2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（23-24高一下·重庆铜梁·阶段练习）的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）圆心角是，半径是的扇形的面积为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·江西·开学考试）下列命题为真命题的是（

）A．大于的角都是钝角 B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角6．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C．1 D．57．（23-24高一上·山西运城·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（

）

A．600平方步 B．640平方步四、解答题13．（2024高三·全国·专题练习）（1）如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边分别落在第几象限？（2）写出终边落在直线上的角的取值集合；（3）若θ＝＋2kπ(k∈Z)，求在[0，2π)内终边与角的终边相同的角．14．（2024高三·全国·专题练习）利用单位圆写出符合下列条件的角α的取值集合．(1)；(2)；(3)tanα≥1.B能力提升1．（23-24高一上·云南昆明·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（）A． B．C． D．2．（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（

）A． B． C． D．3．（2024高一下·上海·专题练习）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为．

4．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，，，.则S阴影=.C综合素养（新定义解答题）1．（22-24高一下·北京海淀·期末）若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．(1)判断是否是函数的点，并说明理由；(2)若函数的集为，求的最大值；(3)若定义域为的连续函数的集满足，求证：．第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（23-24高一下·重庆铜梁·阶段练习）的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据终边相同的角判断即可.【详解】且角是第二象限角，角的终边在第二象限.故选：B2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式及特殊值即可求解.【详解】.故选：B.3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数定义即可得解.【详解】由题意.故选：A.4．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）圆心角是，半径是的扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据扇形的面积公式运算求解.【详解】由题意可知：扇形的面积为.故选：B.5．（23-24高一下·江西·开学考试）下列命题为真命题的是（

）A．大于的角都是钝角 B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角【答案】B【分析】根据象限角的定义即可判断ABC，根据象限角与余弦值的关系即可判断D.【详解】对A，∵，但180°不是钝角，∴A是假命题，故A错误；对B，∵锐角的范围是，是第一象限角，B是真命题，故B正确；对C，是第二象限角，是第一象限角，，∴C是假命题，故C错误；对D，当时，，不是第二或第三象限的角，∴D是假命题，故D错误.故选：B.6．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C．1 D．5【答案】D【分析】根据三角函数的定义及两角差的正切公式即可求解.【详解】因为角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，所以，所以.故选：D.7．（23-24高一上·山西运城·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（

）

A．600平方步 B．640平方步C．660平方步 D．700平方步【答案】C【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：，则“该环田”的面积为平方步.故选：C8．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知点是角的终边上一点，则（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【分析】先利用三角函数的定义求得，再利用倍角公式转化，从而得解.【详解】因为点是角的终边上一点，所以，则.故选：B.二、多选题9．（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】AC【分析】利用象限角的定义即可得解.【详解】依题意，得，所以，当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限．故选：AC.10．（23-24高一下·江西吉安·阶段练习）下列函数值中，符号为负的为（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】先判断象限，再确定符号.【详解】,是第一象限角，，∵是第四象限角，∴；∵是第二象限角，∴，∴；∵，∴2是第二象限角，∴．故选：CD.三、填空题11．（23-24高一下·上海·阶段练习）若角的终边经过点，且，则.【答案】【分析】借助三角函数定义计算即可得.【详解】由三角函数定义可知，即，解得.故答案为：.12．（23-24高一下·江西·阶段练习）扇形拼盘是一种可以在宴会或聚会中展示美食的独特器具，它不仅可以为食物增添美观的视觉效果，还可以使每个人轻松地享用到不同的食物．已知某不锈钢扇形拼盘如图所示，其示意图可以看成是由中间的一个直径为24cm的圆，四周是8个相同的扇环形组成的，寓意“八方进宝”．若每个扇环形的周长为32+10πcm，则每个扇环形的面积为．【答案】【分析】根据给定条件，利用弧长公式、扇形面积公式列式求解即得.【详解】设扇环形所在圆的半径为，依题意，扇环形所在扇形的圆心角为，于是，解得，所以每个扇环形的面积为（）.故答案为：四、解答题13．（2024高三·全国·专题练习）（1）如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边分别落在第几象限？（2）写出终边落在直线上的角的取值集合；（3）若θ＝＋2kπ(k∈Z)，求在[0，2π)内终边与角的终边相同的角．【答案】（1）第二象限、第四象限、第一象限；（2）；（3）【详解】（1）由题意可知π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)，所以－－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)，即＋2kπ<－α<π＋2kπ(k∈Z)①.所以－α角的终边落在第二象限．由①得＋2kπ<π－α<2π＋2kπ(k∈Z)，所以π－α角的终边落在第四象限角．同理可知，π＋α角的终边落在第一象限．（2）在(0，π)内终边落在直线y＝x上的角是，所以终边落在直线y＝x上的角的取值集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．（3）因为θ＝＋2kπ(k∈Z)，所以＝＋k(k∈Z).当0≤＋k<2π，k＝0，1，2时，∈[0，2π).故在[0，2π)内终边与角的终边相同的角是，，.【考查意图】角的取值集合的表示，终边相同的角的表示．14．（2024高三·全国·专题练习）利用单位圆写出符合下列条件的角α的取值集合．(1)；(2)；(3)tanα≥1.【答案】(1){α|α＝－＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}．(2){α|－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}．(3){α|＋kπ≤α＜＋kπ，k∈Z}．【解析】略B能力提升1．（23-24高一上·云南昆明·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用扇形三角形面积公式，利用整体减去部分即可.【详解】根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积：，，，则，即S．故“窗花”面积为．故选：A．2．（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（

）A． B． C． D．此次点走过的路径是，点三次共走过的路径是，故答案为：．4．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，，，.则S阴影=.【答案】【分析】阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积，利用已知数据计算即可.【详解】，则为⊙A的直径，连接，如图所示，，，则为等边三角形，，的半径为2，的半径为4，阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积，则阴影部分的面积为.故答案为：C综合素养（新定义解答题）1．（22-24高一下·北京海淀·期末）若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．(1)判断是否是函数的点，并说明理由；(2)若函数的集为，求的最大值；(3)若定义域为的连续函数的集满足，求证：．【答案】(1)不是，理由见解析；(2)；(3)见解析【分析】（1）直接求出，再判断出，即可得到，即可得到结论；（2）先说明，若，则，由题设得到，推出矛盾即可证得；再说明的值可以等于，令，利用三角函数的值域加以证明即可；（3）由题设知，必存在，使得，结合零点存在定理说明函数必存在零点，即可证明.【详解】（1）不是函数的点，理由如下：设，则，，因为，所以，所以，所以不是函数的点；（2）先证明，若，则函数的最小正周期，因为函数