2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第01讲平面向量的概念及其线性运算(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第01讲平面向量的概念及其线性运算目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：平面向量的概念与表示 4高频考点二：模 4高频考点三：零向量与单位向量 5高频考点四：相等向量 6高频考点五：平面向量的加法与减法 6高频考点六：平面向量的数乘 7高频考点七：共线向量定理的应用 8第四部分：典型易错题型 9备注：“”的方向是任意的 9第五部分：新定义题 9第一部分：基础知识1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.特别的：非零向量的单位向量是.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；特别的：与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.3、共线向量定理①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；4.2中点公式的向量形式：若为线段的中点，为平面内任意一点，则.4.3三点共线等价形式：（，为实数），若，，三点共线第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·甲卷理）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：平面向量的概念与表示典型例题例题1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例题2．（23-24高一下·全国·课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个练透核心考点1．（23-24高一·全国·专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量2．（2023高一·全国·单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有个.高频考点二：模典型例题例题1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（

）A．0 B． C． D．4例题2．（23-24高一下·甘肃·期末）若正方形的边长为2，则（

）A． B． C． D．例题3．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则练透核心考点

1．（23-24·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（

）A． B．1 C． D．2．（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：(1)；(2)高频考点三：零向量与单位向量典型例题例题1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例题2．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·期中）下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量练透核心考点1．（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（

）个.A． B． C． D．2．（23-24高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则例题3．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：(1)；(2)．练透核心考点1．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在正六边形中，（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）化简：.高频考点六：平面向量的数乘典型例题例题1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在△ABC中，记，，且，，则（

）A． B． C． D．例题2．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：(1)3；(2)；(3)2．练透核心考点1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）若，设，则的值为.2．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）化简：.高频考点七：共线向量定理的应用典型例题例题1．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．2例题2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（

）A． B．C． D．例题3．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在中，是的中点，．

(1)若，，求；(2)若，求的值．练透核心考点1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量与且则一定共线的三点是（

）A．A，C，D三点 B．A，B，C三点C．A，B，D三点 D．B，C，D三点2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知为非零不共线向量，向量与共线，则（

）A． B． C． D．83．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则.第四部分：典型易错题型备注：“”的方向是任意的1．（22-23高三上·四川成都·期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则第五部分：新定义题1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系中，点，点（其中为常数，且），点为坐标原点.(1)设点为线段近的三等分点，，求的值；(2)如图所示，设点是线段的等分点，其中，①当时，求的值（用含的式子表示）；②当时.求的最小值.（说明：可能用到的计算公式：）.第01讲平面向量的概念及其线性运算目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：平面向量的概念与表示 4高频考点二：模 5高频考点三：零向量与单位向量 7高频考点四：相等向量 9高频考点五：平面向量的加法与减法 11高频考点六：平面向量的数乘 13高频考点七：共线向量定理的应用 14第四部分：典型易错题型 17备注：“”的方向是任意的 17第五部分：新定义题 17第一部分：基础知识1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.特别的：非零向量的单位向量是.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；特别的：与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.3、共线向量定理①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；4.2中点公式的向量形式：若为线段的中点，为平面内任意一点，则.4.3三点共线等价形式：（，为实数），若，，三点共线第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·甲卷理）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：平面向量的概念与表示典型例题例题1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据向量的概念逐一判断.【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；对于C：若，则方向相同，C正确；对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.故选：C.例题2．（23-24高一下·全国·课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】A【分析】根据向量的概念，即可得出答案.【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.故选：A.练透核心考点1．（23-24高一·全国·专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【分析】根据向量的定义即可判断.【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．2．（2023高一·全国·单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有个.【答案】2【分析】根据向量的定义判断即可．【详解】既有大小，又有方向的量叫做向量；温度、密度、风速只有大小没有方向，因此不是向量；而数轴、拉力既有大小，又有方向，因此它们都是向量.故答案为:2.高频考点二：模典型例题例题1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】利用向量运算法则得到.【详解】，因为正方形的边长为1，所以，故.故选：C例题2．（23-24高一下·甘肃·期末）若正方形的边长为2，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算即可求解．【详解】由正方形的边长为2，则，所以．故选：A．

例题3．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.【详解】对于A，向量是具有方向的量，若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；对于B，若，则一定有，故B正确；对于C，若，则只能说明非零向量、共线，当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．故选：BD．练透核心考点

1．（23-24·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据几何关系求解.【详解】如图，，所以M是AC的中点，；故选：C.2．（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：(1)；(2)【答案】(1)(2)2【分析】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.【详解】（1）四边形是边长为的正方形，（2）高频考点三：零向量与单位向量典型例题例题1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，则，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B例题2．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·期中）下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量【答案】AD【分析】根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案.【详解】对于A，根据零向量的定义，故A正确；对于B，当时，显然与共线，当零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误；对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线，故D正确.故选：AD.练透核心考点1．（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（

）个.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误.故选：A.2．（23-24高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则【答案】A【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；D选项，由向量相等的定义知D正确.故选：A高频考点四：相等向量典型例题例题1．（22-23高一下·北京·期中）给出下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若且，则 D．若，，则【答案】B【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，对于B，若，，则，∴B正确，对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.故选：B．例题2．（多选）（22-23高一下·湖南益阳·阶段练习）下列说法不正确的有（

）A．若，，则 B．若，则与的方向相同或相反C．若，则 D．若，，则【答案】BCD【分析】根据向量的有关概念逐一判断即可.【详解】若，，则，故A正确；对于B，当有一个为零向量时不成立，故B错误；对于C，当与垂直时，可得，但推不出，故C错误；对于D，当时不成立，故D错误，故选：BCD.练透核心考点1．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量相等的定义判断A，根据向量的加法减法运算法则判断BCD.【详解】对于A，因为向量方向不同，所以，故A错；对于B，，故B错；对于C，根据向量加法的平行四边形法则知，，故C错；对于D，根据向量减法运算可知，，故D对.故选：D2．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．与共线【答案】B【分析】画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可.【详解】如图，

因为，方向相同，长度相等，故，故A正确；因为，方向不同，故，故B错误；因为，，三点共线，所以，故C正确；因为，所以与共线，故D正确.故选：B高频考点五：平面向量的加法与减法典型例题例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.【详解】对于A：，故A不合题意；对于B：，故B满足题意；对于C：，故C不合题意；对于D：，故D不合题意.故选：B例题2．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）下列各式化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的加减法运算法则求解.【详解】对于A，若，则，则，矛盾，A错误，对于B，因为，所以，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确；故选：D.例题3．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量的加减法运算即可得答案；（2）由向量的加减法运算即可得答案.【详解】（1）．（2）.练透核心考点1．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在正六边形中，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算结合正六边形的几何性质可化简所求向量.【详解】由正六边形的性质可知，、互为相反向量，所以，.故选：A.2．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的加法或减法原则求解即可.【详解】，，，.故选：A.3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）化简：.【答案】/【分析】根据向量的加减法运算法则化简求解.【详解】.故答案为：高频考点六：平面向量的数乘典型例题例题1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在△ABC中，记，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用表示，然后利用得到的表达式，最后利用得到的表达式.【详解】由，得，又因为，故，A正确.故选：A.例题2．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：(1)3；(2)；(3)2．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用向量的数乘运算计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）.练透核心考点1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）若，设，则的值为.【答案】2【分析】根据向量的线性运算计算即可.【详解】因为，所以，则，又因为，所以.故答案为：.2．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）化简：.【答案】【分析】利用向量的线性运算即可得解.【详解】.故答案为：.高频考点七：共线向量定理的应用典型例题例题1．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由向量共线定理求解．【详解】由已知，又三点共线，则共线，而不共线，，所以，即，故选：A．例题2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析