2024-2025学年辽宁省沈阳二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省沈阳二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过点(−4,2)，倾斜角为3π4的直线方程为(

)A.x−y+2=0 B.x+y+2=0 C.x−y=2 D.x−y+1=02.已知两条直线l1：ax+4y−1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=2”是“l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.点P(−2,−1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)的距离最大时，直线l的方程为(

)A.3x+2y−5=0 B.3x+2y+8=0 C.2x−3y−2=0 D.2x−3y+1=04.关于空间向量，以下说法错误的是(

)A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若a⋅b>0，则a与b的夹角是锐角

C.已知向量a、b、c是不共面的向量，则2a、b、c−a也是不共面的向量

D.若对空间中任意一点O，有OP=1125.如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，点E和FA.22

B.1

C.36.直线l过点(2,1)，且与圆C：(x−2)2+(y−4)A.6 B.7 C.8 D.97.直线y=x+1关于直线y=2x对称的直线方程为(

)A.3x−y−1=0 B.4x−y−2=0 C.5x−y−3=0 D.7x−y−5=08.已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD=2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A−BCD(以A为顶点)的侧面积的最大值为(

)A.6B.212C.252二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是(

)A.若l//α，m//β，α//β，则l//m

B.若α⊥β，l//α，m//β，则l//m

C.若直线m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α

D.若l，m是异面直线，l⊂α，m⊂β，且l//β，m//α，则α//β10.下列结论正确的是(

)A.已知点P(x,y)在圆C：(x−1)2+(y−1)2=2上，则x+y的最大值是4

B.已知直线kx−y−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为−23≤k≤1

C.已知点P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则直线l与圆相离

11.设圆C：(x−1)2+(y−1)2=3，直线l：x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为AA.|PA|的取值范围为[62,+∞) B.四边形PACB面积的最小值为322

C.存在点P使三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若点A(2,1)在圆x2+y2−2mx−2y+5=0(m为常数)13.已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(4,2)，C(3,0)，则△ABC外接圆的方程是______．14.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是16.(本小题15分)

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，A1A=AB=AC=3，B1C∩BC1=P，G是△A1B1C1的重心，点Q在线段AB(不包括两个端点)上．

(1)若Q17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB1⊥A1C，AB⊥BC，AB=BC=2．

(1)求证：平面A18.(本小题17分)

已知半径为83的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C相切．

(1)求圆C的标准方程．

(2)若M(x,y)是圆C上任意一点，求(x+3)2+(y−13)2的取值范围．

(3)已知A(0,−1)，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B(19.(本小题17分)

如图，在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N为DF的中点，二面角D−AC−B的大小为θ．

(1)求证：AC⊥BN；

(2)若θ=π2，求三棱台ABC−DEF的体积；

(3)若A到平面BCFE的距离为62，求

参考答案1.B

2.A

3.A

4.B

5.C

6.D

7.D

8.B

9.ABC

10.AD

11.ABD

12.−3(答案不唯一)

13.x2+y14.215.解：(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，

因为AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，

AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，

所以AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB⋅BC+AB⋅CC1+BC⋅CC1，16.解：(1)证明：根据题意可建系如图：

则A1(0,0,3)，B1(0,3,3)，C1(3,0,3)，G(1,1,3)，C(3,0,0)，P(32,32,32)，

设Q(0,t,0)，t∈(0,3)，

∴GP=(12,12,−32)，A1C=(3,0,−3)，QC=(3,−t,0)，

设平面A1CQ的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅A1C=3x−3z=0n⋅QC=3x−ty=0，取n=(t,3,t)，

若Q为AB17.(1)证明：∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴AA1⊥BC，

又∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，且AA1，AB⊂平面ABB1A1，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，

又∵AB1⊥A1C，A1C∩BC=C，且A1C，BC⊂平面A1BC，

∴AB1⊥平面A1BC，

∵AB1⊂平面AB1C1，

∴平面AB1C1⊥平面A1BC．

(2)解：由(1)知AB1⊥平面A1BC，

∵A1B⊂平面A1BC，

∴AB1⊥A1B，

∴四边形AB18.解：(1)依题可设圆心坐标为(0,b)(b>0)，

则圆C的方程为x2+(y−b)2=649，

因为直线12x−9y−1=0与圆C相切，

所以点C(0,b)到直线l2x−9y−1=0的距离d=|−9b−1|122+92=83，

因为b>0，解得b=133，

故圆C的标准方程为x2+(y−133)2=649；

(2)若M(x,y)是圆C上任意一点，

则(x+3)2+(y−13)2表示圆上任意一点到点D(−3,13)距离的平方，

所以(x+3)2+(y−13)2的最大值为|DB|2=(|DC|+r)2=((0−3)219.(1)证明：取AC的中点O，连接ON，OB，

由题意知，四边形ACFD是等腰梯形，△ABC是等边三角形，

所以ON⊥AC，OB⊥AC，

因为ON∩OB=O，ON、OB⊂平面OBN，

所以AC⊥平面OBN，

又BN⊂平面OBN，所以AC⊥BN．

(2)解：由(1)知，ON⊥AC，OB⊥AC，

所以∠BON就是二面角D−AC−B的平面角，即∠BON=θ，

若θ=π2，则∠BON=90°，即OB⊥ON，

因为ON⊥AC，OB∩AC=O，所以ON⊥平面ABC，

即三棱台ABC−DEF的高为ON，

因为AB=