专题7.13多边形的内角与外角大题提升训练（重难点培优30题）-2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题

【拔尖特训】20222023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.13多边形的内角与外角大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第110题）、能力提升题（第1120题）、培优压轴题（第2130题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2021春·江苏·七年级专题练习）已知一个n边形，它的内角和等于1800°，求这个n【答案】十二边形．【分析】这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理即可列方程求解．【详解】解：这个多边形是n边形，根据题意得：n−2×解得：n=12．故这个多边形是十二边形．【点睛】解题的关键是读懂题意，根据多边形的内角和：180°（n2），正确列方程求解．2．（2020春·江苏连云港·七年级统考期中）一个正多边形的一个外角的度数等于它的一个内角度数的13【答案】8【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，则内角为3x°，即可得方程：x+3x＝180，解此方程得到外角度数，再根据外角和求边数即可．【详解】解：设正多边形的一个外角等于x°，∵外角等于它的一个内角的13∴这个正多边形的一个内角为：3x°，∴x+3x＝180，解得：x＝45，∴这个多边形的边数是：360°÷45°＝8．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．3．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如果一个多边形的内角和与外角和之比是13：2，求这个多边形的边数．【答案】15.【分析】设这个多边形的边数为n，依据多边形的内角和与外角和之比是13:2，即可得到n的值．【详解】解：设这个多边形的边数为n，依题意得：(n−2)·180°=13解得n=15，∴这个多边形的边数为15．【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于360度．4．（2018秋·江苏南通·八年级校考期中）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．【答案】7【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得(nn−2=6−1n=7∴这个多边形的边数是7．【点评】本题考查了多边形的内角和定理与外角和定理，任意多边形的外角和都是360度，与边数无关．5．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）在一个各内角都相等的多边形中，它的每一个内角都是外角的3倍，(1)求这个多边形的边数；(2)若将这个多边形剪去一个角，求剩下多边形的内角和．【答案】(1)8(2)900°或1080°或1260°【分析】（1）设多边形的一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x，根据内角与其相邻的外角的和是180°列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°x（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．（1）解：设每一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x，∴180°−x=3x，∴x=45°，即多边形的每个外角为45°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数为：360°45°∴这个多边形的边数为8；（2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，①若剪去一角后边数减少1条，即变成7边形，∴内角和为：7−2×180°=900°②若剪去一角后边数不变，即变成8边形，∴内角和为：8−2×180°=1080°③若剪去一角后边数增加1，即变成9边形，∴内角和为：9−2×180°=1260°∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为900°或1080°或1260°．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．6．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，贾玲从点A出发，前进5米后向右转20∘，再前进5米后又向右转20∘，这样一直下去，直到她第一次回到出发点(1)贾玲一共走了多少米？(2)求这个多边形的内角和．【答案】(1)90米(2)2880°【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解；（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，∴360÷20=18，18×5=90（米）．答：贾玲一共走了90米．（2）根据题意，得(18−2)×180°=2880°，答：这个多边形的内角和是2880°．【点睛】本题考查了正多边形的外角以及多边形的内角和，理解“第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的多边形是正多边形”是解题关键．7．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上．(1)请求出∠ABO度数(2)请求出∠BOE的度数【答案】(1)∠ABO=120°(2)∠BOE=48°【分析】（1）利用正多边形的性质即可求出∠ABO；（2）利用正多边形的性质求出∠DEO，再根据三角形的内角和可得∠BOE．【详解】（1）解：由题意得∠ABO=16×(6（2）解：同理可得：∠DEO=108°，∴∠OEB=180°108°=72°，∠OBE=180°120°=60°，∴∠BOE=180°72°60°=48°．【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于1125°小红说：不对，你少加了一个角问题：（1）他们在求几边形的内角和?（2）少加的那个内角是多少度?【答案】（1）他们在求九边形的内角和；（2）少加的那个内角为135度．【分析】先设出少加的内角的度数，再把所求角的度数分成180°与一个正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，即可求出少加的内角的度数，再由多边形的内角和定理求解即可．【详解】解：（1）设少加的度数为x°，此多边形为n边形．∵1125+x=（n2）×180，∴x=180（n2）1125，∵0＜x＜180，∴0＜180（n2）1125＜180，∴8.25＜n＜9.25，∴n=9；∴他们在求九边形的内角和；（2）∴x=180（n2）1125=135°．∴少加的那个内角的度数是135°．【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．9．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，已知FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=150°，∠B=∠C，求∠EDF的大小．【答案】∠EDF的大小为60°．【分析】根据三角形内角和定理以及四边形内角和定理即可求出答案．【详解】解：∵∠AFD=∠C+∠FDC，∠FDC=90°，∠AFD=150°，∴∠C=60°，∵∠B=∠C，∴∠A=60°，∵∠A+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°，∴∠EDF=60°．故∠EDF的大小为60°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形内角和定理，解题的关键是熟练三角形内角和定理，本题属于基础题型．10．（2019春·江苏无锡·七年级校联考期中）已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝；（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=140°;（2）∠1+∠2=∠α+90°，理由见解析【分析】（1）根据平角的定义求得∠1+∠PDC=180°,∠2+∠PEC=180°，进而根据四边形的内角和等于360°，以及∠α＝50°，即可求得∠1+∠2的值；（2）方法同（1）．【详解】（1）∵∠1+∠PDC=180°,∠2+∠PEC=180°，∴∠1+∠PDC+∠2+∠PEC=360°，在四边形CEPD中，∠C+∠PDC+∠α+∠PEC=360°，∴∠1+∠2=∠C+∠α，∵∠α＝50°，∠C=90°，∴∠1+∠2=140°，故答案为：140°（2）∠1+∠2=∠α+90°，理由如下，∵∵∠1+∠PDC=180°,∠2+∠PEC=180°，∴∠1+∠PDC+∠2+∠PEC=360°，在四边形CEPD中，∠C+∠PDC+∠α+∠PEC=360°，∴∠1+∠2=∠C+∠α，∵∠C=90°，∴∠1+∠2=∠α+90°【点睛】本题考查了平角的定义，四边形内角和为360°，掌握四边形的内角和是解题的关键．11．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，在六边形ABCDEF中，此六边形的每个内角都相等，连接对角线AD，AD平分∠BAF．（1）求∠ADC的度数；（2）AB与DE平行吗？请说明理由．【答案】（1）60°；（2）AB//【分析】（1）根据题意先求得∠BAD，∠B,∠C，再根据四边形内角和即可求得∠ADC；（2）由（1）的结论求得内错角∠BAD=∠ADE即可【详解】.（1）∵六边形ABCDEF的内角和为(6−2)×180°=720°，且每个内角相等∴∠BAF=∠B=∠C=∠CDE=120°∵AD平分∠BAF∴∠BAD=∵四边形ABCD的内角和为360°∴∠ADC=60°（2）∵∠CDE=120°，∠ADC=60°∴∠ADE=60°∴∠BAD=∠ADE∴AB【点睛】本题考查了多边形内角和，角平分线的定义，平行线的判定定理，熟悉以上知识点是解题的关键．12．（2020春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分（1）若∠ABC=60°，则∠ADC=°，∠AFD=°；（2）求证：BE//DF【答案】（1）120∘，30【分析】（1）根据四边形内角和为360°可计算出∠ADC=120°，再根据角平分线定义得到∠FDA=12（2）由四边形的内角和为360度求出∠ADC+∠ABC度数，由DF、BE分别为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠ABE+∠FDC为90度，再由直角三角形ADF两锐角互余及∠ADF=∠FDC，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证．【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠ADC=360°∠A∠C∠ABC=120°，∵DF平分∠ADC交AB于F，∴∠FDA=12∴∠AFD=90°∠ADF=30°；故答案为120，30；（2）BE//DF，理由为：证明：四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F，∴∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE，∴∠ABE+∠FDC=90°，∵∠AFD+∠ADF=90°，∠ADF=∠FDC，∴∠AFD=∠ABE，∴BE//DF．【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线定义及平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，熟记平行线的判定和性质定理是解题的关键．13．（2023春·七年级单元测试）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．【答案】(1)∠1+∠2＝90°(2)BE∥【分析】（1）根据四边形的内角和，可以得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根据角平分线的性质即可得出．（2）由互余可得∠1＝∠DFC，再根据平行线的判定即可得出．【详解】（1）∠1+∠2＝90°∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF．∵∠A＝∠C＝90°．∴∠ABC+∠ADC＝180°．∴2∠1+∠2∴∠1+∠2＝90°．（2）BE∥在△FCD中，∵∠C∴∠DFC+∠2＝90°．∵∠1+∠2＝90°．∴∠1＝∠DFC．∴BE∥【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键在于注意平行线的性质和判定定理的综合运用．14．（2020春·江苏无锡·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB．(1)∠1与∠2有怎样的数量关系?为什么?(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．【答案】(1)∠1与∠2互余(2)4°【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2=90°；（2）根据∠A与∠C互补可得∠C的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．【详解】（1）∠1与∠2互余．∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=360°180°=180°，∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠1＝12∠ADC，∠ABE＝12∠∵EG∥AB，∴∠2=∠ABE，∴∠1+∠2=12∠ADC+12∠即∠1与∠2互余．（2）∵∠A=100°，∠1=42°，∴∠C=80°，∠2=48°，∴∠ABE=∠CBE=48°，∴∠BEC=180°48°80°=52°，∴∠CEG=52°48°=4°．【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义；弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．15．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？【答案】(1)12(2)140°；十三边形【分析】（1）设这个多边形的边数为n，多算的那个内角的度数为x°，则0<x<180，根据题意可得x=1840°−n−2（2）设这个多边形的边数为m，漏算的那个角的度数为y°，则0<x<180，根据题意得y=n−2（1）解：设这个多边形的边数为n，多算的那个内角的度数为x°，则0<x<180，由题意得n−2⋅180°+x=1840°∴x=1840°−n−2∴0<1840−180n−2∴112∵n为正整数，∴n=12，∴这个多项式的边数为12；（2）解：设这个多边形的边数为m，漏算的那个角的度数为y°，则0<x<180，由题意得m−2⋅180°−y=1840°∴y=n−2∴0<180n−2∴122∵m为正整数，∴m=13，∴这个多项式的边数为13；∴漏算的那个角的度数为：180°×13−2【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，解一元一次不等式组，熟知多边形内角和公式是解题的关键．16．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置，(1)探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．(2)如果点A落在四边形BCDE外点A''的位置，∠A与∠1、∠2【答案】(1)2∠A=∠1+∠2，理由见解析(2)∠A=12（∠2【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°∠A，代入∠1+∠2=180°+180°2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．（1）2∠A=∠1+∠2，理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°∠A，∠1+∠2=180°+180°2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°2（180°∠A）=2∠A．（2）∵沿DE折叠A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE，又∵∠1=∠A'ED∠BED=∠AED（180°∠AED）=2∠AED180°，∠2=180°2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°∠A，∴12∠1+90°+90°12∠2=180°∠即∠A=12（∠2【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．17．（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？(1)已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？(2)已知：如图2，△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？(3)已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．【答案】(1)∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；(2)∠P＝90°+12∠A(3)∠P＝12（∠A+∠B【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠（3）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．（1）解：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A，理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC，∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；（2）解：∠P＝90°+12∠A∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠∵∠P+∠PCD+∠PDC=180°，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12＝180°﹣12（∠ADC+∠ACD＝180°﹣12（180°﹣∠A＝90°+12∠A（3）解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12＝180°﹣12（∠ADC+∠BCD＝180°﹣12（360°﹣∠A﹣∠B＝12（∠A+∠B【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义及外角性质是解题的关键．18．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC、∠ADC的平分线分别交直线CD、AB于点E、F．(1)如图1，若∠C=90°，求证：EB∥(2)如图2，若线段DF、EB交于点P，∠BPF=20°，求∠C的度数．【答案】(1)见解析(2)∠C=130°【分析】（1）根据四边形内角和、角平分线的性质即可推导出∠CEB=∠CDF，即可证得结论；（2）根据四边形CDPB的内角和、角平分线的性质即可推导出∠ADC+∠ABC=2∠CDP+2∠CBP=400°−2∠C，再由四边形ABCD的内角和列出关于∠C的方程，即可求得∠C的度数．（1）在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+又∵∠A=90°，∠C=90°，∴∠ABC+∵EB平分∠ABC、DF平分∠ADC，∴∠CBE=1∴∠CBE+∠CDF=1在Rt△ECB中，∠CEB+∠CBE=90°，∴∠CEB=∠CDF，∴EB∥（2）在四边形CDPB中，∠CDP+∠CBP+∠C+又∵∠BPF=20°，∴∠DPB=160°，∴∠CDP+∠CBP+∠C=200°，∵EB平分∠ABC、DF平分∠ADC，∴∠ADC=2∠CDP,∠ABC=2∠CBP，∴∠ADC+∠ABC=2∠CDP+2∠CBP=400°−2∠C，∵在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴90°+∠C+400°−2∠C=360°，∴∠C=130°．【点睛】此题考查了四边形内角和、角平分线的性质、平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．19．（2022·江苏·七年级假期作业）阅读并解决下列问题：（1）如图①，ΔABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC=（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC=72°，求图①

图②【答案】（1）120°；（2）144°【分析】（1）先根据三角形内角和及角平分线求出∠CBD+∠BCD=60°，然后再根据三角形内角和求出∠BDC的度数即可．（2）首先根据AE∥BC得出∠A+∠B=180°，然后根据五边形内角和求出∠AED+∠BCD=288°，由角平分线的性质进而得出∠DEF+∠DCF=144°，再根据四边形内角和即可求出【详解】（1）∵BD，CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴60°+2∠CBD+2∠BCD=180°，∴∠CBD+∠BCD=60°，∵∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，∴∠BDC=120°．（2）∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，设∠AEF=∠DEF=α，∠BCF=∠DCF=β，∵AE∥BC∴∠A+∠B=180°，∵五边形的内角和为540°，∴∠AED+∠D+∠BCD=540°−180°=360°，即2α+72°+2β=360°，

∴α+β=144°，∵∠EDC=72°，

∴∠EFC=360°−∠D−α+β【点睛】本题考查了多边形的内角和、平行线的性质及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和的求法及灵活运用角平分线的性质．20．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如图1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度数；(2)如图1，试说明：∠MBC+∠NDC的度数与α，β的数量关系；(3)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝30°，请写出α、β所满足的等量关系式；(4)如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【答案】(1)120°(2)∠MBC+∠NDC=α+β(3)β−α=60°(或α−β=−60°等均正确)(4)平行，理由见解析【分析】(1)利用四边形的内角和平角的定义以及α+β=120°推导即可求得；(2)利用四边形的内角和平角的定义以及三角形的内角和转化即可求得；(3)连接BD，利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和计算即可；(4)延长BC交DF于点H，利用角平分线的定义和三角形外角的性质及α＝β，根据平行线的判定即可证得．（1）解：在四边形ABCD中，∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，∵α+β＝120°，∴∠ABC+∠ADC=360°−120°=240°，∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠NDC=180°−∠ABC+180°−∠ADC=360°−(∠ABC+∠ADC)=360°−240°=120°；（2）解：在四边形ABCD中，∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠NDC=180°−∠ABC+180°−∠ADC=360°−(∠ABC+∠ADC)=360°−[360°−(α+β)]=α+β，∴∠MBC+∠NDC=α+β；（3）解：β−α=60°(或α−β=−60°等均正确)；理由：如图1，连接BD，由(2)有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°−∠BCD=180°−β，在△BDG中，∠BGD=30°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°，∴12(α+β)+180°−β∴β−α=60°(或α−β=−60°等均正确)；（4）解：平行；理由如下：如图2：延长BC交DF于点H，由(2)知，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(∵∠BCD=∠CDH+∠DHC，∴∠CDH=∠BCD∠DHC=β−∠DHC，∴∠CBE+β−∠DHC=12(α+β∵α=β，∴∠CBE+β−∠DHC=12(α+β)=β∴∠CBE=∠DHC，∴BE∥DF．【点睛】此题主要考查了四边形的内角和，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．21．（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．(1)猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；(2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；(3)如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系．【答案】(1)∠1+∠2=∠A+∠C，理由见解析(2)133°(3)2∠O=∠C−∠A，理由见解析【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）先根据四边形内角和定理求出∠ABC+∠ADC=150°，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠ODC=75°，即可求∠BOD的度数；（3）结合（1）的结论，根据BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．进而可以写出∠A、∠C与∠O的的数量关系．（1）解：猜想：∠1+∠2=∠A+∠C，理由如下：∵∠1+∠ABC=∠2+∠ADC=180°，∴∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴∠1+∠2=∠A+∠C；（2）解：∵∠A=58°，∠C=152°，∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=150°，又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠ODC=1∴∠BOD=360°−∠OBC+∠ODC+∠C（3）解：∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．∴∠FDC=2∠FDO=2∠ODC，∠EBC=2∠EBO=2∠CBO，由（1）可知：∠FDO+∠EBO=∠A+∠O，2∠FDO+2∠EBO=∠A+∠C，∴2∠A+2∠O=∠A+∠C，∴∠C−∠A=2∠O．【点睛】本题考查了多边形内角和定理，邻补角互补，角平分线的定义，解决本题的关键是证明（1）中结论并应用（1）中结论求解．22．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）在四边形ABCD中，∠DAB与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，∠ABC=110°．(1)如图①，求∠CDF的度数；(2)如图②，若DF∥BE，求∠C的度数；(3)如图③，若AG∥DC，交DF于点G，且∠C=4∠GAF，求∠DEB的度数．【答案】(1)∠CDF的度数为35°(2)∠C的度数为90°(3)∠DEB的度数为111°【分析】（1）根据多边形内角和和角平分线的性质即可求得解答；（2）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可解答；（3）根据平行线的性质和根据三角形内角和定理列方程即可解答．（1）如图①，由于四边形ABCD，∠DAB与∠C互补，根据内角和定理可得，∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=110°，∴∠ADC=180°110°=70°，∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=55°，∠ADF=∠CDF=12∠（2）如图②，∵DF∥BE，∴∠CEB=∠CDF=35°，又∵∠EBC=55°，由三角形内角和定理可得，∠C=180°55°35°=90°．（3）如图③，由于四边形ABCD，∠DAB与∠C互补，根据内角和定理可得，∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=110°，∴∠ADC=180°110°=70°，∵AG∥DC，∴∠DAG=180°∠ADC=180°70°=110°，∵∠C=4∠GAF，∠DAB+∠C=180°，设∠GAF=x，则110°+x+4x=180°，解得x=14°，∴∠C=4∠GAF=4x=56°，∵EB平分∠ABC，且∠ABC=110°，∴∠EBC=55°，∴∠DEB=∠C+∠EBC=111°．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质和角平分线的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．23．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC=°；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q与∠BPC之间满足的数量关系；(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，若∠Q=32∠E，求∠A【答案】(1)125(2)∠Q+∠BPC=180°(3)∠A＝72°【分析】（1）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（2）根据角平分线的定义和平角的定义可得出∠PBQ=∠PCQ=90°，再由四边形的内角和定理可得结论；（3）根据题意求出∠Q=54°，从而得∠QBC+∠QCB=126°，∠MBC+∠NCB=252°，∠ABC+∠ACB=108°，最后由三角形内角和定理可得结论．（1）如图，∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，∴∠2+∠4=25°+30°=55°，∴△BCP中，∠P=180°55°=125°，故答案为：125；（2）∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=1∵BQ平分∠MBC∴∠CBQ=1又∠ABC+∠MBC=180°∴∠PBC+∠QBC=1同理可得，∠PCQ=90°∵∠P+∠PBQ+∠Q+∠QCP=360°∴∠P+∠Q=360°−(∠PBQ+∠QCP)=360°−180°=180°（3）∵∠EBQ＝90°．且∠Q＝32∠E∴32∠E+∠E=∴∠E=36°，,∴∠Q=54°∴∠QBC+∠QCB=126°，∴∠MBC+∠NCB=252°∴∠ABC+∠ACB=108°，∴∠A＝180°（∠ABC+∠ACB）=72°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键．24．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上(不与A、D、G重合)，连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，(2)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）2∠AHB−∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，证明见解析；（3）不成立，存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB−∠CBG=270°，理由见解析【分析】1根据MN//PQ，内错角相等∠MAG=∠BDG，根据BG⊥AD，可得∠AGB=90°，根据三角形外角性质得出∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，可得∠MAG+∠PBG=90°；(2)过H作HK∥MN，由MN//PQ，∠MAC=∠BDC，由三角形外角性质可得∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，根据AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，可得∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，得出∠ACB=2∠MAH+∠DBH，由HK∥MN，MN//PQ，可得HK∥MN∥PQ，可得∠AHB=∠AHK+∠KHB=∠MAH+∠DBH，得出∠ACB=2∠MAH+∠DBH=2∠AHB，根据点C的位置分两种情况①如图，当点C在AG上时，利用三角形外角性质∠ACB=∠CBG+90°，②如图，当点C在DG上时，根据Rt△BCG3过H作HK∥MN，根据MN//PQ，可得HK∥MN∥PQ，利用平行线性质可得∠MAH=∠AHK，∠PBH=∠KHB，可推得∠AHB=∠AHK+∠KHB=∠MAH+∠DBH，根据角平分线得出∠MAH=∠CAH，∠PBH=∠CBH，根据四边形内角和∠ACB+∠HAC+∠AHB+∠HBC=360°，得出∠ACB=360°2∠AHB，根据点C的位置分两种情况①如图，当点C在AG上时，根据外角性质∠ACB=90°+∠CBG，②如图，当C在DG上时，根据直角三角形两锐角互余可得，∠ACB=90°−∠CBG即可．【详解】解：1如图1，∵MN//PQ，∴∠MAG=∠BDG，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°∵∠AGB是△BDG的外角，∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，∴∠MAG+∠PBG=90°；22∠AHB−∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°过H作HK∥MN，∵MN//PQ，∴∠MAC=∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，∴∠ACB=2∠MAH+∠DBH∵HK∥MN，MN//PQ，∴HK∥MN∥PQ，∴∠MAH=∠AHK，∠PBH=∠KHB，∴∠AHB=∠AHK+∠KHB=∠MAH+∠DBH，∴∠ACB=2∠MAH+∠DBH①如图，当点C在AG上时，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=∠CBG+90°，∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB−∠CBG=90°；②如图，当点C在DG上时，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°−∠CBG，∴2∠AHB=90°−∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；32中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB−∠CBG=270°过H作HK∥MN，∵HK∥MN，MN//PQ，∴HK∥MN∥PQ，∴∠MAH=∠AHK，∠PBH=∠KHB，∴∠AHB=∠AHK+∠KHB=∠MAH+∠DBH，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAH=∠CAH，∠PBH=∠CBH，∵∠ACB+∠HAC+∠AHB+∠HBC=360°，∴∠ACB+2∠AHB=360°，∴∠ACB=360°2∠AHB，①如图，当点C在AG上时，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=90°+∠CBG，∴360°−2∠AHB=90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=270°；②如图，当C在DG上时，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°−∠CBG，∴360°−2∠AHB=90°−∠CBG，∴2∠AHB−∠CBG=270°．【点睛】本题考查平行线性质，三角形外角性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，四边形内角和，本题有一定难度，特别分类讨论思想的运用，使问题复杂化，掌握相关知识是解题关键．25．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE//AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为．【答案】（1）∠C＝70°；（2）60°；（3）①110°；②110°．【分析】（1）先根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；（2）先根据平行线的性质得到∠ABE的度数，再根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，再根据四边形内角和等于360°求出∠C的度数；（3）①先根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再根据角平分线的定义得到∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和等于180°求出∠BEC的度数；②先根据三角形内角和等于180°求出∠FBC+∠BCF的度数，再根据角平分线的定义得到∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和等于180°求出∠BEC的度数.【详解】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°．（2）∵BE//AD，∴∠ABE+∠A＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．②∵∠F＝40°，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解决的关键是综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义．26．（2022·江苏·七年级假期作业）（1）如图1，四边形ABCD沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABCD内的点C′、D′处，探索∠AMD′、∠BNC（2）如图2，将四边形ABCD沿着直线MN翻折，使得点D落在四边形ABCD外部的D′处，点C落在四边形ABCD内部的C′处，直接写出∠AMD′、【答案】（1）∠AMD′+∠BNC′=360°−2【分析】（1）根据四边形的内角和可知∠DMN+∠CNM=∠A+∠B，再根据翻折可找到∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系．（2）同理可得∠DMN+∠CNM=∠A+∠B，再根据翻折可找到∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系．【详解】解：（1）∠AMD′+∠BNC′=360°2（∠A+∠B），理由如下：根据四边形的内角和为360°可知，∠D+∠C=360°（∠A+∠B），∠DMN+∠CNM=360°（∠C+∠D）=∠A+∠B，根据折叠的性质得，∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，∴∠DMD′+∠CNC′=2（∠A+∠B），∵∠DMD′+∠AMD′=180°，∠CNC′+∠BNC′=180°，∴∠AMD′+∠BNC′=360°2（∠A+∠B）．（2）∠BNC′∠AMD′=360°2（∠A+∠B），理由如下：由（1）知，∠DMN+∠CNM=∠A+∠B，根据折叠的性质得，∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，∴∠D′MN+∠C′NM=∠A+∠B，由四边形的内角和为360°得，∠D′MN∠AMD′+∠BNC′+∠C′NM=360°（∠A+∠B）∴∠BNC′∠AMD′=360°2（∠A+∠B）．【点睛】此题考查了四边形的内角和为360°，熟记四边形的内角和是360°及根据翻折找到等量关系是解题的关键．27．（2022春·江苏·七年级专题练习）【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A＋∠C＝260°，则∠BEF＋∠DFE＝度．【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系．【结论】综合以上，请你用文字描述上述关系：．【应用】如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A＋∠C＝210°，求∠M的度数．【答案】[感知]260；[探究]∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC；[结论]四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；[应用]75°【分析】【感知】如图①，根据四边形的内角和及邻补角的定义求解即可；【探究】如图②，根据四边形的内角和及邻补角的定义求解即可；【结论】综合以上可知四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；【应用】如图③，由探究得出∠BEF+∠DFE＝210°，再根据角平分线的定义得出∠MFE+∠MEF＝12（∠DFE+∠BEF）＝105【详解】【感知】如图①，∵∠A+∠C+∠CFE+∠FEA＝360°，∠A+∠C＝260°，∴∠CFE+∠FEA＝360°﹣260°＝200°，∵∠CFE+∠DFE＝180°，∠FEA+∠BEF＝180°，∴∠CFE+∠DFE+∠FEA+∠BEF＝360°，∴∠BEF+∠DFE＝360°﹣（∠CFE+∠FEA）＝260°，故答案为：260；【探究】如图②，∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC，理由如下：∵∠A+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，∴∠A+∠C＝360°﹣（∠AEC+∠AFC），∵∠AEC+∠BEC＝180°，∠AFC+∠DFC＝180°，∴∠BEC+∠DFC＝360°﹣（∠AEC+∠AFC），∴∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC；【结论】故答案为：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；【应用】如图③，∵∠A+∠C＝210°，∴∠BEF+∠DFE＝210°，∵FM、EM分别平分∠DFE、∠BEF，∴∠MFE+∠MEF＝12（∠DFE+∠BEF）＝105∴∠M＝180°﹣（∠MFE+∠MEF）＝180°﹣105°＝75°．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记三角形的内角和、邻补角的定义及角平分线的定义是解题关键．28．（2020春·江苏盐城·七年级统考期中）如图1，已知AB//CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝°；（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝°．【答案】（1）90；（2）70°；（3）54．【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC＝∠180°，再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）连接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度数，再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数，由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数，根据∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出结论．（3）连接BD，先求出∠EBD+∠FDB的度数，再求出∠PBE+∠PDF的度数，再利用三角形内角和定理即可解决．【详解】解：（1）∵AB//CD，∴∠ABD+∠BDC＝∠180°，∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC，∴∠PBD+∠PDB＝90°，∴∠BPD＝180°﹣90°＝90°．（2）连接BD，∵∠BED＝140°，∴∠EBD+∠EDB＝40°，∵AB//CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，∴∠PBE＝12∠ABE，∠PDE＝1∴∠PBE+∠PDE＝12∴∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB＝70°．（3）连接BD，∵∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，∴∠EBD+∠FDB＝360°﹣(152°+136°)＝72°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠FDC，∴∠PBE＝12∠ABE，∠PDF＝1∴∠PBE+∠PDF＝12∴∠BPD＝180°﹣(∠EBD+∠FDB)﹣(∠PBE+∠PDF)＝54°．故答案为：90；54°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形、四边形内角和定理，解题的关键是这些知识的灵活应用，学会添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形，属于中考常考题型．29．（2021春·江苏南京·七年级南京第五初中校考阶段练习）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．（1）猜想并说明∠1＋∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系．【答案】（1）∠1+∠2=∠A+∠C；（2）130°；（3）∠C−∠A=2∠O【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）结合（1）的结论，根据∠ABC与∠ADC的平分线．∠A=50°，∠C=150°，即可求∠BOD的度数；（3）结合（1）的结论，根据BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的