2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲正弦定理和余弦定理(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

A． B． C． D．8．（2024·全国·模拟预测）在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（

）A．16 B．32 C．64 D．128二、多选题9．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知中，，．下列说法中正确的是（

）A．若是锐角三角形，则B．若是钝角三角形，则C．若是直角三角形，则D．的最大值是10．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（

）A．已知且B．已知且C．已知且D．已知且，三、填空题11．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，内角对应的边分别为，已知．则角；若，则的值为12．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是.四、解答题13．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）在中，已知，为上一点，，且.(1)求的值；(2)求的面积.14．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，向量，且．(1)求角的大小；(2)若，①求面积的最大值；②求的取值范围．B能力提升1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，又的面积，且，则（

）A．64 B．84 C．-69 D．-892．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2024高三·江苏·专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则=；若，则面积的最大值为．5．（2024·河北沧州·一模）已知在四边形中，为锐角三角形，对角线与相交于点，．(1)求；(2)求四边形面积的最大值．C综合素养（新定义解答题）1．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，对应的边分别为，(1)求；(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.第04讲正弦定理和余弦定理(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（22-23高一下·江苏连云港·期中）在中，，，，则角B的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】在中，，，，由正定理得：，由于，所以故选：A2．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦定理求出答案.【详解】由余弦定理得，因为，所以.故选：C.3．（19-20高一下·四川·期末）已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】由正弦定理得，acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．故选：A.4．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）在中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中，则（

）A．2∶3∶4 B．4∶9∶16 C．4∶3∶2 D．16∶9∶4【答案】A【分析】运用正弦定理边化角即可.【详解】由正弦定理得，，，（为三角形外接圆半径），所以，又，所以.故选：A.5．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在中，，，且的面积为，则的周长为（

）A．15 B．12 C．16 D．20【答案】A【分析】由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解.【详解】因为，，且的面积为，所以，解得，由余弦定理，所以，则.故选：A6．（2024·陕西渭南·模拟预测）我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用正、余弦定理求，代入题中公式运算求解.【详解】因为，由余弦定理可得，解得，又因为，由正弦定理可得，且，即，解得，所以.故选：B.7．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）在锐角中，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式与余弦定理求得，再由条件与锐角三角形角的特征进一步缩小的取值范围，得到，从而得解.【详解】由得，在中，由余弦定理，得，当且仅当，即时，等号成立，则；当时，不妨设，则，，所以，即，所以，因为锐角中，，则，故，而，则，所以；综上，.故选：B．8．（2024·全国·模拟预测）在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】B【分析】由题中等式以及正弦定理进行角化边运算可得边的关系，由余弦定理可求出，结合角平分线由三角形面积公式建立等量关系，结合均值不等式可得出最小值.【详解】由及正弦定理知，，．在中，由余弦定理知，，，．，，即，得，，当且仅当且，即时，等号成立，.故选：B二、多选题9．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知中，，．下列说法中正确的是（

）A．若是锐角三角形，则B．若是钝角三角形，则C．若是直角三角形，则D．的最大值是【答案】AD【分析】利用正弦定理判断A、C、D，当为钝角时即可判断B.【详解】对于A：由正弦定理可得，由于是锐角三角形，所以且，故，故，进而，故A正确；对于B：若为钝角，则，故，故B错误；对于C：若为直角，则，由正弦定理，则，故C错误；对于D：，由于，所以当时，取最大值，且，故D正确，故选：AD10．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（

）A．已知且B．已知且C．已知且D．已知且，【答案】ACD【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合正弦函数的倍角公式与性质，逐一分析判断三角形的形状，从而得解.【详解】对于A，因为，所以，由余弦定理得，，又，所以，所以，所以，所以，则为等边三角形，故A正确；对于B，因为，，所以或，当时，，所以，此时为等边三角形；当时，，此时为等腰三角形，故B错误；对于C，因为且，所以,则，即，又，所以，则为等边三角形，故C正确；对于D，因为，由正弦定理得，即，所以，又是的内角，所以或，所以或，因为，由正弦定理得，则，当时，，所以，此时为等边三角形；当时，，所以，不满足题意；综上，为等边三角形，故D正确.故选：ACD.三、填空题11．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，内角对应的边分别为，已知．则角；若，则的值为【答案】//【分析】利用正弦定理计算可得第一空，利用余弦定理可得第二空.【详解】（1）在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得，代入数据解得，所以．故答案为：；.12．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是.【答案】【分析】根据给定条件，求出锐角，利用正余弦定理求出，再利用正弦定理结合三角恒等变换及正弦函数性质求解即得.【详解】由，得，而是锐角，则，由余弦定理得，由正弦定理及，得，即，因此，在锐角中，，令，，由正弦定理得，因此，由，得，则，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.四、解答题13．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）在中，已知，为上一点，，且.(1)求的值；(2)求的面积.【答案】(1)2；(2).【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值；（2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面积.【详解】（1），，则，在中，，所以.在中，，，所以.故.（2）在中，由余弦定理可得，即，解得，，则.故的面积为.14．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，向量，且．(1)求角的大小；(2)若，①求面积的最大值；②求的取值范围．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可得出，由正弦定理即可得出，根据余弦定理即可求出，从而求得；（2）①首先得，进一步由余弦定理以及基本不等式得的最大值即可求解；②根据即可求出的外接圆直径为2，根据正弦定理即可得出，而，从而得出，从而求出的范围，即得出的范围．【详解】（1）；；由正弦定理得，；；，且；；（2）①，根据余弦定理得：，即，，，当且仅当时，等号成立，所以，即面积的最大值为，②；外接圆直径；半径，，；；，的取值范围是．B能力提升1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，又的面积，且，则（

）A．64 B．84 C．-69 D．-89【答案】C【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可求得关系，再由三角形面积公式和余弦定理求得三边，再由数量积运算得到结果【详解】解法一：由，得，则，即，即，又，即；又，得；综上．则，即．由，平方知所以.解法二：.故选：．2．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理计算先得，确定为直角三角形，再利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质计算即可.【详解】由余弦定理可知，所以，即为直角三角形，.设，则，则，显然时，.故选：D3．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【详解】设，因为，所以，①因为，且，所以，由正弦定理可得，②又，所以，③由①，②，③解得，由余弦定理，所以，，因为点三点共线，所以，(1)求；(2)求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理解出边长即可，注意判断为锐角三角形；（2）作垂直于，表示出四边形的面积等于两三角形面积和，再由正弦函数的最值求出面积的最大值.【详解】（1）由余弦定理可得，化简为，解得或，当时，因为，与为锐角三角形不符合，故.（2）作垂直于，设，则，当，四边形面积最大，最大面积为.C综合素养（新定义解答题）1．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，对应的边分别为，(1)求；(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用正弦定理角化边，然