新高考一轮复习讲义第36讲等比数列及其前n项和(原卷版+解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第36讲等比数列及其前n项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．42．（2022·山东·模拟预测）已知等比数列满足：，，则的值为（

）A．20 B．10 C．5 D．3．（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（

）A．14 B．34 C．41 D．864．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．35．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．5127．（2022·山东菏泽·一模）已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（

）A．36 B．35 C．34 D．338．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则9．（2022·江苏南通·模拟预测）设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（

）A． B．1 C． D．210．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，其前项和为，且，则数列的前项和为（

）A． B．C． D．11．（多选）（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列12．（多选）（2022·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（

）A．是等比数列 B．是等比数列C． D．13．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.15．（2022·江苏徐州·模拟预测）设各项均为正数的数列的前n项和为，写出一个满足的通项公式：_________．16．（2022·湖北·模拟预测）已知为等比数列，且，，，为其前项之积，若，则的最小值为__________.17．（2022·山东聊城·三模）某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）18．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．19．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．20．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【素养提升】1．（2022·河北秦皇岛·三模）北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（

）（参考数据，）A． B． C． D．2．（2022·湖南·模拟预测）在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（

）A． B． C． D．3．（多选）（2022·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（

）A． B．C． D．4．（多选）（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列5．（2022·江苏南京·模拟预测）若等比数列满足，，则的最大值为____．6．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；

②为等比数列；③为递减数列；

④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k的值__________.8．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知是公差为3的等差数列，是公比为2的等比数列，且.(1)求和的通项公式(2)若数列满足对于任意的，且.①求的通项公式；②数列满足，求.试卷第=page11页，共=sectionpages33页第36讲等比数列及其前n项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.【详解】设的公比为q，则，解得，所以，故选：C．2．（2022·山东·模拟预测）已知等比数列满足：，，则的值为（

）A．20 B．10 C．5 D．【答案】B【分析】利用等比数列的性质可得：，对进行化简后求值即可.【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：.所以．故选：B3．（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【分析】根据题意求得，得到，再由等差数列的通项公式，求得，列出方程，即可求解.【详解】因为成公比为3的等比数列，可得，所以又因为数列为等差数列，所以公差，所以，所以，解得.故选：C.4．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.5．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可【详解】若，且，则，所以，反之，若，则，所以，且或，且，所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件.故选：A6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可.【详解】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.故选：A.7．（2022·山东菏泽·一模）已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（

）A．36 B．35 C．34 D．33【答案】B【分析】先由已知条件判断出的取值范围，即可判断使得的最小正数n的数值.【详解】由得：，.，又，，，，则使得的最小正数n为35.故选：B.8．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】A选项可用片段和性质，BD选项使用基本量法，C选项借助下标和性质求解.【详解】A选择中，由即，解得B选项中，C选项中，由，，D选项中，故选：B9．（2022·江苏南通·模拟预测）设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据给定等式，可得，再求出数列，的公比即可计算作答.【详解】由得，，设{}的公比为，{}的公比为，当时，，即，当时，，即，联立两式解得，此时，，则，，所以.故选：C10．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，其前项和为，且，则数列的前项和为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据与的关系可知数列从2项开始是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得，则均小于0，均大于0.结合等比数列前项和公式计算即可.【详解】由①，得，解得，当时，②，由①②，得，则，两式相减，得，即，又不符合上式，所以数列从2项开始是以为首项，3为公比的等比数列，则，所以.得，，所以均小于0，均大于0.所以当时，数列的前项和为.故选：A.11．（多选）（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】AD【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的定义结合特例法可判断各选项的正误.【详解】设等比数列的公比为，，则是以为公比的等比数列，A对；时，，则不是等比数列，B错；，时，，此时不是等比数列，C错；，所以，是公比为的等比数列，D对.故选：AD．12．（多选）（2022·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（

）A．是等比数列 B．是等比数列C． D．【答案】BC【分析】由条件变形，先求的通项公式，再判断选项【详解】由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列，，则．故B，C正确，A错误,,两式相减得：，故D错误．故选：BC13．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．【答案】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】由已知条件得，解得，∴；故答案为：.14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.【答案】5【分析】根据，求得公比，再由求解.【详解】解：在等比数列中，，，所以，解得，又，即，解得，故答案为：515．（2022·江苏徐州·模拟预测）设各项均为正数的数列的前n项和为，写出一个满足的通项公式：_________．【答案】（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需填写符合要求的答案即可，不妨令，根据等比数列求和公式代入验证即可；【详解】解：当时，，，∴满足条件．故答案为：（答案不唯一）16．（2022·湖北·模拟预测）已知为等比数列，且，，，为其前项之积，若，则的最小值为__________.【答案】4【分析】求出的通项，再求出，从而可求的解的最小值.【详解】设等比数列的公比为，则，而，故，故，所以即，故，故，由可得即，所以，因为，且当时，，故使得成立的最小值为4，故答案为：4.17．（2022·山东聊城·三模）某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）【答案】2036【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立相邻两年的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.【详解】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，由题意得，并且，设，则，则0.2x＝100，则x＝500，∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，令，则，即，即，所以，因此.2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，故答案为：203618．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．【答案】【分析】首先根据条件求得等比数列{}的前n项和为，代入中可看出可以通过裂项相消法求和．【详解】等比数列{}中、为方程的两根，设数列{}的公比为，则，且又，所以，所以∴∴∴数列的前2022项和，故答案为：.19．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．（1）解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．20．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．【素养提升】1．（2022·河北秦皇岛·三模）北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（

）（参考数据，）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知“次分形”后线段的长度为，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.【详解】图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，“次分形”后线段的长度为，所以要得到一个长度不小于的分形图，只需满足，则，即，解得，所以至少需要次分形．故选：C.2．（2022·湖南·模拟预测）在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求.【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为，由条件可知：，又由图形可知：，所以，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，所以最小的正三角形的面积为：，故选：A.3．（多选）（2022·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由题可得，进而可得是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，即得.【详解】将圆盘从小到大编为号圆盘，则将第号圆盘移动到3号柱时，需先将第号圆盘移动到2号柱，需次操作；将第号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将号圆需移动到3号柱需次操作，故，，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即，∴.故选：AD.4．（多选）（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列【答案】ABC【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.故选：ABC.5．（2022·江苏南京·模拟预测）若等比数列满足，，则的最大值为__