直线的倾斜角与斜率

2.2.1直线的倾斜角与斜率第2课时新授课1.理解直线的方向向量和法向量的概念，会利用方向向量判断三点共线.

思考1：(1)一条直线的倾斜程度可以用什么描述？知识点一：直线的方向向量倾斜角与斜率

一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l.例如，a=(1，0)是所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量，

b=(0，1)是所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量，

c=(1，1)是所有倾斜角为45°的直线的一个方向向量，如图所示.概念讲解

提示：(1)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线：是直线l的一个方向向量.(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则问题1：直线l的方向向量是否同向？不一定同向，当λ>0时，同向；当λ<0时，反向，所以直线l的方向向量可以同向共线，也可以反向共线.

则根据三角函数的定义可知点P的坐标为(cosθ，sinθ).

(2)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，斜率为k，那么直线l的一个方向向量该如何表示？

思考3：(1)如图所示，如果a=(-1，1)为直线l的一个方向向量，那么直线l的斜率k和倾斜角θ该如何表示？若直线l的斜率为k，则(1，k)也是直线l的一个方向向量，因此a=(-1，1)与(1，k)共线.可得k=-1.即tanθ=-1，因此θ=135°.(-1)×k=1×1从而(2)一般地，如果已知a=(u，v)为直线l的一个方向向量，那么直线l的斜率k和倾斜角θ该如何表示？一般地，如果已知a=(u，v)为直线l的一个方向向量，则：(1)当u=0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a=(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u，从而

解：由已知可得是直线l的一个方向向量.例2已知A(-3，-1)，B(1，3)，C(5，8)，判断A，B，C是否共线.

又因为4×9≠4×8，所以AB与AC不共线，从而A，B，C不共线.解：(方法一)因为又因为kAB≠kAC，所以AB与AC不共线，从而A，B，C不共线.归纳总结如果A，B，C是平面直角坐标系中的三个不同的点，则这三点共线的充要条件是与共线.三点共线的充要条件：ABC练一练求证：A(1，5)，B(0，2)，C(2，8)三点共线.(方法二)∵∴即A，B，C三点共线.证明：(方法一)∵∴kAB=kAC，即A，B，C三点共线.一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.知识点二：直线的法向量1-1-11yxvl2l1

问题2：如图所示，非零向量v在直线l2上，直线l1和l2有什么关系？非零向量v和l2有什么关系？l1⊥l2v⊥l2

当x0与y0不全为0时，因为向量(x0，y0)与(y0，-x0)是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量.yxvla

问题3：如图所示，若向量a，v分别是直线l的方向向量和法向量，向量a，v之间有怎样的位置关系？a⊥v已知直线过点A(-1,-2),B(3,2),求直线的一个方向向量a,法向量v,斜率k与倾斜角θ.练一