专题1 长方体和正方体-2023-2024学年六年级上册数学计算大通关（苏教版）

专题1长方体和正方体（考点梳理+通关练习）【考点梳理】一、长方体和正方体的表面积。1、表面积的含义。物体的表面积：围成物体表面的图形的总面积。长方体（正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。2、长方体表面积的计算方法。长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。假如用S表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积的计算公式可以用字母表示为s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。有2个面是正方形的长方体，假如正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。3、正方体表面积的计算方法。正方体的表面积=棱长×棱长×6，假如用s表示正方体的表面积，用a表示正方体的棱长，那么正方体表面积的计算公式用字母表示为s=6a2二、长方体和正方体的体积。1、长方体体积计算公式。长方体的体积=长×宽×高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。2、正方体的体积公式。正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规章立体图形中也适用。3、运用体积公式解决实际问题。已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。二、体积单位及其换算。1、体积和容积。物体所占空间的大小叫作物体的体积。能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。2、体积单位。计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。3、容积单位。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。4、体积和容积的区分与联系。物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。5、相邻体积单位间的进率。每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。6、高级体积单位和低级体积单位之间的换算。单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。7、体积单位换算的简便方法。相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。【通关练习】一、计算题1．计算下图长方体的表面积和体积。2．计算正方体的体积。

3．如图，求图形的体积。（单位：厘米）

4．棱长总和是76厘米，求长方体的高和体积。

5．计算表面积和体积。（1）横截面是周长为20厘米的正方形，长6分米。（2）（单位：厘米）6．计算长方体下面、左面的面积和。

7．计算下面图形的表面积和体积。8．求下面立体图形的表面积和体积。（1）

（2）9．计算下图的表面积和体积。（单位cm）

10．求长方体的表面积。11．计算下图的体积。（单位：厘米）12．计算出下面图形的表面积和体积。13．求出下面组合图形的表面积和体积（单位：cm）。14．计算下图的表面积。（单位：厘米）15．计算下面各图形的体积。（1）

（2）16．计算下面几何体的表面积和体积。17．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）（1）

（2）18．铁块的体积是多少cm3？19．计算下面长方体的体积。20．计算下面图形的表面积和体积。21．计算下面正方体表面积。

22．计算下面图形的表面积和体积（单位：分米）。

23．分别计算下面两个图形的表面积和体积。（单位：cm）

24．计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm）25．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）参考答案1．290cm2；300cm3【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。【详解】（12×5＋12×5＋5×5）×2＝（60＋60＋25）×2＝145×2＝290（cm2）12×5×5＝60×5＝300（cm3）即长方体的表面积是290cm2，体积是300cm3。2．125cm3【分析】依据：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。【详解】5×5×5＝25×5＝125（cm3）3．512立方厘米【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把图中数据代入公式计算，据此解答。【详解】8×8×8＝64×8＝512（立方厘米）所以，正方体的体积是512立方厘米。4．3厘米；117立方厘米【分析】已知长方体的长为13厘米，宽为3厘米，棱长总和是76厘米，依据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体的高；再依据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可得解。【详解】76÷4－13－3＝19－13－3＝3（厘米）13×3×3＝117（立方厘米）即长方体的高是3厘米，体积是117立方厘米。5．（1）1250平方厘米；1500立方厘米；（2）416平方厘米；448立方厘米【分析】（1）用横截面的周长除以4，求出长方体的宽和高，统一单位后，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。（2）大正方体挖去一个正长方体，凹下去图形有4个面的面积，原来缺失的是2个面的面积，所以组合图形的表面积相比之前大正方体的表面积增加了2个面的面积，依据正方体的表面积公式求出大正方体的表面积，再加上2个边长为4厘米的正方形的面积即可。组合体的体积用大正方体的体积减去小正方体的体积即可。【详解】（1）20÷4＝5（厘米）6分米＝60厘米表面积：60×5×2＋60×5×2＋5×5×2＝600＋600＋50＝1250（平方厘米）体积：5×5×60＝1500（立方厘米）（2）表面积：8×8×6＋4×4×2＝384＋32＝416（平方厘米）体积：8×8×8－4×4×4＝512－64＝448（立方厘米）6．56平方分米【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同；长方体6个面的面积就是长方体表面积；前面或后面的面积＝长×高，左面或右面的面积＝宽×高，上面或下面的面积＝长×宽。据此解答。【详解】8×4＋6×4＝32＋24＝56（平方分米）即长方体下面、左面的面积和是56平方分米。7．左图：72dm2；36dm3右图：96dm2；64dm3【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。把正方体的棱长的数据代入正方体的表面积公式：S＝6×a2，和正方体的体积公式：V＝a3中，计算出正方体的表面积和体积。【详解】图1：表面积：（6×3＋6×2＋3×2）×2＝（18＋12＋6）×2＝36×2＝72（dm2）体积：6×3×2＝36（dm3）图2：表面积：4×4×6＝96（dm2）体积：4×4×4＝64（dm3）8．（1）384平方厘米；512立方厘米；（2）188平方分米；120立方分米【分析】（1）依据“正方体表面积＝棱长×棱长×6、正方体体积＝棱长×棱长×棱长”，分别计算即可。（2）依据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体体积＝长×宽×高”，分别计算即可。【详解】（1）表面积：8×8×6＝64×6＝384（平方厘米）体积：8×8×8＝64×8＝512（立方厘米）所以，这个正方体的表面积是384平方厘米；它的体积是512立方厘米。（2）表面积：（12×2＋12×5＋2×5）×2＝（24＋60＋10）×2＝94×2＝188（平方分米）体积：12×2×5＝24×5＝120（立方分米）所以，这个长方体的表面积是188平方分米，它的体积的120立方分米。9．392cm2；504cm3【分析】观看图形可知，该立体图形的表面积等于大正方体的表面积加上小正方体两个面的面积，依据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此进行计算即可；该立体图形的体积等于大正方体的体积减去小正方体的体积，依据正方体的体积公式：V＝a3，据此计算即可。【详解】8×8×6＋2×2×2＝64×6＋4×2＝384＋8＝392（cm2）8×8×8－2×2×2＝64×8－4×2＝512－8＝504（cm3）10．148平方分米【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长6分米、宽5分米、高4分米代入长方体表面积计算公式计算即可。【详解】（6×5＋6×4＋5×4）×2＝（30＋24＋20）×2＝74×2＝148（平方分米）11．109立方厘米【分析】观看题意可知，立体图形的体积＝一个棱长为5厘米的正方体体积－一个长是4厘米、宽是2厘米、高是2厘米的长方体的体积，依据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答。【详解】5×5×5－4×2×2＝125－16＝109（立方厘米）立体图形的体积是109立方厘米。12．长方体的表面积是220平方厘米；长方体的体积是200立方厘米；正方体的表面积是216平方厘米；正方体的体积是216立方厘米【分析】依据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（5×4＋5×10＋4×10）×2即可求出长方体的表面积；依据长方体的体积＝长×宽×高，用5×4×10即可求出长方体的体积；依据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用6×6×6即可求出正方体的表面积；依据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体的体积。【详解】（5×4＋5×10＋4×10）×2＝（20＋50＋40）×2＝110×2＝220（平方厘米）长方体的表面积是220平方厘米；5×4×10＝200（立方厘米）长方体的体积是200立方厘米；6×6×6＝216（平方厘米）正方体的表面积是216平方厘米；6×6×6＝216（立方厘米）正方体的体积是216立方厘米。13．表面积428cm2；体积365cm3【分析】观看图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面对下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，依据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算，即可求出这个组合图形的表面积。组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，依据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可求出这个组合图形的体积。【详解】表面积：（12×10＋12×2＋10×2）×2＋5×5×4＝（120＋24＋20）×2＋5×5×4＝164×2＋25×4＝328＋100＝428（cm2）体积：12×10×2＋5×5×5＝240＋125＝365（cm3）组合图形的表面积是428cm2，组合图形的体积是365cm3。14．150平方厘米【分析】在长方体上面放一个小正方体，则表面积比长方体多了4个正方形面，依据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，用（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4即可求出这个立体图形的表面积。【详解】（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4＝（24＋24＋9）×2＋3×3×4＝57×2＋3×3×4＝114＋36＝150（平方厘米）立体图形的表面积是150平方厘米。15．（1）24dm3（2）56cm3【分析】（1）依据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可；（2）该立体图形的体积等于大正方体的体积减去小正方体的体积，依据正方体的体积公式：V＝a3，据此进行计算即可。【详解】（1）6×2.5×1.6＝15×1.6＝24（dm3）（2）4×4×4－2×2×2＝16×4－4×2＝64－8＝56（cm3）16．左图：600平方厘米；900立方厘米右图：1220平方厘米；2445立方厘米【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高；组合体的表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积，组合体的体积＝大长方体体积＋小长方体体积，据此列式计算。【详解】（平方厘米）（立方厘米）（平方厘米）（立方厘米）17．（1）表面积：136cm2，体积：96cm3（2）表面积：150cm2，体积：125cm3【分析】（1）（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝长方体表面积，长×宽×高＝长方体体积；（2）正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。【详解】（1）表面积：（8×3＋8×4＋3×4）×2＝（24＋32＋12）×2＝68×2＝136（cm2）体积：8×3×4＝24×4＝96（cm3）（2）表面积：5×5×6＝25×6＝150（cm2）体积：5×5×5＝25×5＝125（cm3）18．120cm3【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，长方体容器的长×宽×上升的水的高度＝铁块体积，据此列式计算。【详解】10×8×（9.5－8）＝80×1.5＝120（cm3）19．105立方分米【分析】依据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答。【详解】7×3×5＝105（立方分米）长方体的体积是105立方分米。20．表面积：210dm2，体积：200dm3；表面积：1350cm2，体积：3375cm3【分析】（1）依据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可；（2）依据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，据此进行计算即可。【详解】（1）0.5m＝5dm表面积：（8×5＋8×5＋5×5）×2＝（40＋40＋25）×2＝105×2＝210（dm2）体积：8×5×5＝40×5＝200（dm3）（2）表面积：15×15×6＝225×6＝1350（cm2）体积：15×15×15＝225×15＝3375（cm3）21．384平方厘米【分析】依据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用8×8×6即可求出正方体的表面积。据此解答。【详解】8×8×6＝384（平方厘米）正方体的表面积是384平方厘米。22．184平方分米，160立方分米；294平方分米，343立方分米【分析】依据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；代入数据计算求解。【详解】（1）（8×4＋8×5＋4×5）×2＝（32＋40＋20）×2＝92×2＝184（平方分米）8×4×5＝32×5＝160（立方分米）长方体的表面积是184平方分米，体积是160立方分米。（2）7×7×6＝49×6＝294（平方分米）7×7×7＝49×7＝343（立方分米）长方体的表面积是294平方分米，体积是343立方分米。23．表面积为526，体积为669；表面积为230，体积为165【分析】看图1可知，一个长方体和正方体叠加之后，削减了两个正方形的表面积，组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体四个面的表面积，利用表面积公式分别代入计算即可；叠加后体积不变，组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公式计算即可。看图2可知，一个长方体和正方体叠相邻放齐之后，削减了两个长方体侧面的表面积，组合图形的表面积等于正方体的表面积加上长方体上、下、前、后四个面的表面积，表面积公式分别代入计算即可；组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公式计算即可。【详解】图1：长方体表面积：11×5×4＋11×11×2＝55×4＋121×2＝220＋242＝462（）正方体四个面的表面积：4×4×4＝16×4＝64（）图1的表面积：462＋64＝526（）长方体体积：11×11×5＝121×5＝605（）正方体体积：4×4×4＝16×4＝64（）图1的体积：605＋64＝669（）图2：正方体的表面积：5×5×6＝25×6＝150（）长方体四个面的表面积：10×2×4＝20×4＝80（）图2的表面积：150＋80＝230（）正方体的体积：5×5×5＝25×5＝125（）长方体的体积：10×2×2＝20×2＝40（）图2的体积：1