8.5.1　直线与直线平行

8.5.1

直线与直线平行一二

一、基本事实41.思考如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与DD'平行吗?提示BB'与DD'平行.一二2.填空

一二3.做一做已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A'C'的位置关系是

.

答案:平行解析:如图所示,∵M,N分别为CD,AD的中点,MN

AC,由正方体的性质可得AC

A'C',即MN与A'C'平行.一二二、等角定理1.思考(1)如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?提示∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠A'B'C'=180°.(2)平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补”,在空间中,该结论是否仍然成立?提示仍然成立.(3)空间中两个角相等或互补,这两个角的两边是否对应平行?

提示不一定.一二2.填空如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.3.做一做(1)已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=(

)A.30° B.150°C.30°或150° D.大小无法确定答案:C解析:当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相同时,∠B'A'C'=30°;当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相反时,∠B'A'C'=150°.一二(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行.(

)②如果两个角的对应边互相平行,且方向都相反,则两个角互补.(

)答案:①×②×探究一探究二随堂演练平行线传递性的应用例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:空间四边形B1EDF是菱形.分析取B1C1的中点G,证明四边形GEDD1,FB1GD1都是平行四边形,从而得到四边形B1EDF是平行四边形,再证明B1E=B1F即可.探究一探究二随堂演练证明:取B1C1的中点G,连接GD1,GE,则GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D,∴四边形GEDD1是平行四边形,GD1∥ED,GD1=ED.∵FD1∥B1G,FD1=B1G,∴四边形FB1GD1是平行四边形,∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED,∴四边形B1EDF是平行四边形,反思感悟

判断两条直线平行,除了平面几何中常用的判断方法以外,基本事实4,即平行线的传递性,也是判断两直线平行的重要依据.解题时要注意中位线的作用.探究一探究二随堂演练变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M1,N1分别是A1D1和D1C1的中点,则四边形M1N1CA是

.(填“平行四边形”或“梯形”)

答案:梯形解析:如图,连接A1C1.∵M1,N1分别是A1D1,D1C1的中点,∴M1N1∥A1C1,且M1N1=A1C1.由正方体的性质可知:A1C1∥AC,且A1C1=AC,∴M1N1∥AC,且M1N1=AC,∴四边形M1N1CA是梯形.探究一探究二随堂演练等角定理的应用例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠B1M1C1=∠BMC.分析(1)通过基本事实4证明MM1∥BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1∥BM,同理证得C1M1∥CM,再由等角定理证得∠BMC=∠B1M1C1.也可以通过证明△BCM≌△B1C1M1证出∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二随堂演练证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴MM1

AA1.又AA1

BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM,∴∠B1M1C1=∠BMC.探究一探究二随堂演练反思感悟

证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.探究一探究二随堂演练变式训练2如图,已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC,△ABD,△ACD和△BCD,E,F,G分别为线段AB,AC,AD上的点,EF∥BC,FG∥CD.求证:△EFG∽△BCD.证明:∵在△ABC中,EF∥BC,∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行,且方向相同,∴∠EFG=∠BCD.同理∠FGE=∠CDB.∴△EFG∽△BCD.探究一探究二随堂演练1.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB与∠A1O1B1(

)A.相等 B.互补C.相等或互补 D.以上均不对答案:C解析:由题意,两角对应边平行,如果方向均相同或相反,则两角相等,如果一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,则两角互补.探究一探究二随堂演练2.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是

(

)A.平行B.相交C.异面D.平行或异面答案:A解析:∵E,F分别是SN和SP的中点,∴EF∥PN.同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.探究一探究二随堂演练3.若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,则∠A'O'B'为(

)A.130° B.50°C.130°或50° D.不能确定答案:C解析:根据定理,∠A'O'B'与∠AOB相等或互补,即∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.探究一探究二随堂演练4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC和AB的中点.求证