2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第06讲对数与对数函数(知识+真题+8类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第06讲对数与对数函数目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 2第二部分：高考真题回顾 4第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：对数的运算 4高频考点二：换底公式 5高频考点三：对数函数的概念 5高频考点四：对数函数的定义域 6高频考点五：对数函数的值域 6角度1：求对数函数在区间上的值域 6角度2：求对数型复合函数的值域 6角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围 7高频考点六：对数函数的图象 8角度1：对数（型）函数与其它函数的图象 8角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数 9角度3：对数（型）函数图象过定点问题 10高频考点七：对数函数的单调性 11角度1：对数函数（型）函数的单调性 11角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数 12角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式 12角度4：对数（指数）综合比较大小 13高频考点八：对数函数的最值 14角度1：求对数（型）函数的最值 14角度2：根据对数（型）函数的最值求参数 14角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 15第四部分：典型易错题型 17备注：对数型复合函数容易忽略定义域 17备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较 17第五部分：新定义题（解答题） 18第一部分：基础知识1、对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.（3）对数式与指数式的互化：.2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：①负数和零没有对数，即；②1的对数等于0，即；③底数的对数等于1，即；④对数恒等式.（2）对数的运算性质如果，那么：①；②；③.（3）对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①；②；③(其中，，均大于0且不等于1，).3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．（2）对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，在上是单调增函数在上是单调减函数第二部分：高考真题回顾1．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））设，则（

）A． B． C． D．2．（多选）（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：对数的运算典型例题例题1．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）已知，则．例题2．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）计算下列各式的值：(1)；(2).练透核心考点1．（2024上·安徽蚌埠·高一统考期末）计算．2．（2024上·广西百色·高一统考期末）计算下列各式的值：(1)(2)高频考点二：换底公式典型例题例题1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）（

）A．2 B．1 C． D．0例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知，则.练透核心考点1．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）若，则的值约为（

）A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.6692．（2024上·广东深圳·高一校考期末）计算：．高频考点三：对数函数的概念典型例题例题1．（2024·江苏·高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．练透核心考点1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数是对数函数，则．高频考点四：对数函数的定义域典型例题例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（

）A．且 B． C． D．例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是.练透核心考点1．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）函数的定义域是．2．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是.高频考点五：对数函数的值域角度1：求对数函数在区间上的值域典型例题例题1．（2023上·高一课时练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．例题2．（2023上·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是．角度2：求对数型复合函数的值域典型例题1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中学校考开学考试）函数的值域为．2．（2024上·上海青浦·高一统考期末）函数的值域为.角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围典型例题例题1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数的定义域和值域都是，则.例题2．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是．练透核心考点1．（2024·上海·高一假期作业）函数的值域是．2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函数在上的最大值为2，则实数．3．（2024·全国·高三专题练习）已知，设，则函数的值域为．4．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知定义在上的函数为偶函数.当时，.(1)求；(2)求函数的解析式；(3)若，求函数的值域.5．（2024·全国·高一假期作业）已知函数且.(1)当时，若，求的取值范围；(2)若的最大值为2，求在区间上的值域.6．（2024·全国·高一专题练习）已知函数(1)若的定义域为，求的取值范围.(2)若的值域为，求的取值范围.高频考点六：对数函数的图象角度1：对数（型）函数与其它函数的图象典型例题例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知，则，且与，且的图象可能为（

）A． B．C． D．例题2．（2023上·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（

）A． B．C． D．角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数典型例题例题1．（2022下·湖南·高一校联考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，例题2．（2021·江苏·高一专题练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（

）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b角度3：对数（型）函数图象过定点问题典型例题例题1．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·山东滨州·高一校考期末）函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（

）A． B．10 C． D．8练透核心考点1．（2022上·江西上饶·高一统考期末）函数的图像为（

）A． B．C． D．2．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．3．（2024·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．4．（多选）（2022上·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（

）A． B．C． D．5．（多选）（2024上·湖南张家界·高一慈利县第一中学期末）已知函数且的图象过定点，正数满足，则（

）A． B． C． D．6．（多选）（2021下·河北邢台·高一统考开学考试）若，则下列选项可能成立的是（

）A． B． C． D．高频考点七：对数函数的单调性角度1：对数函数（型）函数的单调性典型例题例题1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．例题2．（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数典型例题例题1．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数是上的单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．角度4：对数（指数）综合比较大小典型例题例题1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）若，则（

）A． B．C． D．例题2．（2024·山西临汾·统考一模）若，，，则（

）A． B． C． D．练透核心考点1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．2．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·高一专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．5．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的单调递增区间是．6．（2024上·广西·高一校联考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是.7．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知函数(1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性；(2)求不等式的解集高频考点八：对数函数的最值角度1：求对数（型）函数的最值典型例题例题1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.(1)求的值；(2)设函数，求在上的值域.例题2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，.（1）设集合，求集合A；（2）当时，求的最大值和最小值.角度2：根据对数（型）函数的最值求参数典型例题例题1．（2024上·江西抚州·高一统考期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（

）A．4或 B．4或C．2或 D．2或2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且）为奇函数.(1)求函数的定义域及解析式；(2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值.3．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）（1）已知，求的值；（2）已知函数在区间上的最大值为2，求实数的值.4．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）已知函数，（，且）．(1)当时，求函数的单调区间；(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．5．（2024上·河南商丘·高一统考期末）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.第四部分：典型易错题型备注：对数型复合函数容易忽略定义域1．（2024上·湖北·高一校联考期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024上·全国·高一专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是.备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较1．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）已知是上的单调函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．第五部分：新定义题（解答题）1．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数”.(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.第06讲对数与对数函数目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：对数的运算 5高频考点二：换底公式 7高频考点三：对数函数的概念 8高频考点四：对数函数的定义域 9高频考点五：对数函数的值域 10角度1：求对数函数在区间上的值域 10角度2：求对数型复合函数的值域 11角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围 11高频考点六：对数函数的图象 15角度1：对数（型）函数与其它函数的图象 15角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数 17角度3：对数（型）函数图象过定点问题 18高频考点七：对数函数的单调性 22角度1：对数函数（型）函数的单调性 22角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数 23角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式 24角度4：对数（指数）综合比较大小 25高频考点八：对数函数的最值 29角度1：求对数（型）函数的最值 29角度2：根据对数（型）函数的最值求参数 31角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 32第四部分：典型易错题型 38备注：对数型复合函数容易忽略定义域 38备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较 39第五部分：新定义题（解答题） 40第一部分：基础知识1、对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.（3）对数式与指数式的互化：.2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：①负数和零没有对数，即；②1的对数等于0，即；③底数的对数等于1，即；④对数恒等式.（2）对数的运算性质如果，那么：①；②；③.（3）对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①；②；③(其中，，均大于0且不等于1，).3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．（2）对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，在上是单调增函数在上是单调减函数第二部分：高考真题回顾1．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故2．（多选）（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即，所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：对数的运算典型例题例题1．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）已知，则．【答案】5【分析】设，再用表达求解即可.【详解】设，则，，，故.故答案为：5例题2．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；（2）根据对数的运算法则，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）原式（2）原式练透核心考点1．（2024上·安徽蚌埠·高一统考期末）计算．【答案】/【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.2．（2024上·广西百色·高一统考期末）计算下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)15(2)3【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.（2）利用对数性质及运算法则计算即得.【详解】（1）原式.（2）原式.高频考点二：换底公式典型例题例题1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.【详解】，故选：C．例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知，则.【答案】/【分析】由对数式与指数式的互化可得出，再利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.【详解】因为，则，所以，.故答案为：.练透核心考点1．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）若，则的值约为（

）A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669【答案】A【分析】利用指对互化与换底公式即可得解.【详解】因为，所以.故选：A.2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）计算：．【答案】5【分析】根据对数的定义和运算分析求解.【详解】由题意可得：原式.故答案为：5.高频考点三：对数函数的概念典型例题例题1．（2024·江苏·高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C练透核心考点1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数是对数函数，则．【答案】1【分析】根据对数函数的定义即可得到答案.【详解】因为函数是对数函数，则，解得．故答案为：1.高频考点四：对数函数的定义域典型例题例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（

）A．且 B． C． D．【答案】C【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.故选：例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由已知可得对任意的，，可得出，即可解得实数的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的，，则，解得.所以，实数的取值范围是.故答案为：.练透核心考点1．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）函数的定义域是．【答案】【分析】结合对数函数定义域解不等式即可求解.【详解】由题意结合对数函数定义域可知，解不等式得，因此函数的定义域是.故答案为：.2．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解.【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立，则当时，满足题意；当时，，解得.综上所述，，即.故答案为：.高频考点五：对数函数的值域角度1：求对数函数在区间上的值域典型例题例题1．（2023上·高一课时练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域.【详解】由知，，值域是．故选：C例题2．（2023上·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是．【答案】【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域.【详解】∵，∴，即，即，则函数的值域为.故答案为：角度2：求对数型复合函数的值域典型例题1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中学校考开学考试）函数的值域为．【答案】【分析】求出的取值范围，利用对数函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】因为，所以，，因此，，故函数的值域为.故答案为：.2．（2024上·上海青浦·高一统考期末）函数的值域为.【答案】【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解.【详解】由题意函数的定义域为，而，不妨设，所以，所以函数的值域为.故答案为：.角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围典型例题例题1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数的定义域和值域都是，则.【答案】或【分析】分类讨论的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解.【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是，所以解得所以.当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是，所以解得所以.故答案为：或.例题2．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是．【答案】【分析】复合函数求值域，先求真数范围大于零，再求二次函数大于零，求出即可.【详解】因为函数的值域是，则为二次函数值域的子集．当时，内层函数为，不合题意；当时，则有，解得．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：练透核心考点1．（2024·上海·高一假期作业）函数的值域是．【答案】【分析】先确定的定义域，再由复合函数的单调性确定出的单调性，则的值域可求.【详解】由题意得，即，所以的定义域为，因为对称轴为，且开口向下，且在定义域内单调递增，由复合函数的单调性可知：在上单调递增，在上单调递减，当（或）时，，当时，，所以，故答案为：．2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函数在上的最大值为2，则实数．【答案】【分析】由题意易知，分类讨论，时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解.【详解】令，因为时，，所以；若，则在上为减函数，所以，此时a无解；若．则在上为增函数，所以，此时故．故答案为：3．（2024·全国·高三专题练习）已知，设，则函数的值域为．【答案】【分析】确定函数的定义域，化简可得的表达式，换元令，可得，结合二次函数的性质即得答案.【详解】由题意得，则，即的定义域为，故，令，则，函数在上单调递增，故，故函数的值域为，故答案为：4．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知定义在上的函数为偶函数.当时，.(1)求；(2)求函数的解析式；(3)若，求函数的值域.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，由奇偶性得到；（2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案；（3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在时的值域.【详解】（1），因为为上的偶函数，所以；（2）当时，，故，又为上的偶函数，故，所以，所以；（3）当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为，故，由函数为偶函数可知，当时，单调递增，，则，综上，的值域为5．（2024·全国·高一假期作业）已知函数且.(1)当时，若，求的取值范围；(2)若的最大值为2，求在区间上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合对数函数的定义域及单调性即可得；（2）先结合题意计算出，再根据对数函数的单调性即可得.【详解】（1）当时，是上的减函数，因为，所以，解得．（2）因为，且有最大值2，所以，且，解得，因为是上的减函数，所以，，所以在区间上的值域为．6．（2024·全国·高一专题练习）已知函数(1)若的定义域为，求的取值范围.(2)若的值域为，求的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据对数函数的性质，转化为恒成立，列出不等式组，即可求解；（2）设，根据题意转化为，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由函数，要使得的定义域为，即恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围为.（2）解：设，要使得的值域为，即，当时，的值域为，此时，所以函数的值域为，符合题意.当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.高频考点六：对数函数的图象角度1：对数（型）函数与其它函数的图象典型例题例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知，则，且与，且的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项.【详解】因为，所以，，若，则，排除C，若，则，排除AB.故选：D例题2．（2023上·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的图象易得，结合指对数函数性质判断函数图象.【详解】由幂函数图象知：，所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足.故选：D角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数典型例题例题1．（2022下·湖南·高一校联考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数为减函数，所以又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D例题2．（2021·江苏·高一专题练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（

）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故选：D．角度3：对数（型）函数图象过定点问题典型例题例题1．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先得，进一步结合三角函数定义即可求解.【详解】由题意令，得，而此时，所以，角的终边经过定点，所以，所以.故选：C.例题2．（2024上·山东滨州·高一校考期末）函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（

）A． B．10 C． D．8【答案】B【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.【详解】当时，，即函数的图象恒过定点，因为在直线上，所以，当且仅当时，取等号，即的最小值为10.故选：B练透核心考点1．（2022上·江西上饶·高一统考期末）函数的图像为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C；由，可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.故选：A2．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果.【详解】由图象可得，指数函数为减函数，对数函数为增函数，所以，即.故选：B3．（2024·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，,,当且仅当，即等号成立故选：B.4．（多选）（2022上·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】结合指数函数、对数函数的图像按和分类讨论．【详解】由，，且，，所以过点，而过点；选项A，B：由图可知单调递增，则此时，所以有，故在单调递增，故A选项错误，选项B正确；选项C，D：由图可知单调递减，则此时，所以有，故在单调递减，故C选项不正确，选项D正确；故选：BD.5．（多选）（2024上·湖南张家界·高一慈利县第一中学期末）已知函数且的图象过定点，正数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出函数所过定点的坐标，可得出，可判断A；利用不等式可判断B；利用基本不等式可判断C；利用“1”的妙用，结合基本不等式可判断D.【详解】在函数的解析式中，令可得，且，则函数的图象过定点，，所以，故A错误；由不等式，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确；由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，故C错误；，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：BD.6．（多选）（2021下·河北邢台·高一统考开学考试）若，则下列选项可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】在同一直角坐标系中，作出y=lnx，y=lgx的图像，数形结合能求出结果．【详解】在同一直角坐标系中，作出，的图像．由图可知，当时，有，故A正确；当时，显然有，故B正确；当时，显然有，故C错误，D正确．故选：ABD.高频考点七：对数函数的单调性角度1：对数函数（型）函数的单调性典型例题例题1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．【详解】函数的定义域为：，函数在定义域内是增函数，函数，图像抛物线开口向上，对称轴是轴，时，是增函数，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为．故选：C．例题2．（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，即，解得或，又由函数在单调递减，在单调递增，因为在定义域上为单调递增函数，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为.故选：D.角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数典型例题例题1．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质求解．【详解】由题意，解得．故选：C．例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数是上的单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分段函数在上单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出答案.【详解】时，，要想单调递减，需，要想在上单调递减，需，解得.故选：A角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集.【详解】的定义域为，因为均在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，所以，所以不等式解集为，故选：B.例题2．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解.【详解】解法1：由函数，则不等式，即为，可得，即，令，则，即，解得，即，解得，所以不等式的解集为.解法2：由函数，可得，设，则，所以函数为偶函数，即为偶函数，可得关于对称，且在上单调递增，所以不等式，即为，可得，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.角度4：对数（指数）综合比较大小典型例题例题1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】计算得到，，得到大小关系.【详解】，.故.故选：A例题2．（2024·山西临汾·统考一模）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数以及幂函数单调性结合中间变量比大小即可.【详解】易知，，因为，则，故得，显然B正确.故选：B练透核心考点1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件得到，，即可判断出，再利用不等式的性质及对数的单调性，即可判断出，从而得出结果.【详解】因为，，所以，又因为，所以，得到，即，所以，故选：A.2．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．【详解】因为，所以，即，所以，因为，所以，即，所以，同时，所以，而，所以．故选：D．3．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.【详解】由题意得，解得，开口向下，对称轴为，所以在上递增，在上递减；因为是定义域上的递增函数，利用复合函数的同增异减可得的单调递增区间为，故选：B.4．（2024·全国·高一专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】令，则在上单调递增且恒大于，从而得到，解得即可.【详解】因为函数在上单调递减，令，则在上单调递增且恒大于，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C5．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的单调递增区间是．【答案】【分析】结合函数定义域，利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.【详解】函数，由，解得，所以函数的定义域为，设函数，则函数的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在定义域内单调递减，由复合函数的单调性可知的单调递增区间为（写成也正确）．故答案为：6．（2024上·广西·高一校联考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是.【答案】【分析】由复合函数的单调性和对数函数定义域，求的取值范围.【详解】当时，在上是增函数；当时，由函数在定义域内单调递增，则函数在上单调递增且大于0恒成立，有解得.综上，的取值范围是.故答案为：7．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知函数(1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性；(2)求不等式的解集【答案】(1)定义域为，奇函数(2)【分析】（1）根据对数的真数大于零求函数的函数的定义域即可，再根据函数奇偶性的定义判断处的关系即可判断处函数的奇偶性；（2）根据对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）由，得，解得，所以函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数；（2），由，得，解得，所以不等式的解集为.高频考点八：对数函数的最值角度1：求对数（型）函数的最值典型例题例题1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.(1)求的值；(2)设函数，求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.【详解】（1）因为的图象经过点，，所以，两式相减得，又且，解得或（舍去），则.（2）由（1）得，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，则，，故在上的值域为.例题2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，.（1）设集合，求集合A；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）由可得，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合；（2）把变形，再由的范围求得的范围，结合二次函数的性质可得答案．【详解】（1）由，得，即，则，求得．，；（2）．，，，当时，，当时，．故的最大值为，最小值为．【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出，解答（2）的关键是先求出，再利用配方法求解.角度2：根据对数（型）函数的最值求参数典型例题例题1．（2024上·江西抚州·高一统考期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（

）A．4或 B．4或C．2或 D．2或【答案】A【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值.【详解】由题意解得或（舍去），①当时，函数在定义域内为增函数，则由题意得，所以即，解得或（舍去）；②当时，函数在定义域内为减函数，则由题意得，所以即，解得；综上可得：或．故选：A.例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则的取值范围是．【答案】【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.【详解】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；当时，外层函数为增函数，对于内层函数，函数有最小值，若使得函数有最小值，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用典型例题例题1．（2024上·黑龙江佳木斯·高一校联考期末）已知函数．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)当时，恒成立．求实数的取值范围．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可.（2）该题参数已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则可以取该值.【详解】（1）由函数，得，即，解得或，所以函数的定义域为，关于原点对称．又，，所以是奇函数；（2）恒成立，则，即在恒成立，令，因为在上单调递增，当时，，所以时，，则实数的取值范围是．例题2．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）已知函数．(1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；(2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)定义域为，证明见解析(2)【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：对于函数，则，可得，所以，函数的定义域为，证明单调性：设，则有，，由于，所以，，，并且，则，于是，所以，即：，所以函数在定义域上单调递增．（2）解：当时，，所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，等价于在恒成立．由可得，所以，，则，于是实数的取值范围是．练透核心考点1．（2024上·广东清远·高一统考期末）已知幂函数在上是增函数.(1)求的解析式；(2)设函数，求在上的最小值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得，进而求得.（2）根据复合函数的单调性求得在上的最小值.【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或.又在上是增函数，则，即，所以，则.（2）由（1）得，所以.令，当时，单调递减.又函数在其定义域内单调递增，由复合函数的单调性可得在上单调递减，所以.2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且）为奇函数.(1)求函数的定义域及解析式；(2)若，函数的最大值比最小值大