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文档简介
第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理学习任务1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明.(逻辑推理、数学抽象)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.(数学运算)必备知识·情境导学探新知01如图所示,若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离,而且已经测量出了BC的长,也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小,你能借助这3个量,求出AB的长吗?知识点正弦定理
√2.已知△ABC外接圆半径是2,A=60°,则BC的长为______.
关键能力·合作探究释疑难02类型1已知两角及一边解三角形类型2已知两边和其中一边的对角解三角形类型3三角形形状的判断类型1已知两角及一边解三角形【例1】在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.
反思领悟
已知两角及一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.[跟进训练]1.已知△ABC中,c=4,∠A=45°,∠B=60°,求a,b.
反思领悟已知两边及其中一边的对角,利用正弦定理解三角形的步骤(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角.(2)用三角形内角和定理求出第三个角.(3)根据正弦定理求出第三条边.其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.
类型3三角形形状的判断【例3】在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
反思领悟
利用正弦定理判断三角形形状的方法(1)化边为角:根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系,再进行三角恒等变换,得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系,进而得到三角形的角或角的关系,从而确定三角形的形状.(2)化角为边:根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系,然后通过整理得到边与边之间的数量关系,从而确定三角形的形状.[跟进训练]3.已知在△ABC中,角A,B所对的边分别是a和b,若acosB=bcosA,则△ABC一定是(
)A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√
学习效果·课堂评估夯基础0312341.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列等式正确的是(
)A.a∶b=A∶B B.a∶b=sinA∶sinBC.a∶b=sinB∶sinA D.asinA=bsinB√
1234√
3.在△ABC中,若c=2acosB,则△ABC的形状为(
)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.非等边三角形1234√B
[由正弦定理知c=2RsinC,a=2RsinA(R为三角形外接圆的半径),故sinC=2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB=cosAsinB,即sin(A-B)=0,所以A=B.故△ABC为等腰三角形.]
1234
60°或120°
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