2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.11.1.1空间向量及其线性运算学案新人教A版选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算1.学习任务核心素养1.理解空间向量及相关概念．(重点)2.驾驭空间向量的线性运算．(重点)3.驾驭共线向量定理、共面对量定理及其推论的应用．(重点、难点)1.通过空间向量有关概念的学习，培育数学抽象素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面对量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.回忆平面对量的有关概念与约定，思索能否将它们从平面推广到空间中，假如能，尝试说出推广后的不同之处，假如不能，请说明理由．学问点1空间向量及相关概念(1)空间向量的定义及表示定义在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模表示方法几何表示与平面对量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模符号表示空间向量常用一个小写字母表示．如：向量a，b，c…，其模分别记为|a|，|b|，|c|…空间向量也可以用有向线段表示．如图所示，向量a也可记作eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|(2)几类常见的空间向量名称方向模记法零向量随意00单位向量1相反向量相反相等a的相反向量：－a；eq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b1.若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，那么它们的起点、终点也相同吗？[提示]起点、终点未必相同．单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向．需留意单位向量有多数个，它们的方向并不确定，因此，它们不肯定相等；零向量也有多数个，它们的方向是随意的，但规定全部的零向量都相等．1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量eq\o(AB,\s\up8(→))与向量eq\o(BA,\s\up8(→))的长度相等． ()(2)零向量没有方向． ()[提示](1)√对于随意向量eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(BA,\s\up8(→))，都有|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|成立．(2)×零向量有方向，它的方向是随意的．回忆平面对量的加法、减法与数乘运算，思索如何定义空间向量的加法、减法与数乘运算，并尝试总结空间向量的线性运算与平面对量的线性运算有何不同．学问点2空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(MN,\s\up8(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；安排律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb2.由λa＝0，可否得出λ＝0?[提示]不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0.2.(1)已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．a＋b－c B．c－a－bC．c＋a－b D．c＋a＋b(2)化简eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＝________.(1)B(2)0[(1)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝－b－a＋c＝c－a－b，故选B．(2)eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＝eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(NM,\s\up8(→))＝0.]学问点3共线向量(1)定义：假如表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与随意向量平行，即对随意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于随意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.3.怎样利用向量共线定理证明空间A，B，C三点共线？[提示]只需证明向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))(不唯一)共线即可．向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据．但必需留意在向量a(或b)所在直线上至少有一点不在b(或a)所在的直线上．3.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∥b，b∥c，则a∥c. ()(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb. ()(3)若eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，则A，B，C三点共线． ()[提示](1)×当b＝0时，a∥c不肯定成立．(2)×当a是非零向量，b＝0时，不存在实数λ，使得a＝λb.(3)√由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))知eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→))，且有公共点B，此时A，B，C三点共线．学问点4共面对量和共面对量定理(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面对量．(2)共面对量定理：假如两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间随意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).4.(1)空间中随意两个向量肯定是共面对量吗？(2)设空间五点O，A，B，C，P，满意eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))，若x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点是否共面？[提示](1)空间中随意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此肯定是共面对量．(2)由x＋y＋z＝1，得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋y(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋z(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，即eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝yeq\o(AB,\s\up8(→))＋zeq\o(AC,\s\up8(→))，即eq\o(AP,\s\up8(→))＝yeq\o(AB,\s\up8(→))＋zeq\o(AC,\s\up8(→))，所以P，A，B，C四点共面．共面对量定理可作为判定三条直线共面的依据，但要留意应用共面对量定理判定三条直线共面时，还须要其中一条直线上有一点在另外两条直线所确定的平面内．4.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面． ()(2)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up8(→))＝xeq\o(MA,\s\up8(→))＋yeq\o(MB,\s\up8(→)). ()(3)对于空间的随意三个向量a，b,2a－b，它们肯定是共面对量． [提示](1)×三条直线不肯定在同一平面内．(2)×当eq\o(MA,\s\up8(→))与eq\o(MB,\s\up8(→))共线，eq\o(MP,\s\up8(→))与eq\o(MA,\s\up8(→))不共线时，x，y不存在．(3)√由2a－b＝2·a＋(－1)·b得2a－b与a，类型1空间向量的有关概念及简洁应用【例1】给出下列结论：①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满意|a|＝|b|，则a＝±b；③若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中随意两个单位向量必相等；⑤在如图1所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))；图1图2⑥如图2所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′的全部棱对应的向量中，与eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有3个．其中正确的是________．(填序号)③⑤⑥[当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不肯定起点相同，终点也相同，故①错误；要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不肯定为相等向量或相反向量，故②错误；命题③是相等向量的传递性，明显正确；空间中随意两个单位向量的模均为1，但方向不肯定相同，故④错误；在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up8(→))与eq\o(A1C1,\s\up8(→))的方向相同，模也相等，所以eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))，故⑤正确；在平行六面体ABCD­A′B′C′D′的全部棱对应的向量中，与eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量分别为eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→))，故⑥正确．]解答空间向量有关概念问题的关键点及留意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)留意点：留意一些特别向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是随意的，且与任何向量都共线，这一点说明白共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不肯定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不肯定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．[跟进训练]1.如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1(1)试写出与eq\o(AB,\s\up8(→))相等的全部向量；(2)试写出eq\o(AA1,\s\up8(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的模．[解](1)与向量eq\o(AB,\s\up8(→))相等的全部向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))及eq\o(D1C1,\s\up8(→))共3个．(2)向量eq\o(AA1,\s\up8(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up8(→))，eq\o(B1B,\s\up8(→))，eq\o(C1C,\s\up8(→))，eq\o(D1D,\s\up8(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up8(→))|2＋|\o(BC,\s\up8(→))|2＋|\o(CC1,\s\up8(→))|2))＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.类型2空间向量的线性运算【例2】(1)(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量eq\o(B1D1,\s\up8(→))的是()A．eq\o(A1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)) B．eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))C．eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→)) D．eq\o(B1D1,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))(2)已知正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．①eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))＋zeq\o(PA,\s\up8(→))；②eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→)).(1)CD[eq\o(A1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AD1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BD1,\s\up8(→))，A错；eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(BC1,\s\up8(→))＋eq\o(C1D1,\s\up8(→))＝eq\o(BD1,\s\up8(→))，B错；eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D1,\s\up8(→))，C对；eq\o(B1D1,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D1,\s\up8(→))－eq\o(DD1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D1,\s\up8(→))，D对．故选CD．](2)[解]①如图，∵eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PO,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up8(→))，∴y＝z＝－eq\f(1,2).②法一：如图，eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋2eq\o(QO,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋2(eq\o(PO,\s\up8(→))－eq\o(PQ,\s\up8(→)))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋2eq\o(PO,\s\up8(→))－2eq\o(PQ,\s\up8(→))∴x＝2，y＝－2.法二：由eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))得eq\o(PA,\s\up8(→))－eq\o(PD,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))，即eq\o(DA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))又eq\o(DA,\s\up8(→))＝2eq\o(QO,\s\up8(→))＝2(eq\o(PO,\s\up8(→))－eq\o(PQ,\s\up8(→)))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－2eq\o(PQ,\s\up8(→))∴x＝2，y＝－2.1．空间向量加法、减法运算的2个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，敏捷运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必留意和向量、差向量的方向，必要时可采纳空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合详细图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，奇妙运用中点性质．[跟进训练]2．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．(1)eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→)))．[解](1)因为G是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up8(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up8(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(GE,\s\up8(→))，又因为eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(EF,\s\up8(→))，所以由向量的加法法则，可知eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\o(GE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→)).从而eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→)).(2)法一：由eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AH,\s\up8(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))得eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(FH,\s\up8(→)).法二：如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AQ,\s\up8(→))，而eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(AQ,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(AQ,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(FH,\s\up8(→)).类型3空间向量共线问题【例3】(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up8(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→)).求证：四边形EFGH是梯形．(1)1[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.设eq\o(AD,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7，,λk＝k＋6，))解得k＝1.](2)[证明]∵E，H分别是AB，AD的中点，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AH,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，则eq\o(EH,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up8(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up8(→))))＝eq\f(3,4)(Ceq\o(G,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up8(→))，∴eq\o(EH,\s\up8(→))∥eq\o(FG,\s\up8(→))且|eq\o(EH,\s\up8(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up8(→))|≠|eq\o(FG,\s\up8(→))|.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明空间三点共线有哪些方法？[提示]对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立．(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)．[跟进训练]3．(1)已知空间中三个不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋yn＋2p，且a∥b，则x＝________，y(2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→)).求证：E，F，B三点共线．(1)－eq\f(5,2)1[由a∥b得，b＝λa(λ∈R)，即(x＋1)m＋yn＋2p＝3λm－2λn－4λp.因为向量m，n，p不共面．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝3λ，,y＝－2λ，,2＝－4λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝1，,λ＝－\f(1,2).))](2)[证明]设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，因为eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→))，所以eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up8(→))，所以eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(A1F,\s\up8(→))－eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up8(→))＝eq\o(EA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up8(→))，因为EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共线．类型4向量共面问题【例4】(对接教材P5例题)如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且eq\o(AM,\s\up8(→))＝keq\o(AC1,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))＝keq\o(BC,\s\up8(→))，其中0≤k≤1.求证：eq\o(MN,\s\up8(→))，a，c共面．如何推断空间中的三个向量是否共面？[证明]因为eq\o(AM,\s\up8(→))＝keq\o(AC1,\s\up8(→))＝kb＋kc，eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝a＋keq\o(BC,\s\up8(→))＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→))＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.由共面对量定理可知，eq\o(MN,\s\up8(→))，a，c共面．解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面对量定理，证明过程中要敏捷进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．[跟进训练]4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满意eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).(1)推断eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))三个向量是否共面；(2)推断M是否在平面ABC内．[解](1)∵eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OM,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＋(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))，∴eq\o(MA,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．1．下列关于空间向量的命题中，正确的命题是()A．任一向量与它的相反向量都不相等B．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量C．平行且模相等的两个向量是相等向量D．若a≠b，则|a|≠|b|B[对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错．对于B，依据相等向量的定义知，B正确．对于C，两向量平行，方向不肯定相同，故C错．对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错．因此选B．]2.(多选题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的有()A．(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))B．(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))C．(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))D．(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))ABCD[对于A，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→)