专题16二次函数与最短路径问题-2022年中考数学母题题源解密

专题16二次函数与最短路径问题考向1利用轴对称求线段之和的最小值【母题来源】2021年中考山东省东营卷【母题题文】如图，抛物线y=-12x2（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．【答案】（1）∵直线y=-当x＝0时，代入y=-当y＝0时，代入y=-把B（4，0），C（0，2）分别代入y=-12得-8+4b+c=0解得b=3∴抛物线的解析式为y=-12x（2）∵抛物线y=-12x∴-12x2解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴AO＝1，AB＝5，在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，∴AC=5∴AOAC∵ACAB∴AOAC又∵∠OAC＝∠CAB，∴△AOC∽△ACB；（3）设点D的坐标为（x，-12x2则点E的坐标为（x，-1∴DE=-12x2+=-12x2+=-12=-12∵-1∴当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，3），∵C（0，2），M（3，2），∴点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2），∴CD=C∵PD+PM＝PC+PD＝CD，∴PD+PM的最小值为5．【试题解析】（1）直线y=-12x+2过B、C两点，可求B、C两点坐标，把B（4，0），C（0，2）分别代入y=（2）抛物线y=-12x（3）设点D的坐标为（x，-12x2+32x+2），则点E的坐标为（x，-12x+2），由坐标得DE【命题意图】函数思想；应用意识．【命题方向】主要为解答题，一般为压轴题，具有很强的甄别性.【得分要点】已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小．AABl作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点PBBAPlA'考向2利用三点共线求线段之和的最小值【母题来源】2021年中考湖北省恩施卷【母题题文】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），则1+b+c=016（2）存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，设点Q的坐标为（s，t），∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），则s+1=-1解得m=5±17故点F的坐标为（﹣1，5+17）或（﹣1，5-17）或（﹣1，22）或（﹣1，（3）存在，理由：由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y=5当x＝﹣1时，y=54（x+2）=5则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+(【试题解析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；（2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；（3）由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．【命题意图】考查代数几何综合题；分类讨论；矩形菱形正方形；数据分析观念．【命题方向】解答题，一般设定为试卷压轴题.【得分要点】利用转化思想得三点共线，进而利用三点共线求线段的最小值.1．（2021•湖北南漳县模拟）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（0，3），（2，0），顶点为M的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，且与x轴交于点D，E（点D在点E的左侧）．（1）求点B的坐标，抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）点P是（1）中抛物线对称轴上一动点，求△PAD的周长最小时点P的坐标；（3）平移抛物线y＝﹣x2+bx+c，使抛物线的顶点始终在直线AM上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段BM有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a的取值范围．解：（1）∵A，C点的坐标分别为（0，3），（2，0），并且四边形ABCD是矩形，∴B点的坐标是（2，3），把A、B代入抛物线解析式，则c=3解得c=3∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴y＝﹣（x﹣1）2+4，即顶点M为（1，4）；（2）在对称轴上取一点P，连接PA，PB，PD，由抛物线及矩形的轴对称性可知点A，B关于抛物线的对称轴对称，∴PA＝PB，∴当点P，B，D在一条直线上时△PAD的周长最小，当﹣x2+2x+3＝0时，解得x1＝﹣1，x3＝3，∴点D（﹣1，0），设直线BD的解析式为y＝kx+q，代入B点、D点坐标得（2k解得k=1∴直线BD的解析式为y＝x+1，当x＝1时，y＝2，∴P点的坐标为（1，2）；（3）设直线AM的解析式为：yAM＝mx+n，代入点A和点M的坐标得n=3解得m=1∴直线AM的解析式为yAM＝x+3，同理得直线BM的解析式为yBM＝﹣x+5，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线yAM＝x+3上，∴设平移中的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a+3，当a＝1时，抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3即y＝﹣x2+2x+3，此时抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3与线段AB有两个交点，当a＞1时，①抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3经过点M时，有﹣（1﹣a）2+a+3＝4，解得：a1＝1（舍去），a2＝2，②当抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3经过点B时，有﹣（2﹣a）2+a+3＝3，解得：a1＝1（舍去），a2＝4，综上可得2≤a≤4，当a＜1，抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3与直线yBA＝﹣x+5有公共点时，则方程﹣（x﹣a）2+a+3＝﹣x+5即x2﹣（2a+1）x+a2﹣a+2＝0有实数根，∴（2a+1）2﹣4（a2﹣a+2）≥0，即a≥78，∴1＞a综上可得1＞a≥72.（2021•江苏省江阴市模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝4．BD＝5．点P是线段AO上一动点（不与A，O重合）．点E与点P在AD所在直线的两侧．AE⊥AB．AE＝BD．点F在AD边上，DF＝AP．连接PE，BF．（1）补全图形，求PE：BF的值；（2）连接BP，点P在何处时BP+BF取得最小值？并求出这个最小值．解：（1）图形如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD