专题21.7二次根式章末八大题型总结（拔尖篇）（华东师大版）（原卷版）

专题21.7二次根式章末八大题型总结（拔尖篇）【华东师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1二次根式双重非负性的运用】 1【题型2复合二次根式的化简】 1【题型3二次根式的运算与求值技巧】 3【题型4二次根式中的新定义问题】 3【题型5利用分母有理化求值】 4【题型6二次根式中的阅读理解类问题】 6【题型7二次根式的规律探究】 8【题型8二次根式的实际应用】 9【题型1二次根式双重非负性的运用】【例1】（2023春·天津和平·九年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=2a+b−c+b−6，则c＝．【变式11】（2023春·全国·九年级期中）已知实数x，y，a，b满足3x−y−7+x−2y−4=a+b−2022×【变式12】（2023春·湖北恩施·九年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：x3(y−x)3+xA．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算【变式13】（2023秋·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx−m+my−m=【题型2复合二次根式的化简】【例2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级统考期中）像4−23，484−23＝3−23+1＝(3)再如：5+26=3+26+2=请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：12+235(2)化简：17−415(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【变式21】（2023秋·上海·九年级期中）当x=4时，x−23x2A．1 B．3 C．2 D．3【变式22】（2023春·广东韶关·九年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22设a+2b=m+2n2（其中a、b、∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝（2）若a+43=m+3n2，且a、（3）化简：7−21+【变式23】（2023春·江苏·九年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22设a+b2=m+n22（其中a、b则有a+b2∴a=m2+2n2请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b(2)若7−43=e−f32，且e(3)化简：7+21−【题型3二次根式的运算与求值技巧】【例3】（2023·九年级单元测试）若a=122【变式31】（2023秋·四川成都·九年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣x2−2016）（y﹣（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．【变式32】（2023春·四川绵阳·九年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（2【变式33】（2023春·浙江·九年级专题练习）当x=1+19942时，多项式4A．1 B．−1 C．22002 D．【题型4二次根式中的新定义问题】【例4】（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）对于任意非负数m、n，若定义新运算：m∯n=m−n(m≥n)m+n(m<n)，在下列说法中：①27∯12=3；②11∯2+A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式41】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考期中）定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为fz即：当n为非负整数时，如果n−12≤x<n+如：fz(0)=fz(0.48)=0，试解决下列问题：①fz(3)=③1+1f【变式42】（2023春·九年级单元测试）将n个0或2排列在一起组成一个数组，记为A=t1,t2,⋯,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，称A是一个n元完美数组（n≥2定义以下两个新运算：新运算1：对于x∗y=x+y新运算2：对于任意两个n元完美数组M=x1,M⊕N=1M=2,2,2(1)①在3,2，2,0②设A=2,0,2，B=(2)已知完美数组M=2,2,2(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊕D=0，则m的最大可能值是______．【变式43】（2023春·广东广州·九年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将a+b与a+例如：已知18−x−11−x=1因为18−x−所以18−x+(1)已知：20−x+①20−x−②结合已知条件和第①问的结果，解方程：20−x+(2)代数式10−x+x−2中(3)计算：13【题型5利用分母有理化求值】【例5】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如2323②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．(1)计算：13(2)已知m是正整数，a=m+1−mm+1+m，(3)已知15+x2−【变式51】（2023秋·山西临汾·九年级校联考期末）阅读下列解题过程：11请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出1n+1（2）利用上面的解法，请化简：1（3）12−11和【变式52】（2023春·黑龙江牡丹江·九年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：2−1>3−2>2−35−2>…根据以上规律可知：2021−2020______（2）观察下列式子的化简过程：121314+3…根据观察，请写出式子1n+n−1（n（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：|12+1−1【变式53】（2023春·北京西城·九年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和7−6=1因为7+6>再例如：求y=x+2解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2当x=2时，分母x+2+解决下述问题：（1）比较32−4和（2）求y=1−x【题型6二次根式中的阅读理解类问题】【例6】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）阅读材料：基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2≥x·1x，∴请根据阅读材料解答下列问题：（1）填空：当x>0时，设y=x+4x，则当且仅当x=____时，（2）若x＞0，函数y=2x+1x，当【变式61】（2023春·安徽六安·九年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a,b都是正数时，①若ab>1，则a>b；②若ab=1，则a=b；③我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．(1)请用上述方法比较57与7(2)写出a+1a+2与a【变式62】（2023秋·陕西榆林·九年级统考期中）阅读并回答下面问题：计算：2+设x=2+3原式===x因为x=2+3所以x2+y原式=10+2×23(1)填空：①3+②3+(2)请仿照上面的方法计算：3+【变式63】（2023春·贵州遵义·九年级统考期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：1−3x2解：隐含条件1−3x≥0,，解得x≤1∴1−x>0，∴原式=1−3x−1−x(1)试化简：(x−3)2(2)已知a、b满足(2−a)2=a+3,a−b+1【题型7二次根式的规律探究】【例7】（2023春·安徽滁州·九年级校联考期末）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：①13=1；②13+2（2）深入探究，观察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×3根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：1+2+3+⋯+n+(n+1)=__________．（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：①13②113【变式71】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n3）个数是（用含n的代数式表示）（

）．A．n2−1 B．n2−2 C．【变式72】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）观察下列各式：1+112+122=1+11×2，请利用你所发现的规律，计算1+112+122+1+【变式73】（2023春·广西南宁·九年级南宁二中校联考期末）已知：223=223；338【题型8二次根式的实际应用】【例8】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积p(1)当三角形的三边a=3，b=5，c=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；(2)一个三角形的三边长依次为5、6，7，请求出三角形的面积；(3)若p=8，a=4，求此时三角形面积的最大值．【变式81】（2023春·陕西安康·九年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为72米，宽AB为32米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为8+1米，宽为8(1)求长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【变式82】（2023秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知557=767，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是767的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[x]．这里[x]=x−a，[x]+a=x，其中[x]是一个整数，0≤a<1，a称为实数x的小数部分，记作Zx关于取整运算有部分性