2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1.3古典概型同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价四十古典概型(15分钟30分)1.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面随意摸2个小球,下列不是样本点的是 ()A.正好2个红球 B.正好2个黑球C.正好2个白球 D.至少一个红球【解析】选D.至少一个红球包含:一红一白或一红一黑或2个红球,所以至少一个红球不是样本点.2.下列概率模型中,是古典概型的个数为 ()(1)从区间内任取一个数,求取到1的概率;(2)从1～10中随意取一个整数,求取到1的概率;(3)在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;(4)向上抛掷一枚不匀称的硬币,求出现反面朝上的概率.A.1 B.2 C.3 D.4【解题指南】推断一个概率模型是否是古典概型,关键是看它是否满意两个条件:①有限性;②等可能性.【解析】选A.第1个概率模型不是古典概型,因为从区间内随意取出一个数,有多数个对象可取,所以不满意有限性.第2个概率模型是古典概型,因为试验结果只有10个,而且每个数被抽到的可能性相等,即满意有限性和等可能性;第3个概率模型不是古典概型,不满意有限性;第4个概率模型也不是古典概型,因为硬币不匀称,因此两面出现的可能性不相等.3.(2024·全国卷Ⅱ)生物试验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.从5只兔子中随机取出3只,总的基本领件有10种;又因为只有3只测量过某项指标,故恰有2只测量过该指标的种数为6,则恰有2只测量过该指标的概率为QUOTE,即QUOTE.4.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同的字母,则取到字母a的概率为.

【解析】总的取法有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10种,其中含有a的有ab,ac,ad,ae共4种,故所求概率为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.(2024·江苏高考)将一颗质地匀称的正方体骰子先后抛掷2次,视察向上的点数,则点数和为5的概率是.

【解析】总事务数为6×6=36,满意条件的事务有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.连续掷3枚硬币,视察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.(1)写出这个试验的全部样本点.(2)求这个试验的样本点的总数.(3)求“恰有两枚硬币正面朝上”这一事务发生的概率.【解析】(1)这个试验包含的样本点有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).(2)这个试验包含的样本点的总数是8.(3)设A=“恰有两枚硬币正面朝上”,则A事务包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).所以P(A)=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则样本点的个数是 ()A.4 B.12 C.16 D.24【解析】选D.将两位男同学分别记为A1,A2,两位女同学分别记为B1,B2,则四位同学排成一列,状况有A1A2B1B2,A1A2B2B1,A2A1B1B2,A2A1B2B1,A1B1A2B2,A1B2A2B1,A2B1A1B2,A2B2A1B1,B1A1A2B2,B1A2A1B2,B2A1A2B1,B2A2A1B1,A1B1B2A2,A1B2B1A2,A2B1B2A1,A2B2B1A1,B1B2A1A2,B1B2A2A1,B2B1A2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部状况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共10种.选取的2个点的距离不小于该正方形边长的状况有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6种.故所求概率为QUOTE=QUOTE.【补偿训练】假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为QUOTE.3.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,有(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土)共10种等可能发生的结果,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为QUOTE.4.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.用(x,y,z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元.乙、丙、丁三人抢完6元钱的全部不同的可能结果有10种,分别为(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).乙获得“手气最佳”的全部不同的可能结果有4种,分别为(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).依据古典概型的概率计算公式,得乙获得“手气最佳”的概率P=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.分类探讨法求解.个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数,所以可以分两类.(1)当个位为奇数时,有5×4=20个符合条件的两位数.(2)当个位为偶数时,有5×5=25个符合条件的两位数.因此共有20+25=45个符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P=QUOTE=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列试验是古典概型的是 ()A.从6名同学中选出4人参与数学竞赛,每人被选中的可能性大小B.同时掷两颗骰子,点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率【解析】选ABD.A,B,D是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.6.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则概率不是QUOTE的为 ()A.颜色全相同B.颜色不全相同C.颜色全不同D.无红球【解析】选BCD.有放回地取球3次,共27种可能结果,其中颜色全相同的结果有3种,其概率为QUOTE=QUOTE;颜色不全相同的结果有24种,其概率为QUOTE=QUOTE;颜色全不同的结果有6种,其概率为QUOTE=QUOTE;无红球的状况有8种,其概率为QUOTE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,则两人都中奖的概率是.

【解析】设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6种.其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),共2种,所以P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为.

【解析】先后两次出现的点数中有5的状况有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种,其中使方程x2+mx+n=0有实根的状况有:(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种.故所求事务的概率P=QUOTE.答案:QUOTE8.小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.若小李从中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则所选的题不是同一种题型的概率为,若小李从中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则所选的题不是同一种题型的概率为.

【解析】将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则全部样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事务A为“所选的题不是同一种题型”,则事务A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12种,所以P(A)=QUOTE=0.6.从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则全部样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事务B为“所选的题不是同一种题型”,因为所选题不是同一种题型的样本点共12种,所以P(B)=QUOTE=0.48.答案:0.60.48四、解答题(每小题10分,共20分)9.先后掷两枚大小相同的骰子.(1)求点数之和出现7点的概率.(2)求出现两个4点的概率.(3)求点数之和能被3整除的概率.【解析】如图所示,从图中简单看出基本领件与所描点一一对应,共36个.(1)记“点数之和出现7点”为事务A,从图中可以看出,事务A包含的基本领件共6个:(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),故P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)记“出现两个4点”为事务B,从图中可以看出,事务B包含的基本领件只有1个,即(4,4),故P(B)=QUOTE.(3)记“点数之和能被3整除”为事务C,则事务C包含的基本领件共12个:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).故P(C)=QUOTE=QUOTE.10.(2024·天津高考)2024年,我国施行个人所得税专项附加扣除方法,涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采纳分层随机抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受状况如表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果;②设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事务M发生的概率.【解析】(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于实行分层随机抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种;②由表格知,符合题意的全部可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种,所以事务M发生的概率P(M)=QUOTE.1.一个三位数,它的个、十、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合{5,6,7,8}中取出三个不同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.从集合{5,6,7,8}中取出3个不同的数组成一个三位数共有24个结果:567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,786,867,876