折叠的性质可得∠AEH=∠MEH,∠BEF=∠FEM,∴∠AEH+∠BEF=∠MEH+∠FEM,∴∠HEF=90°,同理得∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90∘∴四边形EHFG是矩形,由折叠的性质得:S矩形ABCD=2S矩形HEFG=2×EH×EF=2×5×12=120;故答案为:D.本题考查矩形的折叠问题,解题关键在于能够得到四边形EHFG是矩形二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)9、【解析】
根据二次根式有意义条件求解即可.【详解】根据题意知:2-a≥0,a-2≥0,解得,a=2,∴3×2+0+0=6.故答案为:6.此题主要考查了二次根式有意义的条件的应用,注意二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.10、6【解析】
根据众数的定义可得结论.【详解】解:数据5,5,6,6,6,7,7,其中数字5出现2次,数字6出现3次,数字7出现2次,所以众数为6.故答案为:6本题主要考查众数的定义,解题的关键是掌握众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.11、1【解析】
对于任意锐角A,有sinA=cos(90°-A),可得结论.【详解】解:∵sinα=cos35°,∴α=90°-35°=1°,故答案为:1.此题考查互余两角的三角函数,关键是根据互余两角的三角函数的关系解答.12、x>1【解析】试题解析:由题意得:>0,∵-6<0,∴1-x<0,∴x>1.13、【解析】
利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC,或BD的一半,进而求四边形周长即可.【详解】∵E,F,G,H,是四边形ABCD各边中点∴HG=AC,EF=AC,GF=HE=BD∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE=(AC+AC+BD+BD)=×(20+20+20+20)=40(cm).故答案为40cm.本题考查了三角形的中位线定理,解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系.三角形中位线的性质为我们证明两直线平行,两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据.三、解答题(本大题共5个小题,共48分)14、(1)M=,N=;(2)M<N;证明见解析.【解析】
(1)直接将a=3代入原式求出M,N的值即可;(2)直接利用分式的加减以及乘除运算法则,进而合并求出即可.【详解】(1)当a=3时,M,N;(2)方法一:猜想:M<N.理由如下:M﹣N.∵a>0,∴a+2>0,a+3>0,∴,∴M﹣N<0,∴M<N;方法二:猜想:M<N.理由如下:.∵a>0,∴M>0,N>0,a2+4a+3>0,∴,∴,∴M<N.本题考查了分式的加减以及乘除运算,正确通分得出是解题的关键.15、(1)y=x+2;(2)x<4;(3)(,0).【解析】
(1)将点A、B两点代入,即可求解析式;(2)令y=0,求出C点坐标,由三角形ACD的面积是9,求出D点坐标,结合图象即可求解;(3)作点B关于x轴的对称点E(0,-2),连接AE交x轴于点M,设直线AE解析式为y=kx+b,确定AE的解析式即可求M点坐标.【详解】解:(1)把A、B两点代入,得,解得,故直线AB的函数解析式为y=x+2;(2)令y=x+2=0得x=-2,∴C(-2,0).又∵△ACD的面积为9,∴3×CD=9,∴CD=6,∴D点坐标(4,0),由图象得不等式的解集为:x<4;(3)作点B关于x轴的对称点E(0,-2),连接AE交x轴于点M,设直线AE解析式为y=kx+b,∴,∴,∴y=5x-2,当y=0时,x=,故点M的坐标为(,0).本题考查一次函数的图象及性质待定系数法求函数解析式,轴对称的应用;熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法,利用轴对称求最短距离是解题的关键.16、(1);(2)三点共线时;(3)2【解析】试题分析:(1)由于△ABC和△CDE都是直角三角形,故可由勾股定理表示;(2)若点C不在AE的连线上,根据三角形中任意两边之和大于第三边知,AC+CE>AE,故当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小;(3)由(1)(2)的结果可作BD=1,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C,则AE的长即为代数式的最小值,然后构造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值.(1);(2)当三点共线时,的值最小.(3)如下图所示,作,过点作,过点作,使,.连结交于点,的长即为代数式的最小值.过点作交的延长线于点,得矩形,则,1.所以,即的最小值为2.考点:本题考查的是轴对称-最短路线问题点评:本题利用了数形结合的思想,求形如的式子的最小值,可通过构造直角三角形,利用勾股定理求解.17、(1)购买A型公交车每辆需100万元,购买B型公交车每辆需150万元.(2)三种方案:①购买A型公交车6辆,则B型公交车4辆;②购买A型公交车7辆,则B型公交车3辆;③购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆;(3)购买A型公交车8辆,B型公交车2辆费用最少,最少费用为1100万元.【解析】
详解:(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,由题意得x+2y=解得x=答:购买A型公交车每辆需100万元,购买B型公交车每辆需150万元.(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10-a)辆,由题意得100a+15010-a解得:6≤a≤8,因为a是整数,所以a=6,7,8;则(10-a)=4,3,2;三种方案:①购买A型公交车6辆,B型公交车4辆;②购买A型公交车7辆,B型公交车3辆;③购买A型公交车8辆,B型公交车2辆.(3)①购买A型公交车6辆,则B型公交车4辆:100×6+150×4=1200万元;②购买A型公交车7辆,则B型公交车3辆:100×7+150×3=1150万元;③购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆:100×8+150×2=1100万元;故购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆费用最少,最少总费用为1100万元.此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,注意理解题意,找出题目蕴含的数量关系,列出方程组或不等式组解决问题.18、(1)作图见解析;(2)作图见解析.【解析】试题分析:(1)连接AC,由AE=CE得到∠EAC=∠ECA,由AD∥BC得∠DAC=∠ECA,则∠CAE=∠CAD,即AC平分∠DAE;
(2)连接AC、BD交于点O,连接EO,由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可知EO为∠AEC的角平分线.试题解析:(1)连接AC,AC即为∠DAE的平分线;如图1所示:(2)①连接AC、BD交于点O,②连接EO,EO为∠AEC的角平分线;如图2所示.一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)19、1.【解析】
由图示知:MN=AM+BN﹣AB,所以结合已知条件,根据勾股定理求出AC的长即可解答.【详解】解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,AB==13,又∵AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC,∴AM=12,BN=5,∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=1.故答案是:1.本题考查勾股定理,解题的关键是结合图形得出:MN=AM+BN﹣AB.20、且【解析】分式方程去分母得:2(2x-a)=x-2,去括号移项合并得:3x=2a-2,解得:,∵分式方程的解为非负数,∴且,解得:a≥1且a≠4.21、①②③④【解析】
首先证明证明Rt△ADF≌Rt△BAC,结合已知得到AE=DF,然后根据内错角相等两直线平行得到DF∥AE,由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形,故②正确;由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°,可得∠AHE=90°,故①正确;由2AG=AF可知③正确;在Rt△DBF和Rt△EFA中,BD=FE,DF=EA,可证Rt△DBF≌Rt△EFA,故④正确.【详解】∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AD=BD=AB,AE=CE=AC,∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°.
∵F是AB的中点,∴∠BDF=∠ADF=30°,∠DFA=∠DFB=90°,BF=AF=AB.
∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,AD=2AF.
∴BC=AB,∠ADF=∠BAC,
∴AF=BF=BC.
在Rt△ADF和Rt△BAC中
AD=BA,AF=BC,
∴Rt△ADF≌Rt△BAC(HL),
∴DF=AC,
∴AE=DF.
∵∠BAC=30°,
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°,
∴∠DFA=∠EAB,
∴DF∥AE,
∴四边形ADFE是平行四边形,故②正确;∴AD=EF,AD∥EF,设AC交EF于点H,
∴∠DAC=∠AHE.
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°,
∴∠AHE=90°,
∴EF⊥AC.①正确;
∵四边形ADFE是平行四边形,
∴2GF=2GA=AF.
∴AD=4AG.故③正确.
在Rt△DBF和Rt△EFA中
BD=FE,DF=EA,
∴Rt△DBF≌Rt△EFA(HL).故④正确,
故答案为:①②③④.本题解题的关键:运用到的性质定理有,直角全等三角形的判定定理HL,平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,全等三角形对应边与对应角相等的性质,平行四边形对角线互相平分与两组对边平行且相等的性质.22、1【解析】
若P的坐标为(x,y),则点P关于x轴的对称点的坐标P′是(x,-y)由此可求出a和b的值,问题得解.【详解】根据题意,得b=-1,a=2,则ba=(-1)2=1,
故答案是:1.考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系,是需要识记的内容.记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆,另一种记忆方法是记住:关于横轴的对称点,横坐标不变,纵坐标变成相反数.23、①②③【解析】
根据折叠性质可得OC=CD=AB=OA,∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°,∠OCF=∠DCF,∠BAE=∠OAE,即可得出∠ACB=30°,进而可得∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°,可证明AE//CF,AE=CE,根据矩形性质可得CE//AF,即可得四边形AECF是平行四边形,进而可得四边形AECF为菱形,由∠BAE=30°,可得∠AEB=60°,即可得∠AEC=120°,根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长,即可得OE的长,根据菱形的面积公式即可求出四边形AECF的面积,根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AB:BC的值,综上即可得答案.【详解】∵矩形ABCD分别沿AE、CF折叠,B、D两点恰好都落在对角线的交点O上,∴OC=CD=AB=OA,∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°,∠OCF=∠DCF,∠BAE=∠OAE,∴∠ACB=∠CAD=30°,∠BAC=∠ACD=60°,∵∠OCF=∠DCF,∠BAE=∠OAE,∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°,∴AE//CF,AE=CE,∴四边形AECF是平行四边形,∵AE=CE,∴四边形AECF是菱形,故①正确,∵∠BAE=30°,∠B=90°,∴∠AEB=60°,∴∠AEC=120°,故②正确,设BE=x,∵∠BAE=30°,∴AE=2x,∴x2+22=(2x)2,解得:x=,∴OE=BE=,∴S菱形AECF=EFAC=××4=,故③正确,∵∠ACB=30°,∴AC=2AB,∴BC==AB,∴AB:BC=1:,故④错误,综上所述:正确的结论有①②③,故答案为:①②③本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质及含30°角的直角三角形的性质,熟练掌握相关性质及判定方法是解题关键.二、解答题(本大题共3个小题,共30分)24、(1)见解析;(2)1【解析】
(1)由平行四边形的性质得出AE∥FC,再由三角形的外角的性质,以及折叠的性质,可以证明∠FAE=∠CEB,进而证明AF∥EC,即可得出结论;(2)由折叠的性质得:GE=BE,GC=BC,由△GCE的周长得出GE+CE+GC=20,BE+CE+BC=20,由平行四边形的性质得出AF=CE,AE=CF=5,即可得出结果.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥FC,∵点E是AB边的中点,∴AE=BE,∵将△BCE沿着CE翻折,点B落在点G处,∴BE=GE,∠CEB=∠CEG,∴AE=GE,∴∠FAE=∠AGE,∵∠CEB=∠CEG=∠BEG,∠BEG=∠FAE+∠AGE,∴∠FAE=∠BEG,∴∠FAE=∠CEB,∴AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形;(2)解:由折叠的性质得:GE=BE,GC=BC,∵△GCE的周长为20,∴GE+CE+GC=20,∴BE+CE+BC=20,∵四边形AECF是平行四边形,∴AF=CE,AE=CF=5,∴四边形ABCF的周长=AB+BC+CF+AF=AE+BE+BC+CE+CF=5+20+5=1.本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识;熟练掌握翻折变换的性质,证明四边形AECF是平行四边形是解题的关键.25、(1)见解析;(2)见解析;(3)①∠BAC=135°;②∠BAC=135°且AC=【解析】
(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC;(2)由△BDE≌△BAC,可得全等三角形的对应边DE=AG.然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°,易证ED∥GA;最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论;(3)①根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°.然后由周角的定义求得∠BAC
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