（趣味数学）第一讲 百分数（二）（培优讲义）2023-2024学年六年级下册数学思维拓展提升讲义（人教版）

板块一：趣味数学第一讲百分数（二）板块一：趣味数学第一讲百分数（二）成语中的百分数成语是我国汉字语言词汇中一部分定型的词组或短句,它是我国独有的语言资源,是祖先留给我们的文化遗产,我们要乐观地争辩它。看,它们还能变身成百分数呢?十有八九80%~90%事半功倍200%百里挑一1%挑战生活中的百分数：事倍功半()一箭双雕()半信半疑()十全十美（）百发百中（）十拿九稳（）板块二：学问精讲1．折扣【学问点归纳】1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。2、几折就是格外之几，也就是百分之几十。例如：八折＝8÷10＝80%，六折五＝6.5÷10＝65÷100＝65%3、解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后依据求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。4、商品现在打八折：现在的售价是原价的80%；商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%。【方法总结】与折扣有关的实际问题的解题方法：已知原价和折扣，求现价：现价＝原价×折扣；已知原价和折扣，求廉价的钱数：廉价的钱数＝原价﹣原价×折扣；已知现价和折扣，求原价：原价＝现价÷折扣；（4）已知原价和现价，求折扣：用现价除以原价，结果用百分数表示，同时在答语中要体现出来。2．成数【学问点归纳】①农业收成，经常用“成数”来表示。例如，报纸上写道：“今年我省油菜籽比去年增产二成”②成数表示一个数是另一个数的格外之几，通称“几成”。例如，“一成”就是格外之一，改写成百分数是10%“三成五”是格外之三点五，改写成百分数就是35%③“成数”已经广泛应用于表示各行各业的进展变化状况。例如：出口汽车总量比去年增加三成，北京出游人数比去年增加两成。3．利率【学问点归纳】存入银行的钱叫本金；取款时银行多支付的钱叫做利息；本金与利息之和叫做本息；单位时间内的利息与本金的比率叫做利率；存款的时间为存期。【方法总结】利息＝本金×利率×存期利率＝利息÷存期÷本金4．税率【学问点归纳】1、纳税的含义：纳税是依据国家税法的有关规定，依据肯定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。2、每个公民都有依法纳税的义务。缴纳的税款叫做应纳税额。应纳税额与各种收入（销售额、营业额……）的比率叫做税率。3、求应纳税额，就是求一个数的百分之几是多少的问题。收入×税率＝应纳税额。4、求税率，就是求应纳税额是应纳税收入的百分之几。税率＝应纳税额÷收入×100%。5、求收入，就是已知一个数的百分之几是多少，求这个数是多少。收入＝应纳税额÷税率。6、提示：有时并不是全部收入都需要纳税，例如，目前个人工资或薪金收入的5000元以下的部分是不需要纳税的，而超过5000元部分则需要按规定纳税。7、需要纳税部分的收入叫做应税收入。【方法总结】应纳税额＝应纳税所得额×税率税率＝应纳税额÷应纳税所得额5．折扣问题【学问点归纳】1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。2、几折就是格外之几，也就是百分之几十。例如：八折＝8÷10＝80%，六折五＝6.5÷10＝65÷100＝65%3、解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后依据求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。4、商品现在打八折：现在的售价是原价的80%；商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%。【方法总结】与折扣有关的实际问题的解题方法：已知原价和折扣，求现价：现价＝原价×折扣；已知原价和折扣，求廉价的钱数：廉价的钱数＝原价﹣原价×折扣；已知现价和折扣，求原价：原价＝现价÷折扣；（4）已知原价和现价，求折扣：用现价除以原价，结果用百分数表示，同时在答语中要体现出来。6．增长率变化率问题【学问点归纳】增长率是表述基期量与现期量变化的相对量。增长率又称增速、增幅或者增长幅度、增值率等，增长率为负时表示下降。增长率＝增长数÷原来基数×100%3、一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长率等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）【方法总结】求一个数比另一个数多（少）百分之几的解题方法：两个数的相差量÷单位“1”的量×100%（1）求甲比乙多百分之几。方法一：（甲﹣乙）÷乙＝甲比乙多百分之几方法二：甲÷乙﹣100%＝甲比乙多百分之几即（大数÷小数–1）×100%（2）求乙比甲少百分之几。方法一：（甲﹣乙）÷甲＝乙比甲少百分之几方法二：100%﹣乙÷甲＝乙比甲少百分之几即（1﹣小数÷大数）×100%7．利率问题【学问点归纳】存入银行的钱叫本金；取款时银行多支付的钱叫做利息；本金与利息之和叫做本息；单位时间内的利息与本金的比率叫做利率；存款的时间为存期。【方法总结】利息＝本金×利率×存期利率＝利息÷存期÷本金8．税率问题【学问点归纳】1、纳税的含义：纳税是依据国家税法的有关规定，依据肯定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。2、每个公民都有依法纳税的义务。缴纳的税款叫做应纳税额。应纳税额与各种收入（销售额、营业额……）的比率叫做税率。3、求应纳税额，就是求一个数的百分之几是多少的问题。收入×税率＝应纳税额。4、求税率，就是求应纳税额是应纳税收入的百分之几。税率＝应纳税额÷收入×100%。5、求收入，就是已知一个数的百分之几是多少，求这个数是多少。收入＝应纳税额÷税率。6、提示：有时并不是全部收入都需要纳税，例如，目前个人工资或薪金收入的5000元以下的部分是不需要纳税的，而超过5000元部分则需要按规定纳税。7、需要纳税部分的收入叫做应税收入。【方法总结】应纳税额＝应纳税所得额×税率税率＝应纳税额÷应纳税所得额板块三：典例好题例题1：顽皮2022年6月1日把1000元存入银行，定期3年，请你依据利率表计算：到期后顽皮一共从银行拿回多少钱？人民币存款利率表六个月1.82%一年2.1%三年3.5%【考点】利率．【答案】见试题解答内容【分析】依据利息＝本金×利率×存期，求出利息，然后用本金加上利息就是一共拿回的钱，据此列式解答．【解答】解：1000+1000×3.5%×3＝1000+1000×0.035×3＝1000+105＝1105（元）答：期后顽皮一共从银行拿回1105元．【点评】这种类型属于利息问题，有固定的计算方法，利息＝本金×利率×存期，本息＝本金+利息，找清数据与问题，代入公式计算即可．练习1：1．2022年3月张奶奶将4000元工资存入银行，整存整取二年，年利率是2.7%．到期后张奶奶从银行取出的钱可以买到哪个价位的电视机？2．张叔叔和李阿姨各有5万元钱．张叔叔预备存入银行，存期为1年，利率如表．中国人民银行公布的存款利率活期整存整取存期三个月六个月一年二年三年年利率（%）0.351.101.301.502.102.75李阿姨预备买银行1年期理财产品，年收益率4%．到期后张叔叔和李阿姨的收益相差多少？李叔叔想给女儿存5万元钱，预备存6年，经银行业务员介绍有以下两种方式：第一种是先存5年国债，年利率是5.32%，到期本息和一起再存一年定期，年利率是2.25%；其次种是先存3年国债，年利率是4.92%，到期后本息和一起再存三年定期，年利率是3.25%．李叔叔选哪种方式得到的利息最多？例题2：1．ETC是电子不停车收费系统，车辆安装车载ETC不仅能节省在收费站的通行时间，还能享受九五折优待。陈叔叔办理ETC后从石首东收费站到岳阳火车站，高速大路过路费原来需缴纳70元，实际节省了多少元？【答案】3.5元。【分析】九五折即为原价的95%，把原价看作单位“1”，用原来需要缴费的钱数乘（1﹣95%），即可求出实际节省了多少元。【解答】解：九五折＝95%70×（1﹣95%）＝70×5%＝3.5（元）答：实际节省了3.5元。【点评】本题考查百分数的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。练习2：商店卖一种玩具，假如每个售价为200元，那么售价的70%是进价，售价的30%就是赚的钱。现在要搞促销活动，为保证一个玩具赚的钱不少于30元，应当怎样确定折扣？标价为1800元的某品牌西服搞促销活动，在红星商场按“每满200元减80元”的方式销售，在桥鸿商场打六五折销售。爸爸想买一套这种品牌的西服，你建议他去哪家商场买？为什么？妈妈想买一辆汽车，现在有两种付款方式：一种是分期付款，需要加价6%；一种是一次性付清，可打九五折。第一种比其次种要多花13200元，这辆汽车的原价是多少元？例题3：现如今“直播带货”成为促进经济增长的有效途径。张叔叔今年将家里的樱桃通过直播的形式销售，销售量达到5600千克，比去年线下的销售量增加了二成五，张叔叔去年线下的销售量是多少千克？【答案】4480千克。【分析】二成五即为25%，把去年线下的销售量看作单位“1”，今年的销售量对应的分率是（1+25%），依据百分数除法求解即可。【解答】解：5600÷（1+25%）＝5600÷125%＝4480（千克）答：张叔叔去年线下的销售量是4480千克。【点评】本题主要考查了百分数除法应用题，解题的关键是正确找出单位“1”及今年的销售量对应的百分率。练习3：“低碳生活，绿色出行”，广州亚运会后，很多地方增设路边绿化带，自行车道也有增加，不少市民宠爱骑单车出行，享受绿色环保的出行方式。自行车正渐渐成为人们宠爱的交通工具。某商城的自行车销售量逐月增加。据统计，该商城1月份销售自行车75辆，2月份销售自行车90辆。若该商城前4个月自行车销量的月平均增长率相同，则该商城3月份销售多少辆自行车？2．张村有一块试验田种水稻，今年换种新品种后，产量是2600千克，今年产量比去年增产三成，去年的产量是多少千克？3、某出租车公司今年第三季度的营业额是150万元，比其次季度增长了8.5%，方案第四季度营业额增长率比第三季度再增长1.5个百分点，第四季度的营业额方案将达到多少？例题4：1．个人所得税法规定：从3月1日起公民每月工资（薪金）所得未超过2000元的部分不纳税，超过2000元的部分为本月应纳税所得额．此项纳税按如表累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%超过5000元至20000元的部分20%（1）姚老师3月份工资收入3400元，交纳税款后实际收入多少元？（2）薛老师是一位名校长，3月份工资收入5800元，应交纳税款多少元？【考点】税率问题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）依据题意，姚老师3月份工资收入3400元，超过2000元的部分为1400元，这1400元当中的500元按5%纳税，其余的900元按10%纳税，用工资收入3400元分别减去交纳的税款即得实际收入；（2）此题应分类交税，工资收入5800元，超过2000元的部分为3800元，先求不超过500元的部分应交税500×5%＝25（元），超过500元至2000元的部分应交税（2000﹣500）×10%＝130（元），剩余部分应缴纳（3800﹣500﹣1500）×15%，把这三部分加起来，即为所求．【解答】解：（1）3400﹣2000＝1400（元）500×5%＝25（元）（1400﹣500）×10%＝900×10%＝90（元）3400﹣25﹣90＝3285（元）答：交纳税款后实际收入3285元．（2）5800﹣2000＝3800（元）不超过500元的部分应交税：500×5%＝25（元）超过500元至2000元的部分应交税：（2000﹣500）×10%＝1500×10%＝150（元）剩余部分应缴纳：（3800﹣500﹣1500）×15%＝1800×15%＝270（元）25+150+270＝445（元）答：应交纳税款445元．【点评】（1）先求出应交税多少元，再求交纳税款后实际收入多少元；解答这一题应留意分类交税．练习4：微信是一款在我国使用格外广泛的社交软件，使用微信支付简洁又便捷。微信提现收费规章为：每位注册用户享有1000元免费提现额度，超过部分收取0.1%的手续费。爷爷是微信注册的新用户，现在他要将微信钱包中的2600元全部提现，求爷爷的实际提现金额。2．小明的爸爸于2017年12月1日将10000元存入银行，定期两年，年利率是2.25%，自动转存（即两年到期时，假如不取款，银行自动将本息转存为定期两年）．到2021年12月1日，小明的爸爸可以取回本息共多少元？（假设转存时利率不变）3．一件商品依据30%的利润出售，后来又打八折，最终的利润是520元，那么这件商品的成本价是多少元？板块四：数学故事百分数的由来200多年前,瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说,要想把5米长的一根绳子分成三等份是不行能的,由于找不到一个合适的整数来表示它。但假如我们把它必需分成三等份,每份是三分之五米,就是一种新的数,我们把三分之五这样的数叫做分数。之后,人们在分数的基础上又以100做基数,这样便有了百分数。百分数,又叫做百分率或百分比,只可以表示分率,而不能表示具体的量,所以不能带单位。百分数和分数之间有着亲密的联系,分数和比之间也有紧密的联系,所以它们三者之间都有关系,而且可以相互转化。同学们,你们可要好好学哟！板块五：答案解析练习一：1、【答案】可以每台价格是4020元的电视机．【分析】首先依据利息＝本金×利率×存期，求出利息，用本金加上利息与两种电视机的价格进行比较即可．【解答】解：4000×2.7%×2+4000＝4000×0.027×2+4000＝216+4000＝4216（元）4216＜4500答：可以每台价格是4020元的电视机．【点评】这种类型属于利息问题，有固定的计算方法，利息＝本金×利率×存期（留意存期和利率的对应），本息＝本金+利息，找清数据与问题，代入公式计算即可．2、【答案】见试题解答内容【分析】依据利息的计算方法，利息＝本金×利率×存期，据此分别求出张叔叔、李阿姨各得意到的利息，然后依据减法的意义，用减法解答．【解答】解：5万元＝50000元50000×1.50%×1＝50000×0.015×1＝750（元）50000×4%×1＝50000×0.04×1＝2000（元）2000﹣750＝1250（元）答：到期后张叔叔和李阿姨的收益相差1250元．【点评】此题考查的目的是理解利息的意义，把握求利息的计算方法及应用．3、【答案】见试题解答内容【分析】依据利息＝本金×利率×存期，本息＝本金+利息，据此分别求出两种方式各得多少利息，然后进行比较即可．【解答】解：第一种：50000×5.32%×5＝50000×0.0532×5＝2660×5＝13300（元）（50000+13300）×2.25%×1＝63300×0.0225×1＝1424.25（元）13300+1424.25＝14724.25（元）其次种：50000×4.92%×3＝50000×0.0492×3＝2460×3＝7380（元）（50000+7380）×3.25%×3＝57380×0.0325×3＝1864.85×3＝5594.55（元）7380+5594.55＝12974.55（元），14724.25＞12974.55答：李叔叔选第一种方式得到的利息最多．【点评】此题考查的目的是理解利息的意义，把握求利息的计算方法及应用．练习二：1、【答案】八五折。【分析】先把原来的售价看成单位“1”，用原来的售价乘上70%就是这种童装的进价；为保证一件衣服赚的钱不少于30元，那么童装的实际售价必需大于或等于进价加上30元，求出最低的实际售价，再除以原来的售价，得出实际售价是原来售价的百分之几，进而依据打折的含义求解。【解答】解：200×70%＝140（元）（140+30）÷200＝170÷200＝85%85%＝八五折答：为保证一个玩具赚的钱不少于30元，折扣应为八五折。【点评】解答本题要留意理解进价、原价、实际售价、折扣的意义，找清楚它们的关系，再依据分数乘除法的意义进行求解。2、【答案】红星商场【分析】依据两家商场的优待政策，分别计算所需钱数：红星商场：先用1800除以200，计算可以优待几个40元，再计算实际所需钱数；桥鸿商场：六五折＝65%，用原价乘65%，就是实际花的钱数。比较两家所需钱数，即可得出结论。【解答】解：1800÷200×80＝90×80＝720（元）1800﹣720＝1080（元）1800×65%＝1170（元）1080＜1170答：去红星商场买更廉价。【点评】本题主要考查最优化问题，关键是计算两家商店各需要多少钱。3、【答案】120000元。【分析】把这辆汽车原价看作单位“1”，九五折就是以原价的95%出售，据此可得：这辆汽车若一次性付清购车款就会优待原价1﹣95%＝5%，若分期付款，将会比现金购车多花原价的5%+6%＝11%，也就是13200元占汽车原价的分率，依据分数除法意义即可解答。【解答】解：13200÷（1﹣95%+6%）＝13200÷（5%+6%）＝13200÷11%＝120000（元）答：这辆汽车的原价是120000元。【点评】本题关键是找清单位“1”，依据数量关系找到分数和具体数量的对应关系，用除法就可求出单位“1”。练习三：1．【答案】108辆。【分析】依据题意，设该商城前4个月自行车销量的月平均增长率位为x，依据商城1月份销售自行车75辆，2月份销售自行车90辆，可得75×（1+x）＝90，求出该商城前4个月自行车销量的月平均增长率，然后再用2月份销售量乘（1+月平均增长率）即可。【解答】解：设该商城前4个月自行车销量的月平均增长率位为x，依据题意可得：75×（1+x）＝9075×（1+x）÷75＝90÷751+x＝1.21+x﹣1＝1.2﹣1x＝0.290×（1+0.2）＝90×1.2＝108（辆）答：该商城3月份销售108辆自行车。【点评】本题关键是依据题意求出该商城前4个月自行车销量的月平均增长率，然后再进一步解答。2．【答案】2000千克。【分析】把去年的产量看作单位“1”，三成＝30%，也就是今年的产量相当于去年产量的（1+30%），依据一个数除以百分数的意义，用除法解答。【解答】解：2600÷（1+30%）＝2600÷1.3＝2000（千克）答：去年的产量是2000千克。【点评】此题