第01讲 二次根式 （知识解读+达标检测）（解析版）-A4

第页第01讲二次根式【题型1二次根式的概念】【题型2二次根式有意义的条件】【题型3二次根式的性质】考点1：二次根式的相关概念一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。二次根式满足条件：必须含有二次根号被开方数必须是非负数【题型1二次根式的概念】【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答．【详解】解：A、没有意义，故A不符合题意；B、不是二次根式，故B不符合题意；C、是二次根式，故C符合题意；D、当时，是二次根式，当时，没有意义，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．【变式1-1】下列各式一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二．【详解】解：A．，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．，根据一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意；C．无意义，故此选项不合题意；D．，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键．【变式1-2已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是．【答案】3【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出答案．【详解】解：∵，∴n的最小正整数值是：3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与定义，正确化简二次根式是解题关键．【变式1-3】代数式的最小值为．【答案】2【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．【详解】解：根据题意可得，∴，∴的最小值为2，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．【题型2二次根式有意义的条件】【典例2】若式子有意义，则x的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．【答案】C【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0，被开方数大于或等于0，解不等式即可．【详解】解：依题意得：且，解得且．故选C．【变式2-1】式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零，列式计算即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：D．【变式2-2】下列实数的取值能使代数式有意义的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据这些条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．【详解】解：根据题意：，解得：，根据选项，只能取故选：B．【变式2-3】式子有意义的条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零和二次根式有意义被开方数为非负数即可求解，解题的关键是列出不等式并正确求解．【详解】∵有意义，∴，∴，故选：．【题型3二次根式的非负性】【典例3】若，则．【答案】12【分析】根据二次根式和绝对值的非负性，两个非负数相加等于0，则它们分别为0可得解得即可求得的值.【详解】由题意得解得∴故答案为：12【点睛】本题主要考查二次根式和绝对值得非负性，两个非负数相加等于0，则它们分别为0，初中阶段常用三个非负式，二次根式、绝对值和偶次幂.【变式3-1】已知，求的值为．【答案】16【分析】非负性求出的这值，在代入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故答案为：16．【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．【变式3-2】已知，则=【答案】-8【分析】绝对值是非负数，平方之后也是非负数，故分别为0，便可找到答案.【详解】解：a=-4,

b=-2【点睛】本题考查非负数的定义，两个非负数相加为0，则分别为0.【变式3-3】若有理数x，y满足，则x+y=．【答案】1【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”即可得到结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查绝对值的非负性，解题的关键是根据非负数的性质求出x和y的值．考点2：二次根式的性质双重非负性≥0,a≥0:(主要用于字母的求值)（2）回归性:(主要用于二次根式的计算)（3）转化性：【题型4】 【典例4】计算的结果为．【答案】2023【分析】根据即可得到答案．【详解】解：，故答案为：2023．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式4-1】化简：．【答案】3【分析】本题考查了二次根式的性质，根据性质求解即可．【详解】解：．故答案为：3．【变式4-2】计算．【答案】7【分析】直接根据二次根式的性质求解即可得出结论．【详解】解：，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确掌握是解答本题的关键．【题型5】 【典例5】若，则b满足的条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根据的性质，即可得结果．【详解】∵∴∴故选：D．【变式5-1】化简：．【答案】/【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．【变式5-2】计算：．【答案】6【分析】根据二次根式的性质化简，即可求解．【详解】解：．故答案为：6【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【题型6】 【典例6】若，那么的结果是【答案】/【分析】本题考查二次根式的性质，根据字母的取值范围，得到式子的符号，根据二次根式的非负性，进行化简计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：．【变式6-1】若等式=－8成立，则的取值范围是．【答案】x≥8【分析】直接利用二次根式的性质得出x−8的取值范围即可得出答案．【详解】解：∵等式=－8成立，∴x−8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．【变式6-2】已知，则化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据a的范围判断出与的正负，利用二次根式的性质和绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【详解】解：∵，∴，，∴．故选：A．【点睛】此题考查了二次根式的性质、整式的加减、绝对值的代数意义等，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式6-2】实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（

）

A．7 B． C． D．无法确定【答案】A【分析】由数轴可得，据此判断出，的正负，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：由数轴可得，∴，，∴故选A．【点睛】本题考查了利用数轴判断代数式的大小，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质化简．一、单选题1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，则.【详解】解：由题意知：被开方数，解得：．故答案选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0.2．若是二次根式，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【详解】解：若是二次根式，则，∴，故选：B.3．若，则代数式可化简为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先根据二次根式有意义的条件和已知条件推出，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C．4．化简结果为的式子为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质；根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：A.，故该选项不符合题意；B.，故该选项符合题意；C.，故该选项不符合题意；D.无意义，故该选项不符合题意；故选：B5．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于结合数轴进行解答．由数轴得出，原式化简为，再去掉绝对值符号、合并同类项即可．【详解】解：由数轴可知：，，故选：A．6．已知是整数，则自然数m的最小值是（

）A．2 B．4 C．8 D．11【答案】B【分析】题考查二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数指大于等于0的整数是本题的解题关键．【详解】解：∵是整数，且m为自然数，∴是一个完全平方数，且，∴自然数m的最小值是，故选B．7．若，则化简正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据题意先分析出和与的关系，再进行化简即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．【详解】解：由题可知，则，，∴原式，，故选：．8．已知，，则的值是（

）．A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】利用二次根式性质求出和的值，再代入到中计算即可得到答案．【详解】∵，，∴，，当，时，；当，时，；∴的值是或，故选：．【点睛】此题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．二、填空题9．若，则的取值范围为．【答案】/【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据可得，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：10．若，则（x+y）2019+x2020=．【答案】0【分析】由，利用非负数之和为的性质求解，从而可得答案.【详解】解：.故答案为：【点睛】本题考查的是两个非负数之和为的性质，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键.11．已知，则．【答案】6【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，确定x，y的值，后求代数