2024-2025学年高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课时跟踪训练含解析北师大版选修2-1

PAGE其次章空间向量与立体几何[A组基础巩固]1．下列说法正确的是()A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小解析：任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确．由于向量的模是一个非负实数，故可以比较大小．答案：D2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0 B．1C．2 D．3解析：因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；依据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知，只有②正确，故选B.答案：B3．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD为()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定解析：若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，即AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．答案：B4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ACC1A1A.eq\o(BD,\s\up6(→)) B.eq\o(BC1,\s\up6(→))C.eq\o(BD1,\s\up6(→)) D.eq\o(A1B,\s\up6(→))解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故eq\o(BD,\s\up6(→))为平面ACC1A1的法向量．答案：A5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(GH,\s\up6(→))所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°解析：因为eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(BA1,\s\up6(→))同向共线，eq\o(GH,\s\up6(→))与eq\o(BC1,\s\up6(→))同向共线，所以〈eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉，在正方体ABCD­A1B1C1D1中△A1BC1为等边三角形，所以〈eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝60°.答案：B6.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))中，夹角为90°的共有______对．解析：夹角为90°的有：eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))，共5对．答案：57．给出以下命题：①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则m＝p；⑤在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；⑥空间中随意两个单位向量必相等．其中，正确的命题序号是________．解析：以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必需方向相同且模相等．但相等的向量起点不肯定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不肯定相同，故⑥错．答案：①②④⑤8．在正四面体A­BCD中，O为平面BCD的中心，连接AO，则平面BCD的一个法向量可以是________．解析：由于A­BCD是正四面体，易知AO⊥平面BCD.答案：eq\o(AO,\s\up6(→))9．已知直三棱柱ABC­A1B1C1，则分别以此棱柱的随意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的模相等的向量(eq\o(AA1,\s\up6(→))本身除外)共有多少个，与向量eq\o(AA1,\s\up6(→))相等的向量(eq\o(AA1,\s\up6(→))本身除外)共有多少个．解析：与eq\o(AA1,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，共5个，与eq\o(AA1,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，共2个．10．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC­A1B1C1(1)在分别以正三棱柱的随意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的随意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量eq\o(AC,\s\up6(→))的相反向量；(3)若E是BB1的中点，举出与向量eq\o(AE,\s\up6(→))平行的向量．解析：(1)由正三棱柱的结构特征知与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有向量eq\o(A1B1,\s\up6(→)).(2)向量eq\o(AC,\s\up6(→))的相反向量有eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(C1A1,\s\up6(→)).(3)取AA1的中点F，连接B1F，则eq\o(B1F,\s\up6(→))，eq\o(FB1,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))都是与eq\o(AE,\s\up6(→))平行的向量．[B组实力提升]1．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是()A．平面α的法向量垂直于与平面α平行的全部向量B．一个平面的全部法向量相互平行C．假如两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．假如a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量解析：依据平面法向量的概念可知A，B，C都是正确的．当a与b共线时，n就不肯定是平面α的法向量，故D错误．答案：D2．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满意eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长，应用余弦定理可得△BCD为锐角三角形．答案：B3．给出以下命题：①若a∥b，b与c的夹角是30°，则a与c的夹角也是30°；②平面的全部法向量方向相同；③若两个向量的起点相同，终点也相同，则这两个空间向量相等．其中正确命题的序号是__________．解析：只有③正确．答案：③4．如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝________.解析：连接DB，BC1，DC1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△BDC1为等边三角形．∵E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，∴EF∥BD，GH∥BC1.∴〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝60°.答案：60°5．如图，AB是圆O的直径，直线PA所在的向量是圆O所在平面的一个