北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题4.8图形的相似单元提升卷专题特训（学生版+教师版）

第4章图形的相似单元提升卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足abA．ad=cb B．a+cb+d=2．（3分）（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，添加下列条件，不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACBC．ADAC=AC3．（3分）（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CEA．76565 B．72 C．144．（3分）（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（

A．1 B．2 C．3 D．45．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是3和4，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（

）A．4 B．3 C．2.5 D．2.46．（3分）（23-24·陕西渭南·二模）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为(−1,0)、(−2.0)

A．18 B．12 C．24 D．97．（3分）（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（

）A．2 B．4 C．6 D．88．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．对于三人的观点，下列说法正确的是（

）

A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对9．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，△ABC≌△DEF，AB=AC=5，BC=EF=6，点E在BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当△AEG是等腰三角形时，△AEG的面积是（

）．A．8或625108 B．8 C．625108 10．（3分）（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90∘，AD=1，BC=2，对角线AC、BD交于点E．当边ABA．点E到边AB的距离不变 B．点E到边BC的距离不变C．点E到边CD的距离不变 D．点E到边DA的距离不变二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH12．（3分）（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12cm213．（3分）（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形ABCD内的一点，且PB=8，BF⊥BP，若在射线BF上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么BM=14．（3分）（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，将▱ABCD绕点C旋转至▱EOCF的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：

（1）已知∠COB=α，则∠FCD=（用含α的代数式表示）；（2）若BO=2，则BC的长为．15．（3分）（23-24·四川成都·一模）如图，已知△ABC为等腰三角形，且AB=AC，延长AB至D，使得AB：BD=m：n，连接CD，E是BC边上的中点，连接AE，并延长AE交CD与点F，连接FB

16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形．如果△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，那么S1三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：(1)AF=CG；(2)CF=2DE．18．（6分）（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足a:b:c=1:3:5，且a−b+c=6．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．19．（8分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点20．（8分）（23-24九年级·江苏·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1)求证：△ADE∽(2)若AB=10，BE=3AE，求线段21．（8分）（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．22．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE(1)当动点运动时间t=秒时，△BDE与△ABC相似．(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．23．（8分）（23-24·陕西榆林·二模）问题探究：(1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为(2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；问题解决：某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝3003米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）

第4章图形的相似单元提升卷【北师大版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足abA．ad=cb B．a+cb+d=【答案】B【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．【详解】解：A、由已知ab=cd得B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键．2．（3分）（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，添加下列条件，不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACBC．ADAC=AC【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、根据题意可知，∠CAD=∠BAC，∠ACD＝∠B，由两角对应相等两三角形相似可得B、根据题意可知，∠CAD=∠BAC，∠ADC=∠ACB，由两角对应相等两三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；C、根据题意可知，∠CAD=∠BAC，ADAC=ACD、由条件无法判断∠ADC=∠ACB，故不能判定△ACD∽△ABC，该选项符合题意；故选：D．3．（3分）（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CEA．76565 B．72 C．14【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出DB的长度，由AB∥DC，易证△DAB∽△CED，最后列出比例式求解即可．【详解】由勾股定理得DB=A∵AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90°∴∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A，∴△DAB∽△CED，∴CEAD∴CE7解得CE=28故选：D．4．（3分）（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查相似三角形的应用，证明△ABP∽△CDP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：由题意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，BD=8，AB=1.6，CD=4.8，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴BPDP∴BP8−BP解得：BP=2，经检验，BP=2是原方程的解且符合题意，∴将平面镜P放置在离王刚2m故选：B．5．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是3和4，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（

）A．4 B．3 C．2.5 D．2.4【答案】D【分析】此题主要考查了矩形的性质与相似三角形的综合运用，利用三角形的相似求线段长度是初中阶段重点知识，熟练掌握是解此题的关键．过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∼△CDA和△PFD∼△BAD，根据PECD=PACA和PFAB=PDBD，即PE3=PA【详解】解：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△PEA∼△CDA，∴PECD∵AC=BD=3∴PE3同理：△PFD∼△BAD，∴PFAB∴PF3∴PE+PF3∴PE+PF=12即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是：125故选：D．6．（3分）（23-24·陕西渭南·二模）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为(−1,0)、(−2.0)

A．18 B．12 C．24 D．9【答案】C【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，△ABC与△A′B【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、∴△ABC∽△A′B∴△ABC的面积：△A′∵△ABC的面积是6，，∴△A故选：C7．（3分）（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，证明出四边形AEDF的形状是解题关键．根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，再根据等边对等角的性质，得出DE∥AC，DF∥AE，证明四边形AEDF是菱形，得到AE=DE=DF=AF=4，然后由平行线分线段成比例定理，得到【详解】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥同理可得DF∥∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥∴BDCD∵BD=6，AE=4，CD=3，∴63∴BE=8，故选：D．8．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．对于三人的观点，下列说法正确的是（

）

A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对【答案】C【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断．【详解】解：如图所示，

据题意得：AB∥A′B′∴∠A=∠A′，∴△ABC∽∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确．乙：设原矩形边长为a，b．向外扩张一个单位后边长变为a+2，b+2．则A∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确；丙：将边长为a的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，故丙正确，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．9．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，△ABC≌△DEF，AB=AC=5，BC=EF=6，点E在BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当△AEG是等腰三角形时，△AEG的面积是（

）．A．8或625108 B．8 C．625108 【答案】A【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，可得AE≠AG，当AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，AB=AC，∴∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，∴∠AGE>∠AEF，∴AE≠AG；∵∠AEF=∠B，∴180°−∠AEB−∠AEF=180°−∠AEB−∠B，即：∠CEG=∠BAE，当AE=EG时，在△ABE与△ECG中，∠B=∠C∴△ABE≌△ECGAAS∴CE=AB=5，∴BE=BC−EC=6−5=1，作AM⊥BC于点M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=3，∴AM=A∴S△ABE∴S==8，当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴CEAC∴CE=A∴BE=6−25∵∠CEG=∠BAE，∴△ABE∽△ECG，∴ABCE∴CG=CE⋅BE∴AG=5−55∵∠EAG=∠AEG=∠B=∠C，∴△GAE∽△ABC，∴S△EAG∴S△EAG故选：A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．10．（3分）（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90∘，AD=1，BC=2，对角线AC、BD交于点E．当边ABA．点E到边AB的距离不变 B．点E到边BC的距离不变C．点E到边CD的距离不变 D．点E到边DA的距离不变【答案】A【分析】先证△EAD∽△ECB得EC=2EA，EB=2ED，则AC=3AE，DB=3DE，过点E作EF⊥AB于点F，过点E作EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，EP⊥CD于P，过点D作DQ⊥BC于Q，证明△BEF∽△BAD得EF=23，由此可对选项A进行判断；证明△CEH∽△CAB得EH=23AB，由此可对选项B进行判断；根据KH=AB，EH=23AB得EK=13AB，由此可对选项D进行判断；设AB=a，则EH=2a3，EK=【详解】解：∵四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AD=1，∴△EAD∽△ECB，∴EA:EC=DE:EB=AD:BC=1:2，∴EC=2EA，EB=2ED，∴AC=EA+EC=3AE，DB=ED+EB=3DE，过点E作EF⊥AB于点F，过点E作EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，EP⊥CD于P，过点D作DQ⊥BC于Q，如图所示：∵∠BAD=90°，∴EF∥∴△BEF∽△BAD，∴EF:AD=EB:DB，即EF:1=2ED:3DE．∴EF=2∴点E到边AB的距离不变，故选项A正确，符合题意；∵∠BAD=90°，AD∥∴∠ABC=90°，又∵EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，∴四边形ABHK为矩形，∴HK∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴EH:AB=EC:AC，即EH:AB=2EA:3AE，∴EH=2∴当边AB的长度发生变化时，EH随AB的变化而变化，故选项B不正确，不符合题意；∵KH=AB，EH=2∴EK=HK−EH=AB−2∴当边AB的长度发生变化时，EK随AB的变化而变化，故选项D不正确，不符合题意；设AB=a，则EH=2a3，∵∠BAD=∠ABC=90°，DQ⊥BC，∴四边形ABQD为矩形，∴BQ=AD=1，DQ=AB=a，∴CQ=BC−BQ=2−1=1，在Rt△DQC中，由勾股定理得：CD=∵S∴12∴AB⋅EF+AD⋅EK+BC⋅EH+CD⋅EP=(AD+BC)⋅AB，即a×2整理得：EP=2a∴当边AB的长度发生变化时，EP随AB的变化而变化，故选项C不正确，不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，点到直线的距离，熟练掌握梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH【答案】5【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接AE，根据题意可得：AB=DE，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠AEB=∠DAE，进而可得【详解】解：连接AE，∵将⊙O的圆周分成五等份，∴AB=∴∠AEB=∠DAE，∴MA=ME，∵点M是NE的黄金分割点，∴MENE∴NM故答案为：5−112．（3分）（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12cm2【答案】4【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据EF∥BC，得到△AKN∽△ABC，利用三角形相似的性质可求得S△AKN【详解】∵线段AB被截成三等份，∴AKAB=∵EF∥∴△AKN∽△ABC，∴S∴S∴S∵四边形DEFG是矩形，∴EF∥∴DG∥∴△AHM∽△ABC，∴S∴S∴S∴阴影部分的面积=S故答案为：4．13．（3分）（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形ABCD内的一点，且PB=8，BF⊥BP，若在射线BF上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么BM=【答案】8或25【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出∠ABP=∠CBM，当AB:BM=PB:BC时，△BAP∽△BMC，当AB:BC=PB:BM时，△BAP∽△BCM，两种情况下，分别求出MB的长，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=10，∵BF⊥BP，∴∠ABP+∠CBP=∠CBM+∠CBP=90°，∴∠ABP=∠CBM．当AB:BM=PB:BC时，△BAP∽△BMC，∴10:MB=8:10，∴BM=12.5，当AB:BC=PB:BM时，△BAP∽△BCM，∴10:10=8:BM，∴BM=8，∴以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么MB的长是8或252故答案为：8或25214．（3分）（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，将▱ABCD绕点C旋转至▱EOCF的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：

（1）已知∠COB=α，则∠FCD=（用含α的代数式表示）；（2）若BO=2，则BC的长为．【答案】180°−2α2【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据旋转的性质得到∠FCO=∠BCD，推出∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，即可得到答案；（2）根据旋转的性质证明△ABO∽△ACB，根据相似三角形的性质得到AO⋅AC=2AO【详解】解：（1）∵点B的对应点恰好落在点O处，∴CO=BO，∴∠BOC=∠OBC=α，由旋转的性质可知，∠FCO=∠BCD，∴∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，∴∠FCD=∠BCO=180°−2α；（2）由旋转的性质可知OE=AB，∵▱EOCF，B，O，D，E四点共线，∴CF∥∴∠COB=∠FCO，∴∠OBC=∠BCD，∴CD=BD，∵▱ABCD，∴CD=AB,AO=CO，∵BO=2，∴BD=2BO=4，∴AB=CD=BD=4，∵∠DCB+∠ABC=180°，∠COB+∠AOB=180°，∴∠AOB=∠ABC，∵∠OAB=∠BAC，∴△ABO∽△ACB，∴AO∵AC=2AO,AO=CO，∴AO⋅AC=2AO∴AO=22∴BC=CO=AO=22故答案为：180°−2α；2215．（3分）（23-24·四川成都·一模）如图，已知△ABC为等腰三角形，且AB=AC，延长AB至D，使得AB：BD=m：n，连接CD，E是BC边上的中点，连接AE，并延长AE交CD与点F，连接FB

【答案】m：m+n【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．如图：过点B作BH∥AF交CD于H，根据平行线分线段成比例定理得到DHHF=BD【详解】解：过点B作BH∥AF交CD于∴△BDH∽△ADF∴DHHF

∵AB=AC，E是BC边上的中点，∴AE⊥BC，∴AF是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF，∵EF∥BH∴△CEF∽△CBH,∴CFCH∴CF=12HF∴CF：∴BF：故答案为：m：16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形．如果△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，那么S1【答案】5【分析】此题先求出已知三角形的三边关系，在格点中分别找到对应成比例的面积最大和面积最小的三角形，通过相似三角形面积比为相似比的平方直接求解即可．【详解】由图可知AB=12+1∵△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，可如图所示作出△DEF，∴DE=12+2∴∴△DEF∽△BAC∴同理可得GH=1，HI=2，且△HGI∽△BAC∴∴S综上所述：S故答案为：5【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键是在格点图中画出三角形，难点是将三角形相似比转化为面积比．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：(1)AF=CG；(2)CF=2DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明△AFC≌△CBGASA（2）如图，延长CG交AB于H，则CH⊥AB，CH平分AB，进而证得CH∥AD，得出DG=BG，证明△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBF=45°，∠ACG=∠BCG=45°，∴∠CAF=∠BCG，∵∠ACF=∠CBG，∴△AFC≌△CBGASA∴AF=CG；（2）证明，如图，延长CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∴△ADE≌△CGEAAS∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CH，∴BGDG=BH∵△AFC≌△CBGASA∴CF=BG，∴CF=2DE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，平行线分线段成比例．熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，平行线分线段成比例是解本题的关键．18．（6分）（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足a:b:c=1:3:5，且a−b+c=6．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．【答案】(1)a=2，b=6，c=10(2)m=2【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．（1）设a=k，b=3k，c=5k，再代入求解得到k=2，即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义列式得到m2=ab，即m2【详解】（1）解：设a=k，b=3k，c=5k，∴a−b+c=6，即k−3k+5k=6，解得：k=2，∴a=2，b=6，c=10；（2）由（1）知a=2，b=6，又因为m是a，b的比例中项，∴m2=ab，即∴m=±23∵m>0，∴m=2319．（8分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点【答案】MNCM【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明△NDM≌△HFMASA，再证明NH【详解】解：如图，设EF与CN的交点为H，∵点M是DF的中点，∴DM=FM，∵EF∥∴∠NDM=∠HFM，∵∠DMN=∠FMH，∴△NDM≌△HFMASA∴HM=MN，∵DE∥BC，ADBD∴AECE∵EF∥∴NHCH∴CH=3NH=3HM+MN∴MNCM20．（8分）（23-24九年级·江苏·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1)求证：△ADE∽(2)若AB=10，BE=3AE，求线段【答案】(1)见解析(2)线段AD长为5【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据角平分线的定义、角的和差可得∠ADE=∠ABD，再结合∠A=∠A即可证明结论；（2）由线段的和差可得AE=2.5，BE=7.5，再根据相似三角形的性质得出比例式【详解】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∵∠C=90°，∴∠ADE+∠BDC=90°，∴∠CBD=∠ADE，∴∠ADE=∠ABD，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽（2）解：∵AB=10，∴AE=2.5，由（1）得△ADE∽∴ADAB∴AD∴AD=5，∴线段AD长为5．21．（8分）（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，掌握网格线的特点和相似三角形的性质是解题的关键．（1）只需将线段AB分成2:3的两段且分点D离点A更近，根据相似三角形的性质作图，连接EF即可；（2）只需找到AC和BC靠近点C的三等分点，根据相似三角形的性质，找到AC的三等分点E，连接FE即可；（3）先求出直角三角形的面积，根据三角形的面积求出高，再根据相似三角形的性质作图.【详解】（1）解：点D即为所求；（2）解：点E、F即为所求；（3）解：△ABC的面积为：12∵△ABM、△ACM、△BCM的面积相等，∴△ABM、△ACM、△BCM的面积都为：13∴△ACM的高为：2×2÷4=1，△BCM的高为：2×2÷3=4∵EP∥FQ，∴△EPM∽△FQM，且相似比为2:1，∴MQ=1∴点M即为所求.22．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE(1)当动点运动时间t=秒时，△BDE与△ABC相似．(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．【答案】(1)2013或(2)当CD⊥DE时，t=2【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时△BDE与△ABC相似是解决问题的关键．已知△ABC是直角三角形，要△BDE与其相似，图中已有一个公共角∠B，所以只需△BDE的另外两个角有一个角是直角，那么△BDE与△ABC相似．由此对应两种情况：∠DEB=90∘或∠EDB=90（2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当CD⊥DE时，过点E作EF⊥AB于F，证明Rt△ACD∽Rt△FDE【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，△BDE与△ABC相似．则AD=t(cm)，BD=(4−t)(cm)，BE=2t(cm)1）当∠EDB=90∘，即∵∠B=∠B∴Rt△BDE∴BDBA=BE∴t=20２）当∠DEB=90∘，即∵∠B=∠B∴Rt△BDE∴BDBC=BE∴t=8∵t=2013和t=8∴当动点运动t=2013秒或t=87秒时，故答案为：2013或8（2）如图，过点E作EF⊥AB于F，设经过运动时间为t秒时，CD⊥DE，则AD=t(cm)，BD=(4−t)(cm)，BE=2t(cm)∵∠B=∠B∴Rt∴BFBA=BE∴