2024-2025学年高考数学一轮复习专题3.1导数的概念及运算定积分知识点讲解文科版含解析

专题3.1导数的概念及运算、定积分【考情分析】1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能依据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数，能求简洁复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。【重点学问梳理】学问点1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时改变率lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′（x）＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)。【特殊提示】函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时改变趋势，其正负号反映了改变的方向，其大小|f′(x)|反映了改变的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)。【特殊提示】曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线。(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数。(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0。学问点2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)学问点3.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0).学问点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。学问点5.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义假如函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式eq\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))f(ξi)Δx＝eq\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))eq\f(b－a,n)f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几何意义f(x)eq\i\in(a,b,)f(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)＜0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积学问点6.定积分的性质(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数).(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx.(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b).学问点7.微积分基本定理一般地，假如f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))＝F(b)－F(a).【特殊提示】函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.【典型题分析】高频考点一导数的运算【例1】(2024·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.【解析】由题意得f′(x)＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)，则f′(1)＝e.【答案】e【方法技巧】(1)求函数的导数要精确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中，要细致分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避开运算错误．【变式探究】（2024·广东省佛山市一中模拟）已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝.－4[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]高频考点二求切线方程例2.（2024·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.【举一反三】【2024·全国Ⅰ卷】曲线在点处的切线方程为____________．【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即．【答案】【方法技巧】(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1))求解即可．(3)处理与切线有关的参数问题，通常依据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．高频考点三求参数的值例3.【2024·全国Ⅲ卷】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A． B．a=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵y′＝aex＋lnx＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切点为(1,1)，将(1,1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝－1，故选D.【变式探究】（2024·吉林省通化市第一中学模拟）已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝.【答案】－2【解析】∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，m＜0，∴m＝－2.高频考点四导数与函数图象例4.（2024·山西忻州一中模拟）已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()【答案】B【解析】由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜领先增大后减小，故选B.【变式探究】（2024·浙江省衢州第一中学模拟）已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝.【答案】0【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq\f(1,3)，∴f′(3)＝－eq\f(1,3).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.高频考点五定积分的计算例5.（2024·江苏省仪征中学模拟）计算eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx的值为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)＋ln2C.eq\f(5,2)＋ln2 D．3＋ln2【答案】B【解析】eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋lnx))|eq\o\al(2,1)＝2＋ln2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)＋ln2.故选B.]【方法技巧】(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．【变式探究】（2024·安徽省阜阳市第一中学模拟）eq\i\in(0,π,)(sinx－cosx)dx＝________．【答案】2【解析】eq\i\in(0,π,)(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)|eq\o\al(π,0)＝1＋1＝2高频考点六定积分的几何意义例6.（2024·福建省晋江市第一中学模拟）若eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，则m＝________．【答案】－1【解析】依据定积分的几何意义eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.【变式探究】（2024·山东省淄博市第八中学模拟）曲线y＝－x＋2，y＝eq\r(x)与x轴所围成的面积为_______