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文档简介

第12课时定积分与微积分基本定理1．定积分的性质(1)kf(x)dx＝

；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝

；(3)f(x)dx＝

．kf(x)dx(k为常数)f1(x)dx±f2(x)dxf(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)2．微积分基本定理一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)是区间[a，b]上的连续的函数，f(x)dx＝

．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作

，即f(x)dx＝

＝

．F(b)－F(a)F(b)－F(a)[思考探究]一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数．1．(2011·福建卷)(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．e D．e＋1答案：C2．已知k＞0，(2x－3x2)dx＝0，则k＝()A．0 B．1C．0或1 D．以上均不对答案：

B答案：D答案：－2

计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．答案：(1)C(2)C利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．2.求由曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键，变速运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时，需利用积分的性质将其分成几段进行积分，然后求出积分的和，即得到答案．由于函数是分段函数，因此在运算过程中要细心，以防出错．3.列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？1．求定积分的一些技巧(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分．从近两年的高考试题来看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与应用是高考的热点，题型均为小题，难度中低档，主要考查定积分的概念及定积分基本定理的简单应用．混淆定积分的值与曲边梯形面积的关系而致误·名师点拨增分答案：A错因分析在解答本题时有两点容易造成失误：一是不能将封闭图形的面积正确翻译成定积分表达式，二是对于列出的表达式不能正确计算出结果，造成失误的原因是对定积分的几何意义不理解．备考建议利用定积分求封闭图形的面积时，当平面图形的曲边在x轴上方时，容易转化为定积分求其面积；当平面图形的一部

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