2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第01讲函数的概念及其表示(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第01讲函数的概念及其表示目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：函数的概念 3高频考点二：函数定义域 5角度1：具体函数的定义域 5角度2：抽象函数定义域 5角度3：已知定义域求参数 5高频考点三：函数解析式 6角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 6角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 6角度3：待定系数法 7角度4：方程组消去法 7高频考点四：分段函数 8角度1：分段函数求值 8角度2：已知分段函数的值求参数 9角度3：分段函数求值域（最值） 9高频考点五：函数的值域 10角度1：二次函数求值域 10角度2：分式型函数求值域 10角度3：根式型函数求值域 10角度4：根据值域求参数 11第四部分：典型易错题型 12备注：求函数解析式容易忽略定义域 12备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域 12第五部分：新定义题（解答题） 12第一部分：基础知识1、函数的概念设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2、同一（相等）函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3、函数的表示函数的三种表示法解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.4、分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．5、高频考点结论5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式型函数：分母不等于零.(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为(4)的定义域是.(5)(且)，，的定义域均为.(6)(且)的定义域为.(7)的定义域为.5.2函数求值域（1）分离常数法：将形如()的函数分离常数，变形过程为：，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.（2）换元法：如：函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．（3）基本不等式法和对勾函数（4）单调性法（5）求导法第二部分：高考真题回顾1．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则．2．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数的概念典型例题例题1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（

）A． B．C． D．例题2．（2024上·四川泸州·高一统考期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（）A． B． C． D．练透核心考点1．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（

）12343A． B．0 C．3 D．42．（多选）（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列各图中，是函数图象的是（

）A． B．

C．

D．

高频考点二：函数定义域角度1：具体函数的定义域典型例题例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（

）A．且 B． C． D．例题2．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为.角度2：抽象函数定义域典型例题例题1．（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（

）A． B． C． D．角度3：已知定义域求参数典型例题例题1．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的值为．练透核心考点1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．2．（2024上·山西长治·高一校联考期末）函数的定义域为.3．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为.4．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数的值为．高频考点三：函数解析式角度1：凑配法求解析式（注意定义域）典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则函数，=．例题2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）已知（a，b均为常数），且．(1)求函数的解析式；角度2：换元法求解析式（换元必换范围）典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式.角度3：待定系数法典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数是一次函数，且，则（

）A．11 B．9 C．7 D．5例题2．（2024·江苏·高一专题练习）设二次函数满足，且，求的解析式.角度4：方程组消去法典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知满足，则解析式为．例题2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，求函数的解析式．练透核心考点1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．3．（2024·全国·高三专题练习）若函数满足方程且，则：（1）；（2）．4．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则.5．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式(1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式(2)设满足，求的解析式6．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；（2）已知，求的解析式；高频考点四：分段函数角度1：分段函数求值典型例题例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）已知函数，，则（

）A． B． C． D．0例题2．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知函数，则．角度2：已知分段函数的值求参数典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数且，则（

）A．-16 B．16 C．26 D．27例题2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知函数若，则实数的值为．角度3：分段函数求值域（最值）典型例题例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数，则的最大值是（

）A．60 B．58 C．56 D．52练透核心考点1．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则（

）A． B． C． D．2例题1．（2024·全国·高一假期作业）函数的值域为（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函数.(1)求的解析式；(2)求的值域.角度4：根据值域求参数典型例题例题1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2024·上海·高一假期作业）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为.例题3．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．练透核心考点1．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数的最大值是（

）A． B． C． D．42．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为．4．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是或，则此函数的定义域为.5．（2024·全国·高三专题练习）求函数的值域为.6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则常数．7．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的值域.(1)(2)第四部分：典型易错题型备注：求函数解析式容易忽略定义域1．（2023上·广东佛山·高一校考期中）已知函数，则函数的解析式为．2．（2023上·江苏盐城·高一校考期中）若函数，则．备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域1．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．2．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是.第五部分：新定义题（解答题）1．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”.(1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由；(2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围.第01讲函数的概念及其表示目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：函数的概念 4高频考点二：函数定义域 6角度1：具体函数的定义域 6角度2：抽象函数定义域 6角度3：已知定义域求参数 7高频考点三：函数解析式 9角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 9角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 10角度3：待定系数法 11角度4：方程组消去法 12高频考点四：分段函数 15角度1：分段函数求值 15角度2：已知分段函数的值求参数 16角度3：分段函数求值域（最值） 17高频考点五：函数的值域 20角度1：二次函数求值域 20角度2：分式型函数求值域 21角度3：根式型函数求值域 22角度4：根据值域求参数 23第四部分：典型易错题型 27备注：求函数解析式容易忽略定义域 27备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域 28第五部分：新定义题（解答题） 29第一部分：基础知识1、函数的概念设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2、同一（相等）函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3、函数的表示函数的三种表示法解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.4、分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．5、高频考点结论5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式型函数：分母不等于零.(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为(4)的定义域是.(5)(且)，，的定义域均为.(6)(且)的定义域为.(7)的定义域为.5.2函数求值域（1）分离常数法：将形如()的函数分离常数，变形过程为：，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.（2）换元法：如：函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．（3）基本不等式法和对勾函数（4）单调性法（5）求导法第二部分：高考真题回顾1．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则．【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：12．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，

解得.【详解】解：若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数的概念典型例题例题1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数定义作出判断.【详解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求，D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误.故选：D例题2．（2024上·四川泸州·高一统考期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是；对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是；对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是；对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是.故选：C练透核心考点1．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（

）12343A． B．0 C．3 D．4【答案】D【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得.【详解】观察函数的图象，得，由数表得，所以.故选：D2．（多选）（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列各图中，是函数图象的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】BD【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个值都有唯一的一个值与之对应，可看出BD满足.故选：BD高频考点二：函数定义域角度1：具体函数的定义域典型例题例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（

）A．且 B． C． D．【答案】C【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.故选：例题2．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为.【答案】【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可.【详解】，解得且，函数的定义域为.故答案为：.角度2：抽象函数定义域典型例题例题1．（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又，即，所以，解得.所以函数的定义域为.故选：D.例题2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可.【详解】设，依题意可得，解得，所以，所以的定义域为，值域为，且，对于函数，则，解得，即函数的定义域是.故选：B角度3：已知定义域求参数典型例题例题1．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，，不等式恒成立，当时，恒成立，则，当时，有，解得，则，因此所以的取值范围是例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的值为．【答案】【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．【详解】由题意的解是，所以，解得，，所以．故答案为：．练透核心考点1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】根据题意可得，解得且．故选：C.故选：C2．（2024上·山西长治·高一校联考期末）函数的定义域为.【答案】【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.【详解】令，则或，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：3．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】根据题意转化为在恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由函数的定义域为，即在恒成立，结合一元二次方程的性质，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：4．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数的值为．【答案】【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案.【详解】的定义域满足：，解集为，故且，解得.故答案为：高频考点三：函数解析式角度1：凑配法求解析式（注意定义域）典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则函数，=．【答案】11【分析】利用换元法可求出，进一步可得.【详解】令，则，所以，所以，所以.故答案为：；.例题2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）已知（a，b均为常数），且．(1)求函数的解析式；【答案】(1)【分析】（1）由，代入函数解析式求出，得函数的解析式；【详解】（1）由，得，即，由，可得解得所以角度2：换元法求解析式（换元必换范围）典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据换元法求函数解析式.【详解】令，可得.所以，因此的解析式为.故选：D.例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式.【答案】【分析】令，则，代入函数解析式可得解.【详解】由，令，则，所以，所以.【点睛】本题主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解题的关键是换元法，但是需要主要定义域的变化，属于基础题角度3：待定系数法典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数是一次函数，且，则（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】A【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解.【详解】设，则，整理得，所以，解，所以，所以.故选：A例题2．（2024·江苏·高一专题练习）设二次函数满足，且，求的解析式.【答案】【分析】根据题意设，由求出c，由可求得，即可得答案.【详解】设二次函数为，因为，所以，所以，又因为，即，所以，解得：，所以函数解析式为.角度4：方程组消去法典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知满足，则解析式为．【答案】【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.【详解】由

①用代可得，

②由①②可得：故答案为：例题2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，求函数的解析式．【答案】【分析】通过构造方程组的方法来求得的解析式.【详解】①，以替换，得②，得：，所以.练透核心考点1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：D.2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法直接求解即可.【详解】令，，则，，所以，所以的解析式为：故选：B.3．（2024·全国·高三专题练习）若函数满足方程且，则：（1）；（2）．【答案】【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案.【详解】令可得：，所以；由①得，②，联立①②可得：.故答案为：①；②.4．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则.【答案】【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.【详解】因为，所以，同除以2得，两式相加可得，即.故答案为：.【点睛】求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．5．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式(1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式(2)设满足，求的解析式【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用消元法求函数解析式.【详解】（1）设一次函数的解析式为，则，所以，解得，或，所以或.（2）由①，得②，①②得，即.6．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；（2）已知，求的解析式；【答案】（1）；（2）【分析】（1）设出，根据题目条件得到方程组，求出，，得到函数解析式；（2）换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.【详解】（1）由题意，设函数为，，，即，由恒等式性质，得，，，所求函数解析式为（2）令，则，，因为，所以，所以.高频考点四：分段函数角度1：分段函数求值典型例题例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）已知函数，，则（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】由题意首先将代入得的值，进一步将代入即可求解.【详解】由题意，解得，所以.故选：C.例题2．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知函数，则．【答案】【分析】由，从而可求解.【详解】由题意知当，，则，所以.故答案为：.角度2：已知分段函数的值求参数典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数且，则（

）A．-16 B．16 C．26 D．27【答案】C【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.【详解】当时，，当时，，所以，故选：C例题2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知函数若，则实数的值为．【答案】【分析】利用分段函数求解即可.【详解】，，．故答案为：角度3：分段函数求值域（最值）典型例题例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域；【详解】法一：因为且，所以当时，，当时，；当时，，所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.

故选：D例题2．（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数，则的最大值是（

）A．60 B．58 C．56 D．52【答案】C【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数和反比例函数的性质即可得解.【详解】当时，，此时，当时，在上单调递减，此时，综上所述，.故选：C.练透核心考点1．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到，再作出其图象求解.【详解】解：由题意得：，其图象，如图所示：

由图象知：函数y的值域为，故选：A2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.【详解】函数，则，所以.故选：A3．（多选）（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知，若，则所有可能的值是（

）A．－1 B． C．1 D．【答案】BD【分析】利用函数的解析式，结合指数、对数运算可求得结果.【详解】由已知可得或或，解得，或.故选：BD4．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为．【答案】【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.【详解】当时，，当时，，所以的值域为．故答案为：.高频考点五：函数的值域角度1：二次函数求值域典型例题例题1．（2024上·上海·高一校考期末）函数，的最小值是.【答案】【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，又，所以的最小值是.故答案为：.例题2．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知二次函数满足．(1)求的解析式．(2)求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式；（2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.【详解】（1）令，则，，∴.（2）因为，所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增，∴，，即的值域为.角度2：分式型函数求值域典型例题例题1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域.【详解】，而由函数向右平移3个单位得到，所以得值域和的值域相同，都为，所以得值域为，故选：B例题2．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）函数的值域是．【答案】【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案.【详解】由题意可知，函数，由，，或，则或，即函数值域为.故答案为：角度3：根式型函数求值域典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.【详解】令，，则，所以函数，函数在上单调递增，时，有最小值，所以函数的值域为.故选：C例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函数.(1)求的解析式；(2)求的值域.【答案】(1)(2).【分析】（1）换元法求解析式；（2）求复合函数的值域，先由内层二次函数配方法求值域，再由幂函数的性质可得函数值域.【详解】（1）令，则，所以，故.（2）由（1）知，设，图象开口向上，由，，的值域为，令，则的值域即函数的值域，由函数在单调递增，则，的值域为.故的值域为.角度4：根据值域求参数典型例题例题1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得.【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数．所以或，解得，即实数的取值范围是.故选：A．例题2．（2024·上海·高一假期作业）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为.【答案】【分析】分类讨论，在时由可得．【详解】时，不合题意，因此且，∴，故答案为：．例题3．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．【答案】【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.【详解】当时，，此时，当且时，，此时，且，所以不满足；当且时，，由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以，此时，若要满足的值域为，只需要，解得；当且时，因为均在上单调递增，所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为；综上可知，的取值范围是，故答案为：.练透核心考点1．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数的最大值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】设，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.【详解】由，解得，故的定义域为.设，则，其中，，∵，则，∴当，即时，取最大值，即函数的最大值是.故选：B.2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：由图可知，当或时，两图象相交，若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；同理当,值域也不是；当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；综上可知，实数的取值范围是.故选：B3．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”