2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.5数学归纳法学案含解析新人教B版选择性必修第三册1

PAGE5.5数学归纳法必备学问·素养奠基数学归纳法(1)概念:一个与自然数有关的命题,假如只要完成这两个步骤,就可以断定命题对大于等于n0的全部自然数都成立.(2)证明形式:记P(n)是一个关于正整数n的命题.条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.结论:P(n)为真.(1)验证的第一个值n0肯定是1吗?提示:不肯定,如证明“凸n边形对角线的条数f(n)=QUOTE”时,第一步应验证n=3是否成立.(2)在其次步证明中,必需从归纳假设用综合法证明吗?提示:不是,在归纳递推中,可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)全部与正整数有关的数学命题都必需用数学归纳法证明. ()(2)不管是等式还是不等式,用数学归纳法证明时由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项. ()(3)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23. ()提示:(1)×.也可以用其他方法证明.(2)×.有的增加了不止一项.(3)√.视察左边的式子可知有n+3项,所以验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.2.已知f(n)=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,则 ()A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=QUOTE+QUOTEB.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=QUOTE+QUOTE+QUOTEC.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=QUOTE+QUOTED.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=QUOTE+QUOTE+QUOTE【解析】选D.结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数共有n2-n+1个,且f(2)=QUOTE+QUOTE+QUOTE.3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,其次步n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到 ()A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1【解析】选D.因为将式子:1+2+22+…+2n-1=2n-1中n用k+1替换得:当n=k+1时,有1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.关键实力·素养形成类型一用数学归纳法证明等式【典例】用数学归纳法证明:1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,n∈N+.【思维·引】等式的左边有2n项,右边有n项,左边的分母是从1到2n的连续正整数,末项与n有关,右边的分母是从n+1到n+n的连续正整数,首、末项都与n有关.【证明】(i)当n=1时,左边=1-QUOTE=QUOTE,右边=QUOTE,等式成立;(ii)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,那么当n=k+1时,左边=1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE=右边,所以当n=k+1时等式也成立.综合(i)(ii)知对一切n∈N+,等式都成立.【内化·悟】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时的关键是什么?要留意什么?提示:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是其次步,要留意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,削减了哪些项,问题就会顺当解决.【类题·通】数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不肯定是1.(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的改变.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.(3)利用假设是核心在其次步证明n=k+1成立时,肯定要利用归纳假设,即必需把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”也成立,在书写f(k+1)时,肯定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最终一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.【习练·破】用数学归纳法证明:QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE(n∈N+).【证明】(i)当n=1时,左边=QUOTE=QUOTE,右边=QUOTE=QUOTE.左边=右边,所以等式成立.(ii)假设n=k(k∈N+且k≥1)时等式成立,即有QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE,则当n=k+1时,QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以当n=k+1时,等式也成立,由(i)(ii)可知,对于一切n∈N+等式都成立.【加练·固】用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=QUOTEn(4n2-1)(n∈N+).【证明】(i)当n=1时,左边=12,右边=QUOTE×1×(4×1-1)=1,左边=右边,等式成立.(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=QUOTEk(4k2-1),则当n=k+1时12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=QUOTEk(4k2-1)+(2k+1)2=QUOTEk(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=QUOTE(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=QUOTE(2k+1)(2k2+5k+3)=QUOTE(2k+1)(k+1)(2k+3)=QUOTE(k+1)(4k2+8k+3)=QUOTE(k+1)[4(k+1)2-1],即当n=k+1时,等式成立.由(i)(ii)可知,对一切n∈N+等式成立.类型二用数学归纳法证明不等式【典例】求证:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE(n≥2,n∈N+).【思维·引】由n≥2知n的初始值为2,在其次步可以应用分析法或放缩法证明.【解析】(i)当n=2时,左边=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE,故左边>右边,不等式成立.(ii)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立,即QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE,则当n=k+1时,QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE-QUOTE>QUOTE+QUOTE,*方法一(分析法)下面证*式≥QUOTE,即QUOTE+QUOTE+QUOTE-QUOTE≥0,只需证(3k+2)(3k+3)+(3k+1)(3k+3)+(3k+1)(3k+2)-3(3k+1)(3k+2)≥0,只需证(9k2+15k+6)+(9k2+12k+3)+(9k2+9k+2)-(27k2+27k+6)≥0,只需证9k+5≥0,明显成立.所以当n=k+1时,不等式也成立.方法二(放缩法)*式>(3×QUOTE-QUOTE)+QUOTE=QUOTE,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(i)(ii)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.【内化·悟】1.在什么条件下适合应用数学归纳法证明数学命题?提示:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他方法不简洁证,则可考虑应用数学归纳法.2.应用数学归纳法证明数学命题的关键是由n=k时成立得n=k+1时成立,这一步骤有哪些方法?提示:主要方法有①放缩法;②利用基本不等式法;③作差比较法等.【类题·通】用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点【习练·破】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式QUOTE…QUOTE>QUOTE均成立.【证明】(i)当n=2时,左边=1+QUOTE=QUOTE;右边=QUOTE.因为左边>右边,所以不等式成立.(ii)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时不等式成立,即QUOTE…QUOTE>QUOTE.则当n=k+1时,QUOTE…QUOTE>QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE>QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(i)(ii)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.【加练·固】已知数列{an},an≥0,a1=0,QUOTE+an+1-1=QUOTE.求证:当n∈N+时,an<an+1.【证明】(i)当n=1时,因为a2是方程QUOTE+a2-1=0的正根,所以a1<a2.(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,0≤ak<ak+1,则由QUOTE-QUOTE=(QUOTE+ak+2-1)-(QUOTE+ak+1-1)=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0,得ak+1<ak+2,即当n=k+1时,an<an+1也成立.依据(i)和(ii),可知an<an+1对任何n∈N+都成立.类型三归纳-猜想-证明【典例】在各项为正的数列{an}中,数列的前n项和Sn满意Sn=QUOTE.(1)求a1,a2,a3.(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.【思维·引】(1)数列{an}的各项均为正数,且Sn=QUOTE,所以可依据解方程求出a1,a2,a3.(2)视察a1,a2,a3猜想出{an}的通项公式an,然后再证明.【解析】(1)S1=a1=QUOTE得QUOTE=1.因为an>0,所以a1=1,由S2=a1+a2=QUOTE,得QUOTE+2a2-1=0,所以a2=QUOTE-1.又由S3=a1+a2+a3=QUOTE,得QUOTE+2QUOTEa3-1=0,所以a3=QUOTE-QUOTE.(2)猜想an=QUOTE-QUOTE(n∈N+)证明:①当n=1时,a1=1=QUOTE-QUOTE猜想成立.②假设当n=k(k∈N+)时猜想成马上ak=QUOTE-QUOTE,则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=QUOTE-QUOTE,即ak+1=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以QUOTE+2QUOTEak+1-1=0,所以ak+1=QUOTE-QUOTE.即n=k+1时猜想成立.由①②知,an=QUOTE-QUOTE(n∈N+).【素养·探】本题运用了从特别到一般的探究、归纳、猜想及证明的思维方式去探究和发觉问题,并证明所得结论的正确性,这是特别重要的一种思维实力,在这类问题中常常用到的数学核心素养是逻辑推理.已知f(n)=1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,g(n)=QUOTE-QUOTE,n∈N+.(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系.(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.【解析】(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);当n=2时,f(2)=QUOTE,g(2)=QUOTE,所以f(2)<g(2);当n=3时,f(3)=QUOTE,g(3)=QUOTE,所以f(3)<g(3).(2)由(1)猜想f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明.①当n=1,2,3时,不等式明显成立.②假设当n=k(k≥3,k∈N+)时不等式成立,即1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE-QUOTE,那么,当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+QUOTE<QUOTE-QUOTE+QUOTE,因为QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE<0,所以f(k+1)<QUOTE-QUOTE=g(k+1),由①②可知,对一切n∈N+,都有f(n)≤g(n)成立.【类题·通】1.“归纳——猜想——证明”的解题步骤2.“归纳——猜想——证明”解决的主要问题(1)已知数列的递推公式,求通项公式或前n项和.(2)由一些恒等式,不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简洁命题(n=1,2,3……),猜想并证明对随意正整数n都成立的一般性命题.提示:①计算特例时,不仅仅是简洁的算数过程,有时要通过计算过程发觉数据的改变规律;②猜想必需精确,肯定不能猜错,否则将徒劳无功.③假如猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.【习练·破】(2024·全国Ⅲ卷)设数列QUOTE满意a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想QUOTE的通项公式并加以证明;(2)求数列QUOTE的前n项和Sn.【解析】(1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由数列QUOTE的前三项可猜想数列QUOTE是以3为首项,2为公差的等差数列,即an=2n+1,证明如下:当n=1时,a1=3成立;假设n=k(k≥1,k∈N+)时,ak=2k+1成立.那么n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.则对随意的n∈N+,都有an=2n+1成立.(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n,Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②由①-②得:-Sn=6+2×QUOTE-(2n+1)·2n+1=6+2×QUOTE-(2n+1)·2n+1=(1-2n)·2n+1-2,即Sn=(2n-1)·2n+1+2.课堂检测·素养达标1.证明1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE(n∈N+),假设n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数是 ()A.1 B.k-1 C.k D.2k【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE;当n=k+1时,不等式左端为1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,增加了QUOTE+…+QUOTE项,共(2k+1-1)-2k+1=2k项.2.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2n-an(n∈N+),若已经算出a1=1,