第02讲 反比例的实际应用（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-A4

第页第02讲反比例的实际应用能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题利用反比例函数求出问题中的值渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力知识点1行程与工程应用知识点2物理学中的应用知识点3经济学的应用知识点4生活中其他的应用知识点5反比例函数的综合【题型1行程与工程应用】【典例1】（2023•西乡塘区二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．​（1）设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运选任务所需的时间为x（单位：天）．①请直接写出y与x的函数关系式；②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？（2）由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．【答案】（1）①y与x的函数关系式为y＝（x＞0，y＞0）；②公司完成全部运输任务需要50天；（2）该公司原计划每天运送土石方7500立方米．【解答】解：（1）①根据题意得：yx＝300000，∴y＝，∴y与x的函数关系式为y＝（x＞0，y＞0）；②当y＝6000时，x＝＝50（天），答：公司完成全部运输任务需要50天；（2）设该公司原计划每天运送土石方a立方米，根据题意得：﹣＝10，整理得；a2+2500a﹣30000×2500＝0，解得a＝7500或a＝﹣10000（舍去），经检验a＝7500是原方程的根，∴该公司原计划每天运送土石方7500立方米．【变式1-1】（2022秋•顺平县期末）一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，行驶全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．（1）请写出这个反比例函数的解析式．（2）甲乙两地间的距离是90km．（3）根据高速公路管理规定，车速最高不能超过120km/h，若汽车行驶全程不进入服务区休息，且要求在4.5h以内从甲地到达乙地，求汽车行驶速度应控制在什么范围之内．【答案】（1）t＝（v＞0）；（2）90km；（3）20≤v≤120．【解答】解：（1）设这个反比例函数的解析式是，代入（10，9）得k＝90，∴解析式t＝（v＞0）；（2）由（1）得，∵k＝90，∴甲乙两地间的距离是90km．故答案为：90；（3）将t＝4.5代入，得v＝20，∴20≤v≤120．【变式1-2】（2023•松原模拟）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数y（单位：天）与每天完成的工程量x（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y关于x的函数解析式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？【答案】（1）．（2）40天．【解答】解：（1）设，∵点（24，50）在其图象上，∴50＝，∴k＝1200，∴所求函数关系式为．（2）由题意知，2台挖掘机每天能够开挖水渠15×2＝30（米），当x＝30时，y＝＝40，答：该工程队需要用40天才能完成此项任务．【变式1-3】（2022•滨江区一模）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．（1）设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．①求y关于t的函数表达式．②当0＜t≤80时，求y的取值范围．（2）若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？【答案】（1）①y关于t的函数表达式为y＝；②y的取值范围为y≥12500；（2）公司至少要安排125辆相同型号卡车运输．【解答】解：（1）①由题意得；y＝，∴y关于t的函数表达式为y＝；②当0＜t≤80时，y随t的增大而减小，∴当t＝80时，y有最小值为＝12500，当t接近于0，y的值越来越接近y轴，趋于无穷大，∴y的取值范围为y≥12500；（2）设至少要安排x辆相同型号卡车运输，依题意得：102x×80≥106，解得：x≥125，∴公司至少要安排125辆相同型号卡车运输．【题型2物理学中的应用】【典例2】（2023春•宛城区期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．（1）P关于S的函数关系式为P＝，（S＞0）．（2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是400Pa．（3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围．【答案】（1）P＝，（S＞0）；（2）400；（3）0.025＜S＜0.1．【解答】解：（1）设P＝，∵点（0.1，1000）在这个函数的图象上，∴1000＝．∴k＝100．∴P与S的函数关系式为P＝，（S＞0）．故答案为：P＝，（S＞0）．（2）当S＝0.25m2时，P＝＝400（pa）．故答案为：400．（3）令P＝1000，S＝＝0.1（m2），令P＝4000，S＝＝0.025（m2），∴当1000＜p＜4000时，0.025＜S＜0.1．【变式2-1】（2023•南海区校级模拟）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．以下说法不正确的是（）A．本实验中电压表的读数为2.5V B．当定值电阻Rx＝10Ω时，电流表的示数为0.25A C．当电流表的示数为0.1A时，定值电阻Rx＝20Ω D．电流I与电阻Rx之间的函数关系式为【答案】C【解答】解：由图象可知，电流I与电阻Rx之积为0.5×5＝2.5V，∴本实验中电压表的读数为2.5V，∴电流I与电阻Rx之间的函数关系式为，选项A，D正确，故该选项不符合题意；当Rx＝10Ω时，A，选项B正确，故该选项不符合题意；当I＝0.1A时，由图象可知R＝25Ω≠20Ω，选项C错误，故该选项符合题意．故选：C．【变式2-2】（2023•平城区模拟）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（）A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克【答案】B【解答】解：设该药品质量是x克，由题意，得，解得：x＝4，答：该药品质量是4克．故选：B．【变式2-3】（2023•大连模拟）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当I＝1A时，R＝3Ω．（1）求电流I关于电阻R的函数关系式；（2）若1.5A≤I≤7.5A，求电阻R的变化范围．【答案】（1）电流I关于电阻R的函数关系式为；（2）若1.5A≤I≤7.5A时，电阻R的变化范围为0.4Ω≤R≤2Ω．【解答】解：（1）设I与R满足反比例函数关系为，根据图象可知，该函数过点（1，3），∴，∴k＝3，∴，∴电流I关于电阻R的函数关系式为；（2）当I＝1.5A时，R＝2Ω，当I＝7.5A时，R＝0.4Ω，∴若1.5A≤I≤7.5A时，电阻R的变化范围为0.4Ω≤R≤2Ω【题型3经济学的应用】【典例3】（2023•前郭县二模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．（1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式；（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？【答案】（1）y＝；（2）设计师可以拿到“特殊贡献奖”．【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，100）代入得k1＝5，∴y＝5x；当x≥20时，设y＝，把（20，100）代入得k2＝2000，∴y＝；（2）当0＜x≤20时，又5x≥80得，x≥16，即16≤x≤20，有5天；当x＞20时，由≥80，解得：x≤25，即20＜x≤25，有5天，共有5+5＝10（天），因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”．【变式3-1】（2022秋•顺德区期末）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表：组装的时间x（天）304560每天组装的数量y（台/天）300200150（1）求y关于x的关系式；（2）某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？【答案】（1）y关于x的关系式为；（2）每台空调的定价为2750元．【解答】解：（1）∵30×300＝45×200＝60×150＝9000，∴y关于x的函数关系为反比例函数关系，设y关于x的函数解析式为，把x＝30，y＝300代入得，，解得k＝9000，∴y关于x的关系式为；（2）设销售单价降低x元，则每台的销售利润为（2900﹣x﹣2500）元，平均每天的销售量为台，依题意得：，整理得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝150，x2＝50，让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元，∴每台空调的定价为2900﹣150＝2750（元）．答：每台空调的定价为2750元．【变式3-2】（2022春•邗江区期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当0＜x≤30时，设y＝k1x，把（30，120）代入得k1＝4，∴y＝4x；当x≥30时，设y＝，把（30，120）代入得k2＝3600，∴y＝；（2）当0＜x≤30时，由4x＜36，解得：x＜9，即0＜x＜9；当30＜x≤100时，由＜36，解得：x＞100，不合条件，∴共有8天；（3）当0＜x≤30时，又4x≥100得，x≥25，即25≤x≤30，有6天；当x＞30时，由≥100，解得：x≤36，即30＜x≤36，有6天，共有6+6＝12天，因此设计师可以拿到特殊贡献奖．【变式3-3】（2022•抚顺模拟）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y＝，把（5，1.8）代入关系式得1.8＝，∴k＝9，∴y＝，∴12﹣9＝3（万元）．答：首付款为3万元；（2）当x＝20时，y＝＝0.45（万元），答：每月应付0.45万元；（3）当y＝0.4时，0.4＝，解得：x＝，答：他至少23个月才能结清余款．【题型4生活中其他的应用】【典例4】（2023春•原阳县期中）根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧完毕后，y（毫克）与时间x（分钟）成反比例，如图所示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题：（1）求当药物燃烧时，y关于x的函数关系式；求药物燃烧后，y关于x的函数关系式．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？【答案】（1）正比例函数关系式是y＝2x，反比例函数关系式是y＝；（2）从消毒开始，至少需要经过20分钟后，学生才能回到教室．【解答】解：（1）设正比例函数关系式为y＝mx，设反比例函数关系式为y＝，由图象可知，点（4，8）在函数图象上，∴8＝4m，8＝，∴m＝2，k＝32，∴正比例函数关系式是y＝2x，反比例函数关系式是y＝．（2）当y＝1.6时，x＝＝20．则从消毒开始，至少需要经过20分钟后，学生才能回到教室．【变式4-1】（2022秋•渭南期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：（1）求一次函数和反比例函数表达式；（2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？【答案】（1），；（2）60分钟．【解答】解：（1）设反比例函数解析式为，将（24，8）代入解析式得k＝xy＝24×8＝192，∴反比例函数解析式为，将y＝12代入解析式得，，解得：x＝16，故A点坐标为（16，12），∴反比例函数解析式为，设正比例函数解析式为y＝nx将A（16，12）代入得：，∴正比例函数解析式为；（2）由可得：当y＝3时，，由可得：当y＝3时，x＝4，由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克，∵64﹣4＝60分钟，∴师生至少在60分钟内不能进入教室．【变式4-2】（2022•冷水滩区校级开学）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与和通电时间x（min）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程，设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8≤x≤a时，y与x之间的函数表达式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他要在什么时间段内接水？【答案】（1）当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；（2）a＝40；（3）李老师要在7：38到7：50之间接水．【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，解得k1＝10，b＝20，∴当0≤x≤8时，y＝10x+20，当8＜x≤a时，设y＝，将（8，100）的坐标代入y＝，得k2＝800，∴当8＜x≤a时，y＝．综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；（2）将y＝20代入y＝，解得x＝40，即a＝40；（3）当y＝40时，x＝＝20．∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．【变式4-3】（2023春•靖江市期末）实验数据显示，一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【答案】（1）；（2）第二天早上7：00不能驾车去上班，理由见解析．【解答】解：（1）由题意可得：当0≤x＜1.5时，设函数关系式为：y＝kx，则150＝1.5k，解得：k＝100，故y＝100x（0≤x＜1.5），当x≥1.5时，设函数关系式为：，则a＝150×1.5＝225，解得：a＝225，故，综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：，（2）第二天早上7：00不能驾车去上班．∵晚上8：00到第二天早上7：00有11个小时，∴x＝11时，，∴第二天最早上7：00不能驾车去上班．【题型5反比例函数综合】【典例5】（2023春•井研县期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OB，在x轴上取点C，使BC＝BO，求△OBC的面积；（3）P是y轴上一点，且△OBP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有P点坐标．​【答案】（1）反比例函数解析式为y＝﹣，一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）2；（3）（0，﹣4）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）．【解答】解：（1）将（﹣2，1）代入y＝得1＝﹣，解得m＝﹣2，∴y＝﹣．将（1，n）代入y＝﹣得n＝﹣2，∴点B坐标为（1，﹣2），将（﹣2，1），（1，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣x﹣1，∴反比例函数解析式为y＝﹣，一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）作BD⊥x轴于D，∵BO＝BC，∴OD＝DC．∴D（1，0），C（2，0），∴S△OBC＝×2×2＝2；（3）设点P（0，m），而点B、O的坐标分别为：（1，﹣2）、（0，0），BP2＝1+（m+2）2，BO2＝5，PO2＝m2，当BP＝BO时，1+（m+2）2＝5，解得：m＝﹣4或0（舍去0）；当BO＝PO时，同理可得：m＝±；当BP＝PO时，同理可得：m＝﹣1；综上，P点坐标为：（0，﹣4）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）．【变式5-1】（2023春•民乐县校级月考）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．（1）求k的值；（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．【答案】（1）2；（2）D（1+2，2）；8．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，∴a＝2×1＝2，即点A的坐标为（1，2），∵点A（1，2）是反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x图象的交点，∴k＝1×2＝2，即k的值是2；（2）由题意得：＝2x，解得：x＝1或﹣1，经检验x＝1或﹣1是原方程的解，∴B（﹣1，﹣2），∵点A（1，2），∴AB＝＝2，∵菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC∥x轴，∴AD＝AB＝2，∴D（1+2，2）．∴菱形的面积＝2×（2+2）＝8．【变式5-2】（2023春•通许县校级月考）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D，E．（1）求m的值及点E的坐标；（2）点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O，D，E，N四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）9，E（3，3）；（2）点M的坐标（0，）；（3）N的坐标为（，﹣3）或（﹣1.5，3）或（4.5，9）．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（3，6），D为AB中点，∴D（1.5，6），∴m＝1.5×6＝9，∴反比例函数解析式为y＝，把x＝3代入得：y＝3，即E（3，3）；（2）设点M的坐标为（0，n），∵点D的坐标为（1.5，6），点E的坐标为（3，3），∴S△ODE＝3×6﹣×3×3﹣××6﹣×3×＝，由题意得：×3×n＝，解得：n＝，∴△MBO的面积等于△ODE的面积时，点M的坐标（0，）；（3）由题意得：O（0，0），D（1.5，6），E（3，3），设N（x，y），分三种情况考虑：①当四边形ON1ED为平行四边形时，可得﹣0＝3﹣x，6﹣0＝3﹣y，解得：x＝，y＝﹣3，即N1（，﹣3）；②当四边形OEDN2为平行四边形时，可得0+1.5＝3+x，0+6＝3+y，解得：x＝﹣1.5，y＝3，即N2（﹣1.5，3）；③当四边形OEN3D为平行四边形时，可得1.5+3＝0+x，6+3＝0+y，解得：x＝4.5，y＝9，即N3（4.5，9），综上，N的坐标为（，﹣3）或（﹣1.5，3）或（4.5，9）．1．（2023•大连）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝5时，I＝8，则当R＝10时，I的值是（）A．4 B．5 C．10 D．0【答案】A【解答】解：由题意知，I＝，∴U＝IR＝5×8＝40（V），∴当R＝10时，I＝＝4（A），故选：A．2．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），R、I均大于0，∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，故选：D．3．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（）A．3A B．4A C．6A D．8A【答案】B【解答】解：设I＝，∵图象过（8，3），∴U＝24，∴I＝，当电阻为6Ω时，电流为：I＝＝4（A）．故选：B．4．（2023•丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（）A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2【答案】A【解答】解：∵，F＝100，∴，∵产生的压强p要大于1000Pa，∴，∴S＜0.1，故选：A．5．（2023•常州）若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x、y，则y与x的函数表达式为y＝．【答案】y＝．【解答】解：根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，可得xy＝10，即y＝，故答案为：y＝．6．（2023•广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为4A．【答案】4．【解答】解：当R＝12Ω时，I＝＝4（A）．故答案为：4．7．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了20mL．【答案】20．【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，∵V＝100ml时，p＝60kpa，∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，∴V＝，当p＝75kPa时，V＝＝80，当p＝100kPa时，V＝＝60，∴80﹣60＝20（mL），∴气体体积压缩了20mL，故答案为：20．8．（2023•南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省100N的力．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）【答案】100．【解答】解：根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，∴函数的解析式为F＝，当L＝1.5时，F＝＝400，当L＝2时，F＝＝300，因此，撬动这块石头可以节省400﹣300＝100N，故答案为：100．9．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；（2）（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+，得．解得．故A（1，3）．将其代入反比例函数y＝，得＝3．解得m＝3．故一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB＝＝5．设P（a，0），当AB＝AP时，5＝．解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．故P（5，0）；当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．解得a＝﹣8或a＝2．故P（﹣8，0）或（2，0）．综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．10．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．（1）m＝﹣3，k＝﹣3，点C的坐标为（﹣4，0）；（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．【答案】（1）﹣3，﹣3，（﹣4，0）；（2）点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即点B（1，﹣3），将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×1＝﹣3，即反比例函数的表达式为：y＝﹣，根据正比例函数的对称性，点A（﹣1，3），由点O、A的坐标得，OA＝，过点A作AH⊥x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，而∠ACO＝45°，设AH＝3x＝CH，则OH＝x，则AO＝x＝，则x＝1，则AH＝CH＝3，OH＝1，则CO＝CH+OH＝4，则点C的坐标为：（﹣4，0），故答案为：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；（2）当点P在x轴的负半轴时，∵∠BOP＞90°＞∠AOC，又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，∴△BOP和△AOC不可能相似；当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，若△AOC∽△BOP，则，则OP＝OC＝4，即点P（4，0）；若△AOC∽△POB，则，即，解得：OP＝2.5，即点P（2.5，0），综上，点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．11．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．（1）求反比例函数的解析式．（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y＝；（2）F（2+，2）．【解答】解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：∴∠AMC＝∠BNC＝90°，设C（m，），∵B（0，3），A（1，0）则CM＝，M（m，0），N（m，3），∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣，BN＝m，∵∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∴∠BCN＝∠MAC，又∵AC＝BC，∠BCN＝∠MAC，∠AMC＝∠BNC＝90°∴△ACM≌△CBN（AAS），∴CN＝AM，BN＝CM，∴3﹣＝m﹣1，m＝，∴k＝m2，∴3﹣m＝m﹣1，m＝2，∴k＝4，∴反比例函数的解析式：y＝；（2）由（1）可得C（2，2），∵A（1，0），∴AC＝＝，∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，∴F点纵坐标为2，∠CAF＝DAF＝∠CFA，∴CF＝AC＝，∴F点横坐标为2+，∴F（2+，2）．12．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．（1）求h关于ρ的函数解析式；（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．【答案】（1）h关于p的函数解析式为；（2）该液体的密度ρ为0.8g/cm3．【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为，把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，∴h关于ρ的函数解析式为；（2）把h＝25代入，得，解得：ρ＝0.8，答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．13．（2023•宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V＝πr3，π取3）；（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．【答案】（1）气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【解答】解：（1）设函数关系式为p＝，根据图象可得：k＝pV＝120×0.04＝4.8，∴，∴当p＝150时，，∴×3r3＝0.032，解得：r＝0.2，∵k＝4.8＞0，∴p随V的增大而减小，∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2，∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．1．（2022秋•新化县期末）某长方体的体积为100cm3，长方体的高h（单位：cm）与底面积S的函数关系式为（）A．h＝ B．h＝ C．h＝100S D．h＝100【答案】B【解答】解：由题意得：长方体的高h（单位：cm）与底面积S的函数关系式为h＝．故选：B．2．（2022秋•历下区期末）随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度y（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥8时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥32【答案】B【解答】解：设反比例函数的解析式为：y＝（x≥8），则将（8，80），代入得：y＝，故当车速度为20千米/时时，则20＝，解得：x＝32，故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：x≤32．故选：B．3．（2023春•浦东新区校级期末）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，∴xy＝4，∴y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据xy实际意义x＞0、y＞0，其图象在第一象限．故选：C．4．（台州）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为I＝，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵I＝，电压为定值，∴I关于R的函数是反比例函数，且图象在第一象限，故选：C．5．（2022秋•昌乐县期末）某变阻器两端的电压为220伏，则通过变阻器的电流I（A）与它的电阻R（Ω）之间的函数关系的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：依题意，得IR＝220，∴I＝（I＞0，R＞0），∴函数图象为双曲线在第一象限的部分．故选：D．6．（台州）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（）A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4【答案】A【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），设反比例函数为ρ＝，则1.5＝，解得k＝9，故选：A．7．（2023•保定一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积v（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积v是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正确的是（）A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是5v C．当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3 D．当ρ＝4kg/m3时，v＝3m3【答案】C【解答】解：设ρ＝，将（2，5）代入ρ＝得5＝，解得k＝10，∴ρ＝，故A选项错误，不符合题意；v是体积单位，故B选项说法不符合题意；将V＝8代入ρ＝得ρ＝1.25．∴当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3正确，符合题意；将ρ＝4kg/m3代入ρ＝得v＝2.5m3，故D选项错误，不符合题意．故选：C．8．（2023•恩施市模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于【答案】B【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，∵图象过点（1.6，60）∴k＝96，即P＝在第一象限内，P随V的增大而减小，∴当P≤120时，V≥＝．故选：B．9．（2023春•荣县校级月考）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（）A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝【答案】B【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∴1200×0.5＝Fl，整理得：，故选：B．10．（2023•南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为2500N．【答案】2500．【解答】解：设功率为P，由题可知P＝FV，即v＝，将F＝3750N，v＝20m/s代入可得：P＝75000，即反比例函数为：v＝．当v＝30m/s时，F＝＝2500N．胡答案为：2500．11．（2023春•市南区校级月考）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时【答案】6．【解答】解：当0＜x＜4时，函数为正比例函数，设：y＝kx，∵函数经过点（4，8），∴8＝k×4，即k＝2，∴当0＜x＜4时，y＝2x，∴当药物浓度为4微克/毫升时，即y＝4时，2x＝4∴x＝2，当4≤x≤10时，函数为正比例函数，设：，∵函数经过点（4，8），∴，即m＝32，∴当4≤x≤10时，，∴当药物浓度为4微克/毫升时，即y＝4时，∴x＝8，∴根据图象可以判断出：当2≤x≤8时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，∴持续时间为8﹣2＝6h，故答案为：6．12．（阳谷县校级模拟）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y＝x，自变量x的取值范围为0≤x≤8；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1∴k1＝设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝k2＞0）代入（8，6）为6＝∴k2＝48∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）（2）结合实际，令y＝中y≤1.6得x≥30即从消毒开始，至少需要经过30分钟后，员工才能回到办公室．（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4把y＝3代入y＝，得：x＝16∵16﹣4＝12所以这次消毒是有效的．13．（富顺县一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20，把B（10，40）代入得，k1＝2，∴y1＝2x+20．设C、D所在双曲线的解析式为y2＝，把C（25，40）代入得，k2＝1000，∴当x1＝5时，y1＝2×5+20＝30，当，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．（2）令y1＝36，∴36＝2x+20，∴x1＝8令y2＝36，∴，∴∵27.8﹣8＝19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．14．（2023秋•肇源县月考）如图正比例函数y＝k1x与反比例函数交于点A，从A向x轴、y轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4．①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式；②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标；③求△ODC的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设正比例函数y1＝k1x，反比例函数y2＝，由正方形的面积可得点A的坐标（2，2），代入两函数表达式可得：k1＝1，k2＝4．则正比例函数的解析式为y1＝x；反比例函数的解析式为y2＝．（2）∵正、反比例函数图象的另外一个交点是D，且点D和点A关于坐标原点对称，∵A点坐标为（2，2），∴D点坐标为（﹣2，﹣2）．即另一个交点的坐标为（﹣2，﹣2）．（3）∵△ODC是以A点横坐标的绝对值为底边，以D点纵坐标的绝对值为高，∴S△ODC＝×|xA|×|yD|＝2．15．（云南）将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S＝（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：a＝0.1，S＝700，代入反比例函数关系S＝中，解得：k＝Sa＝70，所以函数关系式为：S＝；（2）将a＝0.08代入S＝得：S＝＝＝875千米，故该轿车可以行驶875千米；16．（咸宁模拟）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此商品的日销售单价x（单位：元）与日销售数量y（单位：张）之间有如下关系：销售单价x（元）3456日销售量y（张）20