第01讲 平行四边形的性质和判定（知识解读+达标检测）（解析版）-A4

第页第01讲平行四边形的性质和判定【题型1根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4平行四边形的判定】【题型5平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6平行四边形的性质与判定综合】【题型7：三角形中位线】【题型8：平行线之间的距离与平行四边形的综合】考点1：平行四边形的性质边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO【题型1根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（）A．55° B．60° C．65° D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（）A．80° B．40° C．70° D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（）A．155° B．130° C．125° D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（）A．55° B．50° C．40° D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（）cm．A．11 B．18 C．20 D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（）A．18 B．9 C．6 D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为22．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行，一组对角互补 C．一组对角相等，一组邻角互补 D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需添加的条件是（）A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠D＝180° C．∠A+∠D＝180° D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①② B．①④ C．②④ D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC中，D，E分别是AC，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。【题型7三角形中位线】【典例7】（2023秋•绥化期末）如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【答案】C【解答】解：∵DE垂直平分△ABC的边AB，AD＝5，∴AD＝DB＝5，AE＝EB，∴点E是AB的点，∵F是AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴．∵CD＝9，DB＝5，∴BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4，∴．故选：C．【变式7-1】（2023秋•双阳区期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米【答案】B【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵DE＝16米，∴AB＝32米，∴A、B两点间的距离为32米．故选：B【变式7-2】（2023秋•驻马店期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．【变式7-3】（2023秋•万州区期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝14，则DF的长为4．【答案】4．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝14，AC＝6，∴DE＝BC＝×14＝7，AE＝CE＝AC＝×6＝3，DE∥BC，∴∠CFE＝∠BCF，∵CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ECF，∴∠ECF＝∠CFE，∴EF＝CE＝3，∴DF＝DE﹣EF＝7﹣3＝4，故答案为：4．考点4：平行线之间的距离与平行四边形的综合定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离性质：平行线之间距离处处相等【题型8平行线之间的距离与平行四边形的综合】【典例8】（2023春•冷水滩区校级期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（）A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定【答案】A【解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1），直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）；当直线c在直线a、b外部时，如图（2），直线a、c间的距离为7+3＝10（cm），∴直线a、c间的距离是4或10cm．故选：A．【变式8-1】（2023春•秦皇岛期末）如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（）A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变，故选：C．【变式8-2】（2023春•思明区校级期中）如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（）A．25 B．50 C．50 D．25【答案】D【解答】解：如图，过点A作AC⊥l2于点C，∵直线l1∥l2，AC⊥l2，∴∠DAC＝90°，∵∠DAB＝135°，∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝45°，∴∠ABC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，2AC2＝502，∴AC＝25．∴两平行线l1和l2之间的距离为25．故选：D．【变式8-3】（2023春•温州校级期中）如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是（）A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度 B．CE＝FG C．线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离 D．AC＝BD【答案】C【解答】解：A、∵FG⊥l2于点G，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段FG的长度，故本选项正确；B、∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE＝FG，故本选项正确；C、∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误；D、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD，故本选项正确；故选：C．一．选择题（共11小题）1．（2023•江南区校级三模）如图，在▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C的度数为（）A．40 B．50 C．100 D．130【答案】D【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠B＝50°，∴AB∥CD，∴∠C+∠B＝180°，∴∠C＝130°，故选：D．2．（2023春•开州区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝6m，则A，B之间的距离是（）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】D【解答】解：∵C，D分别是OA，OB的中点，∴CD是△ABO的中位线，∴AB＝2CD，∵CD＝6m，∴AB＝12m，故选：D．3．（2023春•叙州区期末）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2），则点B的坐标是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（5，3） D．（4，3）【答案】B【解答】解：∵▱OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2），∴OA＝BC＝3，B点纵坐标与C点纵坐标相同，∴顶点B的坐标是（4，2），故选：B．4．（2022秋•周村区期末）如图，▱ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A＝（）A．50° B．80° C．100° D．130°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，∵∠B+∠D＝100°，∴∠B＝∠D＝50°，∴∠A＝130°，故选：D．5．（2022秋•沂源县期末）学习了平行四边形的相关知识后，小明采用下列方法钉制了一个平行四边形框架：如图，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，然后用木条将AB、BC、CD、DA分别钉起来．此时四边形ABCD即为平行四边形，这样做的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】D【解答】解：将两根木条AC、BD中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形．得出AO＝CO，DO＝BO，则四边形ABCD就是平行四边形，故这样做的依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；故选：D．6．（2022秋•海阳市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD中点，若AC＝8，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（）A．20 B．24 C．28 D．32【答案】B【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴，∵点E是AD中点，∴，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝2（AO+OE+AE），∵△AOE的周长＝AO+OE+AE＝10，∴AC+AD+CD＝20，∴AD+CD＝20﹣8＝12，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝24；故选：B．7．（2023•临高县校级三模）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝10，BC＝16，则EF的长为（）A．8 B．6 C．3 D．2【答案】C【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，AB＝10，BC＝16，∴BD＝AD＝5，DE＝BC＝8，DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF＝5，∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3，故选：C．8．（2023秋•碑林区校级期中）如图所示，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3，AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠F＝∠DAF，∴AD＝BC＝DF＝5，∴CF＝DF﹣CD＝2，故选：B．9．（2023•东莞市校级一模）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵BC＝12，∴DE＝6，在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，∴FE＝AC＝4，∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，故选：B．10．（2023•城厢区校级开学）如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：如图，作AC⊥BC，∵直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，∴∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝×AB＝2．故选：D．11．（2023春•孝义市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，连接BE．若▱ABCD的周长为20，则△ABE的周长为（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【解答】解：∵在▱ABCD中，对角线相互平分，∴O是BD中点，∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的中垂线，即EB＝ED，∴△ABE的周长为AB+BE+AE＝AB+DE+AE＝AB+AD，∵▱ABCD的周长为20，∴AB+AD＝10，即△ABE的周长为10，故选：B．二．填空题（共8小题）12．（2023春•秦淮区期中）在▱ABCD中，若∠A＝3∠B，则∠C＝135°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝3∠B，∴∠A＝∠C＝135°．故答案为：135．13．（2022秋•烟台期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝3，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，故答案为：2．14．（2022秋•乳山市期末）如图，▱ABCD中，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，BD＝20，BE＝7，AE＝4，则AC的长等于10．【答案】10．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO＝BD＝10，∵BE＝7，∴EO＝3，∴AO＝＝＝5，∴AC＝10，故答案为10．15．（2023春•罗定市期末）如图，在▱ABCD中，AD＝8，E为AD上一点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为4．【答案】4．【解答】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝8，∵M，N分别为BE，CE的中点，∴MN是△EBC的中位线，∴MN＝BC＝4．故答案为：4．16．（2023秋•灯塔市校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是4+2．【答案】4+2．【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，∴OC＝OA＝AC＝3，OD＝OB＝BD＝5，∵AC⊥CD，OE⊥AC，∴∠ACD＝90°，AE＝CE，∴CD＝＝＝4，∴AD＝＝＝2，∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE＝AE＝AD＝，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4++＝4+2，∴故答案为：4+2．17．（2022秋•岱岳区