人教版2024-2025学年九年级数学上册22.8图形中的动点问题-二次函数的应用(压轴题专项讲练)(学生版+解析)VIP

专题22.8图形中的动点问题——二次函数的应用典例分析典例分析【典例1】如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(6,2)，定点D的坐标为(9,0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=___________时，△PQR的边QR经过点B，当t=___________时，点R落在边BC上；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）如图2，过定点E(4,0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，直接写出t的值___________．【思路点拨】（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t即可，当R落在BC边上时，因为ΔPQR是等腰直角三角形，故PR=（2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按t的取值范围分段写出关系式即可；（3）首先判定四边形ABFE是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EN+BN，设EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的关系式，由此等式列方程求出t【解题过程】解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，∴AB=AQ，即2=9−6−t，解得t=1，∴t=1时，△PQR的边QR经过点B；点R落在边BC上，则R纵坐标的长度和AB相同，∵△PQR为等腰直角三角形，∴PQ=2AB=2×2=4，即9−t−2t=4，解得t=5∴t=53时，点R落在边故答案为：1，53（2）①当0≤t≤1时，如图1所示，设PR交BC于点G，过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=2，∴S=S②当1<t≤5设PR交BC于点C，RQ交BC、AB于点S、T，过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=HP=2，QD=t，则AQ=AT=9−6−t=3−t，∴BT=BS=AB−AT=2−(3−t)=t−1，∴S=S③当53设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=9−6−t=3−t，PQ=9−2t−t=9−3t，∴PR=RQ=2∴S=S综上，S与t的函数关系式为S=10−4t(0≤t≤1)S=−（3）∵E(4,0)，∴AE=AB=2，∴四边形ABFE是正方形，如图4，将△AME绕A顺时针旋转90°，得到△ABM'，其中AE和∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，∴∠BAM∴∠MAN=∠M连接MN，在△MAN和△MAM=AM∴△MAN≌△M∴MN=M∴MN=EM+BN，设EM=m，BN=n，则FM=2−m，FN=2−n，在Rt△FMN中，由勾股定理得：F即(2−m)2整理得，mn+2(m+n)−4=0，①延长NR交x轴于点S，则m=EM=RS=1∵QS=12PQ=∴n=BN=AS=QS−AQ=1∴m=3n，代入①式，化简得：3n解得n=−4+273∴BN=3解得t=17−4故答案为：17−47学霸必刷学霸必刷1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cms的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cms的速度运动（点A．19cm2 B．16cm2 C．2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在线段AB上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段AB上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接OC，OE．若点C的横坐标为−2，则SA．S△OEF>S△OCD B．S△OEF=3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为ts.连接PC，以PC为一边作正方形PCEFA．32 B．34 C．454．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC的中点，点F是边AB上的动点，连接FE并延长交DC的延长线于点G,点H在五边形ADCEF中，连接HG,HF,若HF=HG,∠FHG=90∘,则四边形ADHFA．413 B．412 C．415．（2023·广东广州·一模）如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD=时，△CEF的面积为最小值．6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，点C'与点B重合，当点B7．（2023·山东泰安·一模）已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，则y与x的函数关系式是8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向运动，当其中一点到达点D时，两点停止运动．设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则

9．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点（1）几秒时，PQ的长度为42（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm（3）当t0<t<5为何值时，四边形APQC10．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．

（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）求出y的最大值．11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）等腰直角△ABC的直角边AB=BC=20cm,AC=202cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？如果不变，请直接写出DE的长度；如果改变，请说明理由．12．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，点D为BC边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以PQ、PD为邻边作▱PDEQ，设点P的运动时间为（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）当线段QE被边AC平分时，求t的值；（3）设▱PDEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S=6时t的值.13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．动点P，Q从A同时出发，且速度均为3cm/s，点P，Q分别沿折线AB−BC，AD−DC向终点C运动．设点P的运动时间为xs0<x<3

（1）当点P与点B重合时，x的值为______．（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（3）当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度．14．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，动点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为（单位：cm2），y与x之间的函数图象如图2（1）正方形的边长为______，点P的运动速度为______；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）若P在AB上运动时，点P，Q的位置记为P1，Q1，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为P2，Q2，且点P从15．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=6cm，动点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC边向终点C运动，过P作PQ⊥AB于点Q，以BP、BQ为邻边作平行四边形PBQM，设点P的运动时间为ts，平行四边形PBQM与（1）当点M落在AC边上时，求t的值；（2）求S与t的函数关系，并直接写出自变量t的取值范围．16．（2023·吉林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A−D−C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q，在点P运动过程中，设运动时间为t，△APQ与菱形ABCD重叠部分的面积为（1）写出线段PD的长（用含t的式子表示）．（2）当PQ平分菱形面积时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．17．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，点E是AB的中点．动点P从点E出发，沿折线EA−AD−DC以2cm/s的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边DC或边CB于点Q，连接PQ．当点Q与点B重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为xsx>0（1）当x=1.5时，△PQE的形状是______．（2）当点Q与点B重合时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．18．（2024·吉林四平·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，∠A=60°．点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作PQ⊥AB，交折线AD−DB于点Q，以PQ、PB为边作矩形PQEB，设矩形PQEB与△ABD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为ts（1）用含t的代数式表示PB的长；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）作射线CE，当CE截矩形PQEB所得的图形存在轴对称图形时，直接写出t的值．19．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cms的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿BA方向以1cms的速度向终点A运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为xsx>0（1）当点D落在QF上时，x的值为______．（2）当点D落在BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．20．（2024·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB的顶点A的坐标为16,0，点B在第一象限，∠OBA=90°，BO=BA，矩形OCDE的顶点E在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D坐标为−4,10．（1）如图①，求点B的坐标；（2）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，①如图②，当矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形时，D'E'与OB相交于点M，C'②当3≤t≤14时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．专题22.8图形中的动点问题——二次函数的应用典例分析典例分析【典例1】如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(6,2)，定点D的坐标为(9,0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=___________时，△PQR的边QR经过点B，当t=___________时，点R落在边BC上；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）如图2，过定点E(4,0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，直接写出t的值___________．【思路点拨】（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t即可，当R落在BC边上时，因为ΔPQR是等腰直角三角形，故PR=（2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按t的取值范围分段写出关系式即可；（3）首先判定四边形ABFE是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EN+BN，设EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的关系式，由此等式列方程求出t【解题过程】解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，∴AB=AQ，即2=9−6−t，解得t=1，∴t=1时，△PQR的边QR经过点B；点R落在边BC上，则R纵坐标的长度和AB相同，∵△PQR为等腰直角三角形，∴PQ=2AB=2×2=4，即9−t−2t=4，解得t=5∴t=53时，点R落在边故答案为：1，53（2）①当0≤t≤1时，如图1所示，设PR交BC于点G，过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=2，∴S=S②当1<t≤5设PR交BC于点C，RQ交BC、AB于点S、T，过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=HP=2，QD=t，则AQ=AT=9−6−t=3−t，∴BT=BS=AB−AT=2−(3−t)=t−1，∴S=S③当53设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=9−6−t=3−t，PQ=9−2t−t=9−3t，∴PR=RQ=2∴S=S综上，S与t的函数关系式为S=10−4t(0≤t≤1)S=−（3）∵E(4,0)，∴AE=AB=2，∴四边形ABFE是正方形，如图4，将△AME绕A顺时针旋转90°，得到△ABM'，其中AE和∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，∴∠BAM∴∠MAN=∠M连接MN，在△MAN和△MAM=AM∴△MAN≌△M∴MN=M∴MN=EM+BN，设EM=m，BN=n，则FM=2−m，FN=2−n，在Rt△FMN中，由勾股定理得：F即(2−m)2整理得，mn+2(m+n)−4=0，①延长NR交x轴于点S，则m=EM=RS=1∵QS=12PQ=∴n=BN=AS=QS−AQ=1∴m=3n，代入①式，化简得：3n解得n=−4+273∴BN=3解得t=17−4故答案为：17−47学霸必刷学霸必刷1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cms的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cms的速度运动（点A．19cm2 B．16cm2 C．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值和勾股定理．利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ是解题的关键．在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC，设运动时间为t(0≤t≤4)，则PC=(6−t)cm，CQ=2tcm【解题过程】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，∴AB=A设运动时间为t(0≤t≤4)，则PC=(6−t)cm，CQ=2t∴S===∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm故答案为：C．2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在线段AB上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段AB上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接OC，OE．若点C的横坐标为−2，则SA．S△OEF>S△OCD B．S△OEF=【思路点拨】本题考查一次函数、二次函数，先根据一次函数的性质计算出S△OCD，设点E的坐标为m,12m+2，用关于m的二次函数关系式表示出S△OEF【解题过程】解：∵点C在线段AB上，横坐标为−2，∴点C的纵坐标为12∴OD=2，CD=1，∴S△OCD设点E的坐标为m,1则OF=m=−m，∴S△OEF∵−1∴当m=−2时，S△OEF取最大值，最大值为1，此时点E与点C∴S△OEF故选C．3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为ts.连接PC，以PC为一边作正方形PCEFA．32 B．34 C．45【思路点拨】设△PCD的面积为y，根据面积公式求出y=5−t，根据勾股定理求出PC2=t2【解题过程】解：设△PCD的面积为y，由题意得：AP=t，PD=5−t，∴y=1∵四边形EFPC是正方形，∴S∵PC∴PC∴S当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为32故选：C．4．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC的中点，点F是边AB上的动点，连接FE并延长交DC的延长线于点G,点H在五边形ADCEF中，连接HG,HF,若HF=HG,∠FHG=90∘,则四边形ADHFA．413 B．412 C．41【思路点拨】先证明△EFB≌△EGCASA，再证明四边形BERQ为正方形和四边形AQHT为矩形，利用已知条件从而可推出HT的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出△AFH【解题过程】解：过点H作HQ⊥AB于点Q，过点E作ER⊥HQ于点R，过点H作HT⊥AD于点T，连接EH和AH，如图所示，∵E为BC的中点，∴BE=CE,在△EFB和△EGC中，∠FEB=∠GEC∴△EFB∴EF=EG∴△FHG是等腰直角三角形，∴HE=EF=EG，HE⊥FG,∵ER⊥QR,四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BQR=∠ERQ=90°,∴四边形BERQ是矩形，∵∠FEH=90°,∠BER=90°,∴∠BEF+∠FER=∠REH+∠REF,∴∠BEF=∠REH,∵∠B=∠ERH=∠ERQ=90°,∠BEF=∠REH,EF=EH,∴△BEF≌∴BE=ER,BF=RH,∵BE=EC,BC=AD=8,∴ER=RQ=BE=4,∵四边形BQRE为矩形，∴四边形BQRE为正方形，∴BQ=BE=4,∵AB=6,∴AQ=AB−BQ=6−4=2,∵HQ⊥AB,HT⊥AD,∠BAD=90°,∴四边形HQAT是矩形，∴HT=AQ=2,∴S设BF=RH=x,∴QH=QR+RH=4+x，∴S△AFH∵−∴当x=1时，△AFH的面积最大，最大值为252所以，四边形ADHF面积的最大值为S故选：B5．（2023·广东广州·一模）如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD=时，△CEF的面积为最小值．【思路点拨】设BD=x，CD=4−x，根据勾股定理用含x代数式表示出正方形ADEF的面积，利用面积关系S△CEF=12S【解题过程】解：如图，过点A作AH⊥BC垂足为点H，∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴BH=HC=12BC=设BD=x，则DH=2−x，CD=4−x，S正方形S△ACD如图，在正方形ADEF中，AD=DE=EF=AF，过点C作AF的垂线，交AF于点M，交DE于点N，∵AF∥DE，MN⊥AF，∴MN⊥DE，∴四边形ADNM为矩形，MN=AD=DE=EF=AF，∴S∴SS△CEF当x=2−3时，S△CEF的面积最小为故答案为：2−3，96．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，点C'与点B重合，当点B【思路点拨】根据运动过程可分三种情况讨论：当0<x≤2时，两个三角形重叠部分为△BC'D的面积，当2<x≤5时，两个三角形重叠部分为△A'【解题过程】解：①当0<x≤2时，如图1所示，两个三角形重叠部分为△BC由题意得，BC∵△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，∴△BC'D过点D作DE⊥BC于点E，∴BE=1∴DE=3∴S即y=3②当2<x≤5时，如图2所示，两个三角形重叠部分为△A由题意得，B'过点A'作A'E⊥∴A∴S即y=3③当5<x≤7时，如图3所示，两个三角形重叠部分为△B由题意得，BC∵△ABC和△A∴△B'CD过点D作DE⊥BC于点E，∴DE=3∴S即y=3综上，写出y与x之间的函数关系式为y=3故答案为：y=7．（2023·山东泰安·一模）已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，则y与x的函数关系式是【思路点拨】证明△BEF是等边三角形，求出△BEF的面积y与x的函数关系式，即可得出答案．【解题过程】解：连接BD，如图所示：∵菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，∵AE+DE=AD=1，AE+CF=1，∴DE=CF，在△BDE和△BCF中，DE=CF∠BDE=∠C∴△BDE≅△BCF(SAS∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，∴∠DBF+∠DBE=60°，∴∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∴△BEF的面积y=3作BE'⊥AD于E∵AE=x，∴EE∴BE∴y=3∴y与x的函数关系式为：y=3故答案为：y=8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向运动，当其中一点到达点D时，两点停止运动．设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则

【思路点拨】先证明△ABC，△ACD均为等边三角形，再分0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3三种情况，分别画出对应图形，利用含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求得y与x的函数关系式即可．【解题过程】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=2cm，∠D=60°∴AD=CD=BC=AB=2cm，∠B=∠D=60°∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴∠CAD=∠ACD=∠ACB=∠BAC=60°，AC=AB=2cm∴运动时间为xs最大为2cm×3当0≤x≤1时，点P在AC，点Q在AB上，如图，过P作PE⊥AB于E，

由题意，AP=xcm，AQ=2xcm，在Rt△APE∴AE=1则PE=A∴y=1当1<x≤2时，点P在AC上，点Q在AB上，如图，过Q作QF⊥AC于F，

由题意，AP=xcm，CQ=在Rt△CQF中，∠CQF=90°−∠ACB=30°∴CF=1则QF=C∴y=1当2<x≤3时，点P、Q均在CD上，如图，过A作于G，

由题意，CP=x−2cm，∴PQ=CQ−CP=2x−4−x−2在Rt△ADG中，∠DAG=90°−∠D=30°∴DG=1则AG=A∴y=1综上，当0≤x≤1时，y=32x2；当1<x≤2时，y=−3故答案为：当0≤x≤1时，y=32x2；当1<x≤2时，y=−39．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点（1）几秒时，PQ的长度为42（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm（3）当t0<t<5为何值时，四边形APQC【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用t代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．（1）设运动时间为t秒，分别用t的代数式表示出线段PB,BQ的长度，利用勾股定理列出方程即可求解；（2）利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解；（3）利用（1）中的方法求得四边形APQC的面积，利用二次函数的性质即可求解．【解题过程】（1）解：设运动时间为t秒时，PQ的长度为42依题意得：AP=tcm,BQ=2tcm∴PB=6−t∴∠B=90°，∴PB∴6−t解得：t=2或25∴2秒或25秒时，PQ的长度为4（2）解：设运动时间为t秒时，△PBQ的面积为8cm依题意得：AP=tcm∴PB=6−t∵△PBQ的面积为8cm∴1解得：t=2或4．∴2秒或4秒时，△PBQ的面积为8cm（3）解：四边形APQC的面积=S====t−3∵1>0，∴当t=3时，四边形APQC的面积最小，最小值为21．10．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．

（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）求出y的最大值．【思路点拨】（1）由于在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，由此可以利用勾股定理求出BC，AC的长度，又两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C，利用这个条件即可求解；（2）有两种情况：①当Q在AB上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；②当Q在BC上，利用（1）的结论求出BQ，CQ的长度，也就可以求出Q到AB的距离，再利用三角形的面积公式即可求解；（3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解．【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=3而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C，∴Q的速度是P的速度的(2+1)÷3（2）解：∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，

即0<x≤33时，②当Q在BC上，过Q作QE⊥AC于E，如图，∵CQ=AB+BC−(AB+BQ)=3−3x，∴QE=1

∴当33<x<3即：y=−3综上所述：y关于x的函数关系式为y=3（3）解：对于y=当x=33时，对于y=−34当x=32时，∵33∴当x=32时，11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）等腰直角△ABC的直角边AB=BC=20cm,AC=202cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？如果不变，请直接写出DE的长度；如果改变，请说明理由．【思路点拨】（1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/秒，求出QC、PB与t的关系式就可得出（2）求出△ABC的面积，结合S△PCQ=S△ABC，设P运动的时间为t秒，分别分析当t<20秒时，以及当（3）过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，连接EQ、PM，易证△APE≌【解题过程】（1）解：当t≤20秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=20−t，∴S当t>20秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t−20，∴S综上所述S=−（2）解：S△ABC当0<t<20秒时，−1方程无解；当t>20秒时，12解得x1∴当点P运动10+105秒时，S（3）解：线段DE的长度不会改变，理由如下：如图，过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，∵AB=BC=20cm∴∠A=∠ACB=∠QCM=45°∵AP=QC=t，∠QMC=∠AEP=90°∴△APE≌∴AE=PE=CM=QM=2∵EP∥∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半，∴EM=EC+CM=EC+AE=202∴ED=1同理，当点P在点B右侧时，DE=102综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变，为12．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，点D为BC边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以PQ、PD为邻边作▱PDEQ，设点P的运动时间为（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）当线段QE被边AC平分时，求t的值；（3）设▱PDEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S=6时t的值.【思路点拨】（1）分0<t<2和2<t<4两种情况进行求解即可；（2）设AC与QE相交于点F，求出QF=2AQ=2t，由平行四边形的性质得到QE=PD=4−2t，又有QE=2QF，则（3）过点Q作QH⊥BC于点H，分0<t<2和2<t<4两种情况求解S，再分两种情况代入S=6进一步求解即可.此题考查了列函数关系式、等腰直角三角形的性质、二次根式运算等知识，数形结合和分类讨论是是解题的关键.【解题过程】（1）解：∵点D为BC边的中点，∴BD=CD=1当0<t<2时，PD=BD−PB=4−2t，当2<t<4时，PD=PB−BD=2t−4；（2）如图1，设AC与QE相交于点F，在Rt△AQF中，∠AQE=∠B=45°,AQ=∴QF=2∵以PQ、PD为邻边作▱PDEQ，∴QE=PD=4−2t，又∵QE=2QF，∴4−2t=4t，解得t=3（3）如图，过点Q作QH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，∴AB=AC=2在Rt△BQH中，BQ=42∴QH=BH=2当0<t<2时，PD=BD−PB=4−2t，∴S=PD⋅QH=4−2t当2<t<4时，PD=PB−BD=2t−4；∴S=PD⋅QH=2t−4∴S=2当S=6时，若2t2−12t+16=6当S=6时，若−2t∴t=113．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．动点P，Q从A同时出发，且速度均为3cm/s，点P，Q分别沿折线AB−BC，AD−DC向终点C运动．设点P的运动时间为xs0<x<3

（1）当点P与点B重合时，x的值为______．（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（3）当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度．【思路点拨】（1）当点P与点B重合时，即AP=AB=3，再计算出x的值即可；（2）分类讨论：当0<x≤1时、当1<x≤2时和当2<x≤3时，分别画出图形，再根据三角形面积公式计算即可，注意当1<x≤2时利用矩形面积减去三个小三角形面积计算；（3）由题意可知当点P在AB上运动或点Q在CD上运动时PQ长度一定发生变化，即讨论1<x≤2即可，此时点P在BC上运动，点Q在AD上运动，过点P作PE⊥AD于E．根据矩形的性质结合勾股定理求解即可．【解题过程】（1）解：当点P与点B重合时，AP=AB=3，∴x=3故答案为：1；（2）解：分类讨论，当0<x≤1时，如图，

∴AP=AQ=3x，∴y=1当1<x≤2时，如图，

∴AQ=3x，∴y=1当2<x≤3时，如图，

∴DQ=3x−6，BP=3x−3，BC=QC=9−3x，∴y=AB⋅AD−=3×6−=−9综上可知：y=9（3）解：由题意知，当点P在AB上运动或点Q在CD上运动时PQ长度一定发生变化，∴讨论1≤x≤2即可，此时点P在BC上运动，点Q在AD上运动，如图，作PE⊥AD于E．

∴AE=BP=3x−3，AQ=3x，EP=AB=3，∴EQ=AQ−AE=3x−3x−3∴PQ=E∴当PQ长度不变时，1≤x≤2，PQ长度为3214．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，动点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为（单位：cm2），y与x之间的函数图象如图2（1）正方形的边长为______，点P的运动速度为______；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）若P在AB上运动时，点P，Q的位置记为P1，Q1，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为P2，Q2，且点P从【思路点拨】（1）根据正方形的性质及三角形的面积公式即可求得正方形的边长，从而求得速度；（2）根据动点的运用，分类讨论，①当0≤x<4时，AP=AQ=x；②当4≤x≤8时，如图所示，CQ=CP=8−x；图形结合，根据几何图形面积的计算方法即可求解；（3）设点P运动到点P1处时，x=m(0<m<4)，则点Р运动到点P2处时，设六边形P1BP2Q2D【解题过程】（1）解：由题意可得△ABD的面积为8，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°∴12解得AB=4cm，(负值舍去)∴正方形的边长为4cm∴点P的运动速度为4÷4=1cm/s故答案为：4cm，1（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4cm，∠A=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，线段BD∴BD=2∵点P、Q的速度为1cm/s，设运动时间为x∴点P从A→B的时间为4÷1=4(s)，从A→B→C的运动时间为点Q从A→D的时间为4÷1=4(s)，从A→D→C的运动时间为①当0≤x<4时，AP=AQ=x，∴S△ABD=1∴S四边形∴y与x之间的函数关系式为y=−1②当4≤x≤8时，如图所示，

∴CQ=CP=8−x，∴S△ABD=12AB⋅AD=∴S四边形∴y与x之间的函数关系式为y=−1综上所述，y与x之间的函数关系式为y=−（3）解：设点P运动到点P1处时，x=m(0<m<4)，则点Р运动到点P2处时，设六边形P1BP则S==−=−=−m−2∴当m=2时，六边形P1BP15．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=6cm，动点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC边向终点C运动，过P作PQ⊥AB于点Q，以BP、BQ为邻边作平行四边形PBQM，设点P的运动时间为ts，平行四边形PBQM与（1）当点M落在AC边上时，求t的值；（2）求S与t的函数关系，并直接写出自变量t的取值范围．【思路点拨】（1）由题意可得BP=2tcm，根据勾股定理求得BQ=PQ=tcm，根据平行四边形的性质可得PB∥QM,PB=QM=2tcm，当点M在AC（2）分两种情况：①当0<t≤2时，S=S▱BPMQ；②当2<t≤3时，MQ,MP分别交AC于点G、点H，【解题过程】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC,∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵PQ⊥AB，∴∠PQB=90°，∴∠BPQ=∠B=45°，∴PQ=BQ，∵BP=2∴BQ∴BQ=PQ=tcm∵四边形PBQM为平行四边形，∴PB∥QM,PB=QM=2当点M在AC边上时，如图，∵PB∥QM，∴∠AMQ=∠ACB=90°．∵∠A=45°，∴△AQM为等腰直角三角形，∴AM∴AQ=2tcm∵AQ+BQ=AB，∴t+2t=6，∴t=2．（2）解：①当0<t≤2时，如图，∴S=S②∵在Rt△ABC中，A∵AB=6cm∴2A∴AC=BC=32∴当2<t≤3时，如图，MQ,MP分别交AC于点G、点H，∵BO=tcm∴AQ=6−t∵△AQG为等腰直角三角形，∴AQ∴QG=2∵QM=PB=2∴GM=QM−QG=2∵∠M=45°,∠MGH=90°，∴△GHM为等腰直角三角形，∴GM=GH，∴S=S综上所述，S=t16．（2023·吉林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A−D−C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q，在点P运动过程中，设运动时间为t，△APQ与菱形ABCD重叠部分的面积为（1）写出线段PD的长（用含t的式子表示）．（2）当PQ平分菱形面积时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【思路点拨】（1）分两种情况：①当0<t≤2时，②当2<t≤4时，由题意可得出答案；（2）连接BD，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DPQM为矩形，证明△DPO≌△BQOAAS，由全等三角形的性质得出DP=BQ=（3）分三种情况：①当0<t≤2时，点P在边AD上，如图2；②当2<t≤3时，当点P在边CD上，点Q在线段AB上，如图3；③当3<t≤4时，当点P在边CD上，点Q在线段AB的延长线上，如图4．【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=DC=4cm当0<t≤2时，PD=4−2t当2<t≤4时，PD=2t−4（2）解：连接BD，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DPQM为矩形，∴DP=MQ，∵AD=AB=4cm，∠DAB=60°∴AM=2cm∵PQ平分菱形的面积，∴PQ经过BD的中点O，∴OB=OD，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥∴∠PDO=∠OBQ，∠DPO=∠BQO，∴△DPO≌△BQOAAS∴DP=BQ=2t−4∴2+2t−4+2t−4=4，∴t=5（3）解：分三种情况：①当0<t≤2时，点P在边AD上，如图2．∵AP=2tcm，∠A=60°∴AQ=12AP=t∴S∴S=3②当2<t≤3时，当点P在边CD上，点Q在线段AB上，如图3．由（2）可知，∵DP=2t−4∴AQ=2+2t−4=2t−2∴S=SS=1③当3<t≤4时，当点P在边CD上，点Q在线段AB的延长线上，如图4．∵AQ=2t−2cm，∴BQ=2t−6∵∠QBN=60°，∴QN=3∴S=S=−23综上所述，S与t的函数关系式为S=317．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，点E是AB的中点．动点P从点E出发，沿折线EA−AD−DC以2cm/s的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边DC或边CB于点Q，连接PQ．当点Q与点B重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为xsx>0（1）当x=1.5时，△PQE的形状是______．（2）当点Q与点B重合时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【思路点拨】（1）由题意得出当x=1.5时，点P在AD上，如图，作QF⊥AB于F，则∠QFA=∠QFB=90°，证明△EAP≌△QFEAAS，得出PE=QE（2）求出当点Q与点B重合时，此时点P的运动的距离为6cm（3）分三个阶段：当0<x≤1时，点P在EA上运动；当1<x≤2时，点P在AD上运动，作QF⊥AB于F；当2<x≤3时，点P在DC上运动，作PH⊥AB于H，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案．【解题过程】（1）解：当x=1.5时，点P运动的距离为：2×1.5=3cm∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，AD=BC=2cm，AB=CD=4cm∵点E是AB的中点．∴AE=1∴当x=1.5时，点P在AD中点上，如图，作QF⊥AB于F，则∠QFA=∠QFB=90°，∴四边形CBFQ为矩形，∴QF=BC=AE，∵∠PEQ=90°，∴∠PEA+∠QEF=90°，∵∠PEA+∠APE=90°，∴∠QEF=∠APE，∴△EAP≌△QFEAAS∴PE=QE，∴△PQE的形状是等腰直角三角形；（2）如图，当点Q与点B重合时，∵∠PEQ=∠C=∠EBC=90°，∴四边形CBEP是矩形，∴PC=EB=2cm∴DP=CD−PC=2cm∴此时点P的运动的距离为AE+AD+DP=2+2+2=6cm∴x=6÷2=3；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，AD=BC=2cm，AB=CD=4cm∵点E是AB的中点．∴AE=1如图，当0<x≤1时，点P在EA上运动，，此时PE=2x，∵∠PEQ=∠A=∠D=90°，∴四边形ADQE是矩形，∴QE=AD=2cm∴y=S如图，当1<x≤2时，点P在AD上运动，作QF⊥AB于F，则∠QFA=∠QFB=90°，∴四边形CBFQ为矩形，∴QF=BC=2cm同（1）可得，△EAP≌△QFEAAS∴PE=QE，∴△PQE的形状是等腰直角三角形，由题意得：AP+AE=2xcm∴AP=2x−2cm∴PE∴y=S如图，当2<x≤3时，点P在DC上运动，作PH⊥AB于H，同理可得：四边形DAHP为矩形，△EHP≌△QBEAAS∴HP=AD=2cm，PE=QE，AH=DP∵AD+AE+DP=2xcm∴DP=2x−4cm∴AH=DP=2x−4cm∴HE=AE−AH=2−2x−4∴PE∴y=S综上所述，y=2x18．（2024·吉林四平·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，∠A=60°．点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作PQ⊥AB，交折线AD−DB于点Q，以PQ、PB为边作矩形PQEB，设矩形PQEB与△ABD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为ts（1）用含t的代数式表示PB的长；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）作射线CE，当CE截矩形PQEB所得的图形存在轴对称图形时，直接写出t的值．【思路点拨】（1）根据菱形性质结合∠A=60°得到△ABD是等腰三角形，得到BD=6，根据含30°的直角三角形性质结合AP=t，即得BP=6−t；（2）分类讨论：当0<t≤3时，点Q在AD上运动，设EQ交BD于点F，证明△AQP≅△FBEASA，PQ=3t，得到EF=AP=t，BE=PQ=3t,根据S=S矩形PQEB−S△BFE计算即得；当3<t<6时，点Q（3）分类讨论：设射线CE交AB于点G，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，根据含30°的直角三角形性质得到BH=3，CH=33，当0<t≤3时，若△EBG是等腰直角三角形，推出BH=33−3t，得到33−3t=3，解方程即得；当3<t<6时，设CG交PQ于点K【解题过程】（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD=BD=6，∵AP=t，∴PB=6−t，（2）当0<t≤3时，如图1，点Q在AD上运动，设EQ交BD于点F，∵矩形PQEB中，PQ=BE，∠QPB=∠PBE=∠E=90°，∴∠APQ=∠E=90°，∵∠ABD=∠A=60°，∴∠AQP=∠FBE=30°，∴△AQP≅△FBEASA，PQ=∴EF=AP=t，BE=PQ=3∴S==PQ⋅PB−==−3当3<t<6时，如图2，点Q在BD上运动，∵∠BQP=90°−∠ABD=30°，∴PQ=3∴S=SS=−（3）设射线CE交AB于点G，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，则∠CHB=90°，∵AD∥BC，∴∠CBH=∠A=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=1∴CH=3当0<t≤3时，如图3，若△EBG是等腰直角三角形