苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题2.11二次函数的图形与性质大题专练(培优强化30题)特训(原卷版+解析)

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.11二次函数的图形与性质大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2022·江苏·九年级阶段练习）已知二次函数y=−1(1)将该二次函数化成y=a(x−ℎ)(2)指出该二次函数的图像的顶点坐标；(3)当−3＜x＜2．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，抛物线y=x2+x−2与x轴交于A、B两点，与y(1)结合函数图像，当−2<x<4时，直接写出y的取值范围______．(2)若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．3．（2022·江苏泰州·九年级期末）已知抛物线y=x2−2mx+m2(1)求点P的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若抛物线上有且只有两个点到x轴的距离为12，直接写出m(3)当抛物线的顶点在第一象限时，在抛物线上有两点E(a，y1)，F(a＋3，y2)，且y1<y2，求a的取值范围．4．（2022·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y1＝ax2+bx+c．(1)若二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），判定点D（2，2）是否在二次函数y1的图象上；(2)一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1的顶点．①求二次函数y1的对称轴；②当b＜0，1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．5．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3）．点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，且满足x1＜x2，x1+x2＝2．(1)用含a的代数式表示b；(2)当y1＝y2时，求抛物线的对称轴及a的值；(3)当y1＜y2时，求a的取值范围．6．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A（1，0），B（－2，3）．(1)求该二次函数的表达式；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(3)结合图像，直接写出当y＞3时，x的取值范围是．7．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梦想点”．(1)若点P（2，p）是二次函数y=x2＋mx＋n的图象上唯一的“梦想点”，求这个二次函数的解析式；(2)设函数y＝3x（x＞0），y＝﹣x＋b的图象的“梦想点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦想点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t=b2−2b8．（2020·江苏徐州·九年级期中）在平面直角坐标系中，一次函数y=x−2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像y=ax2+bx+ca>0经过点(1)求a、b满足的关系式及c的值；(2)如果a=1，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使DE=PE．①求点P的坐标；②若直线PD上是否存在点Q，使△ABQ为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·江苏南通·九年级期末）定义：Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函数y=ax2(1)①函数y=x21≤x≤2的最小值是m，最大值是n，则2m②函数y=x2______(2)若二次函数y=ax2−2ax+3是1≤x≤2(3)若函数y=x2−2mx在1≤x≤10．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知二次函数y=2x2−4x+3(1)抛物线C顶点坐标为______；(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点(3)当−2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．11．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校九年级阶段练习）已知二次函数y=x(1)用配方法把这个二次函数化成y=a(x−ℎ)(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当−4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．12．（2021·江苏省南京市浦口区第三中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝x2－2mx+2m2－1(m为常数）．（1）若该函数图像与x轴只有一个公共点，求m的值；（2）将该函数图像沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图像．①新函数的表达式为________________________，并证明新函数图像始终经过一个定点；②已知点A（－2，－1）、B（2，－1），若新函数图像与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．13．（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线y=2x2−4x−6与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．14．（2021·江苏·九年级）已知二次函数y=x2+bx−c（1）如果a，b，c是整数，且c<b<8a，求a，b，c值．（2）设二次函数y=x2+bx−c图象和x轴交点为A、B，和y轴交点为C．如果有关x方程x15．（2021·江苏·九年级）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么我们称抛物线（1）已知抛物线①y=x2+2x−1，判断下列抛物线②y=−（2）抛物线C1:y=18(x+1)2−2，动点P的坐标为(t,2)，将抛物线绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线C（3）点A为抛物线C1:y=18(x+1)2−2的顶点，点B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角16．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．17．（2021·江苏扬州·九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1（1）尝试：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是；（2）拓展：已知实数x，y满足x2＋3x＋y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为；（3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．18．（2021·江苏·景山中学九年级期中）若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”．（1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2−4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+1，其中y19．（2022·北京市第三中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；(2)若当1≤x≤2时，y的最小值是0，请直接写出m的值；(3)直线y=x+b与x轴交于点A(−3，0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2−2mx+m220．（2022·福建·上杭县教师进修学校九年级期中）已知：抛物线y=a(1)若此抛物线与直线y=x只有一个公共点且经过点2,0．①求此抛物线的解析式；②以y轴上的点C0,−2为中心，作该抛物线关于点C对称的抛物线y′，若这两条抛物线交于A，B（点A在点B的右侧），求线段(2)设定a>0，将此抛物线向上平移c个单位（c>0），此时与x轴交于点c,0，若当0<x<c时，y>0，求证：ac≤1．21．（2022·浙江·杭州启正中学九年级期中）已知二次函数y=14(x−2m)(1)小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？(2)已知点Pa−5,t，Q4m+3+a,t都在该二次函数图象上，求证：22．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y=x+1，其“青一点”为1,2．(1)①判断：函数y=2x+3“青一函数”（填“是”或“不是”）；②函数y=8x的图像上的青一点是(2)若抛物线y=m−1x2(3)若函数y=x2+m−k+2x+n4−k23．（2022·北京市西城外国语学校九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax+2a<0与(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值；(3)抛物线上的两点Px1,y1，Qx2,y24．（2022·浙江·信达外国语学校九年级阶段练习）在直角坐标系中，设函数y=(x−m)((1)当m=1时，若该函数的图象经过点(2,6)(2)若n=m−1，且当x⩽−2时，y随(3)若该函数图象经过(0,a)，(3,b)两点（a、b是实数）当25．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F(1)函数F1为y=x+1，F(2)函数F1为y=ax2+bx+c（(3)函数F1为y=m①已知A0,3、B−3,3，F2与线段AB②若m>0，当m−4≤x≤m−3时，设函数F2的最大值与最小值的差为ℎ，求ℎ关于m的函数解析式；并直接写出自变量m26．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）在y关于x的函数中，对于实数m，n(m>n)，当n≤x≤m时，函数y有最小值ymin，满足y(1)当n=2，m=4时，下列函数____（填序号）为“青一函数”．①y=x；②y=2x−3；③y=−1(2)当m=3n时，二次函数y=x2−2nx+2(3)已知二次函数y=x2−mx+n227．（2022·吉林长春·九年级期末）已知二次函数y＝x2＋ax＋2a（a为常数）．(1)若a＝1，①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标；②当x≤n＋2时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围；③当－3≤x≤1时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求m－n．(2)若点A（－5，2）、点B（1，2），当此二次函数的图象与线段AB有两个交点时，直接写出a的取值范围．28．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）已知二次函数解析式为y=1ax2−a+2ax−1a≠0，该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C(1)求点D的纵坐标．(2)当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．(3)当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．(4)设点Ra−3,−1，点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a29．（2022·广东·珠海市紫荆中学桃园校区三模）直线y=−12x+1与x，y轴分别交于点A，B(1)求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；(2)若函数y=2x2−4ax+2a2+a在(3)取a=−1，将线段AB平移得到线段A′B′，若抛物线y=2x2−4ax+2a30．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−ax+a（a为常数）的顶点为A，与y(1)点A的坐标是，点B的坐标是．（均用含a的式子表示）(2)若点A在第三象限，且此抛物线对应的函数值y的最小值为-3时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．(3)点C在抛物线y=x2−ax+a（a为常数）上，且点C的横坐标为a−1，此抛物线在B、C之间的部分（包括B、C①当a=4时，若直线y=m与图象G有且只有一个公共点时，求m的取值范围．②当a<0时，以点B为对称中心作边长为4的正方形PQMN，该正方形的边均与某坐标轴垂直．当图象G在正方形内部（包括边界）部分对应的函数值的最大值与最小值的差为32时，直接写出a2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.11二次函数的图形与性质大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2022·江苏·九年级阶段练习）已知二次函数y=−1(1)将该二次函数化成y=a(x−ℎ)(2)指出该二次函数的图像的顶点坐标；(3)当−3＜x＜【答案】(1)y=−(2)((3)3【分析】（1）用配方法化成顶点式；（2）由顶点式直接写出顶点坐标；（3）结合抛物线的开口方向、增减性求y的取值范围．【详解】（1）y=−=−1（2）因为y=−1所以抛物线的顶点坐标为(−（3）∵a=−1∴抛物线开口向下，∵顶点为(−∴对称轴为直线x=−2．∴x＜−2时，y随x的增大而增大，当x＞−2时，y随x的增大而减小，当∵−3＜且当x=−3时，y=92；当x=0时，∴当−3＜x＜【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、顶点坐标、增减性，通过开口方向和对称轴判断二次函数在−3＜2．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，抛物线y=x2+x−2与x轴交于A、B两点，与y(1)结合函数图像，当−2<x<4时，直接写出y的取值范围______．(2)若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【答案】(1)−(2)4【分析】（1）根据抛物线解析式即可知该抛物线开口向上，对称轴为x=−12，当−2<x≤−12时，y随x的增大而减小，当−12<x<4时，y随x的增大而增大，从而得出此时y的最小值为−94．再根据x=−2（2）过点M作MN⊥x轴于点N，交直线AC于点D．由抛物线解析式可求出A(−2，0)，B(1，0)，C(0，−2)．从而可求出S△ABC=3，直线AC的解析式为y=−x−2．设M(t，t2+t−2)(−2<t<0)，则D(t，【详解】（1）∵抛物线解析式为y=x∴该抛物线开口向上，对称轴为x=−b∴当−2<x≤−12时，y随x的增大而减小，当−12<x<4∴当−2<x<4时，y的最小值为(−1∵x=−2到对称轴x=−12的距离小于x=4到对称轴∴y<4∴当−2<x<4时，y的取值范围是−9故答案为：−9（2）如图，过点M作MN⊥x轴于点N，交直线AC于点D．对于y=x2+x−2，令y=0解得：x1∴A(−2，0)，令x=0，则y=∴C(0，∴S△ABC设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，则0=−2k+b−2=b，解得：k=−1∴直线AC的解析式为y=−x−2．设M(t，t2∵S△ACM∴S△ACM∴S四边形∵−2<t<0，∴当t=−1时，S四边形【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键．3．（2022·江苏泰州·九年级期末）已知抛物线y=x2−2mx+m2(1)求点P的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若抛物线上有且只有两个点到x轴的距离为12，直接写出m(3)当抛物线的顶点在第一象限时，在抛物线上有两点E(a，y1)，F(a＋3，y2)，且y1<y2，求a的取值范围．【答案】(1)(m，－m＋1)(2)1(3)a≥－1【分析】（1）配方法把函数关系式变为顶点式可得P点坐标；（2）由题意可得顶点P的纵坐标－12＜－m＋1＜1（3）根据抛物线的顶点在第一象限可得m的取值范围，根据y1＜y2可得|a－m|＜|a＋3－m|．分类讨论得a取值范围．(1)y=＝(x－m)2－m＋1所以点P的坐标为(m，－m＋1)．(2)根据题意可知：顶点P的纵坐标－12＜－m＋1＜12，解得(3)当抛物线的顶点在第一象限时，即m>0−m+1>0，可得：0＜m在抛物线上有两点E(a，y1)，F(a＋3，y2)，且y1＜y2，又抛物线开口朝上，可知：|a－m|＜|a＋3－m|．分类讨论：a＜a＋3＜m时，不符合题意；a≤m＜a＋3时，|a－m|＜|a＋3－m|m－a＜a＋3－m，解得m≥a＞m－32③m＜a＜a＋3时，y1＜y2，符合题意，此时a＞m综上，a＞m－32又∵0＜m＜1，∴－32＜m－32∵要使得a＞m－32∴a≥－12【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是掌握数形结合、配方法等知识．4．（2022·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y1＝ax2+bx+c．(1)若二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），判定点D（2，2）是否在二次函数y1的图象上；(2)一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1的顶点．①求二次函数y1的对称轴；②当b＜0，1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．【答案】(1)见解析；(2)①x＝1；②y1＜y2【分析】（1）根据二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），得出图象的对称轴为直线x＝−1+32＝1，根据C（0，2）关于对称轴的对称点是（2，2），得出点D（2，2）在二次函数y1（2）①根据一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1＝ax2+bx+c的顶点（﹣b2a，4ac−b24a），得到4ac−b24a＝a•（﹣b2a）+b+c②根据b＜0，推出a＞0，二次函数y1＝ax2+bx+c的图象开口向上，根据b＜0，得到c＞b+c，推出直线y2＝ax+b+c与y轴的交点在抛物线与y轴交点的下方，可知当1＜x＜2时，y1＜y2．或计算y1−y2值的正负，把b=-2a代入，求得y1−y(1)∵二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），∴图象的对称轴为直线x＝−1+32∴C（0，2）关于对称轴的对称点是（2，2），∴点D（2，2）在二次函数y1的图象上；(2)①∵二次函数y1＝ax2+bx+c，∴二次函数y1的顶点为（﹣b2a，4ac−∵一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1的顶点，∴4ac−b24a＝a•（﹣b2a）+∴b＝﹣2a，∴﹣b2a∴二次函数y1的对称轴为直线x＝1；②∵b＜0，∴﹣2a＜0，即a＞0，∴二次函数y1＝ax2+bx+c的图象开口向上，∵b＜0，∴c＞b+c，∴直线y2＝ax+b+c与y轴的交点在抛物线与y轴交点的下方，如图，由图象可知，当1＜x＜2时，y1＜y2．（2）②方法二：y1﹣y2＝ax2+bx+c﹣（ax+b+c）＝ax（x﹣1）+b（x﹣1）＝（ax+b）（x﹣1），∵b＝﹣2a，∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），∵1＜x＜2，a＞0，∴y1﹣y2＜0，∴y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和二次函数与一次函数的综合，解决问题的关键是根据一点的坐标和对称轴判断对称点的坐标，在自变量取值范围内比较两个函数差值的正负来比较两个函数值的大小．5．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3）．点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，且满足x1＜x2，x1+x2＝2．(1)用含a的代数式表示b；(2)当y1＝y2时，求抛物线的对称轴及a的值；(3)当y1＜y2时，求a的取值范围．【答案】(1)b＝1﹣3a；(2)抛物线的对称轴为直线x=1，a的值为1；(3)a＜1且a≠0．【分析】（1）将点A（3，3）代入抛物线表达式y＝ax2+bx求解即可；（2）首先由y1＝y2得到点M（x1，y1），N（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，然后由x1+x2＝2求出对称轴为x=1，最后由对称轴公式得到−b2a=（3）首先将点M（x1，y1），N（x2，y2）代入y＝ax2+（1﹣3a）x，然后表示出y1−y2＝（x1﹣x2）（1﹣a），由y1＜y2和x1＜x(1)∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），∴9a+3b＝3，∴b＝1﹣3a；(2)∵M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，y1＝y2，∴M（x1，y1），N（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，而x1+x2＝2，∴对称轴为直线x=x即：−b∴解得a＝1；(3)将点M（x1，y1），N（x2，y2）代入y＝ax2+（1﹣3a）x得：y1=ax∴y1＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+（1﹣3a）（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（2a+1﹣3a）＝（x1﹣x2）（1﹣a），∵x1＜x2，y1＜y2，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0．∴1﹣a＞0．∴a＜1且a≠0．【点睛】此题考查了二次函数的表达式和性质等综合知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．6．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A（1，0），B（－2，3）．(1)求该二次函数的表达式；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(3)结合图像，直接写出当y＞3时，x的取值范围是．【答案】(1)y＝－x2－2x＋3(2)见解析(3)－2＜x＜0【分析】（1）将A（1，0），B（－2，3）代入y＝ax2＋bx＋3即可得到二次函数表达式．（2）根据二次函数的对称性即可画出抛物线的对称轴．（3）根据图象即可直接写出y＞3时，x的取值范围．（1）将A（1，0），B（－2，3）代入二次函数y＝ax2＋bx＋3，得0=a+b+3解得a=−1该二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3．（2）如图，直线l为所求对称轴．（3）－2＜x＜0．【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求解以及二次函数对称性的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梦想点”．(1)若点P（2，p）是二次函数y=x2＋mx＋n的图象上唯一的“梦想点”，求这个二次函数的解析式；(2)设函数y＝3x（x＞0），y＝﹣x＋b的图象的“梦想点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦想点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t=b2−2b【答案】(1)y=x2－3x＋4(2)－23或43(3)t＞－7【分析】（1）根据“梦想点”定义，得p(2，2)，所以抛物线y=x2＋mx＋n与直线y=x的唯一交点是P（2，2），则方程x2＋mx＋n=x可写为（x-2）2=0，即可求解；（2）先根据“梦想点”定义，求出点A坐标为（3，3），再在函数y＝－x＋b中，令x＝－x＋b，解得：x＝12b，求得B（12b，12b），所以BC＝12|b|，根据三角形面积公式得12×12|b（3）根据“梦想点”定义和一元二次方程根与系数关系得到(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4，则(1−ba)2−4a=4，所以t=b2-2b=(2a+1)2-2，又因为-2<x1<2，|x1-x2|=2，所以-4<x2<4，所以-8<x1x2<8，即-8<1a<8，所以a>18，由(2a（1）解：由题意可知，二次函数y=x2＋mx＋n的图象上唯一的“梦想点”是P（2，2），即抛物线y=x2＋mx＋n与直线y=x的唯一交点是P（2，2），∴方程x2＋mx＋n=x的根为x1=x2=2，即方程x2＋mx＋n=x可写为（x-2）2=0，∴m－1=－4，n=4，∴m=－3，n=4，这个二次函数的解析式为y=x2－3x＋4；（2）在函数y＝3x（x＞0）中，令x＝3解得：x＝3，∴A（3，3），在函数y＝－x＋b中，令x＝－x＋b，解得：x＝12b，∴B（12b，1∵BC⊥x轴，∴C（12b，0），∴BC＝12|∵△ABC的面积为3，∴12×12|b|×|3－1当b＜0时，b2－23b－24＝0，解得b＝－23，当0≤b＜23时，b2－23b＋24＝0，∵Δ＝（－23）2－4×1×24＝－84＜0，∴方程b2－23b＋24＝0没有实数根，当b≥23时，b2－23b－24＝0，解得：b＝43，综上所述，b的值为－23或43；（3）解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦想点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴ax2＋bx＋1=x，即ax2＋(b-1)x＋1=0，则x1+x2=1−ba，x1x2=1∵|x1-x2|=2，∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4，则(1−b∴（1-b）2=4a2+4a，∴b2∴t=b2-2b=(2a+1)2-2，∵-2<x1<2，|x1-x2|=2，∴-4<x2<0或0<x2<4，∴-4<x2<4，∴-8<x1x2<8，∴-8<1a∵a>0，∴a>18∴(2a+1)2-2>(2×18+1)2∴t>-716【点睛】本题考查新定义，一次函数的图象性质，反比例函数图象性质，二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程关系，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握相关性质是解题的关键，题目综合性较强，属中考压轴题．8．（2020·江苏徐州·九年级期中）在平面直角坐标系中，一次函数y=x−2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像y=ax2+bx+ca>0经过点(1)求a、b满足的关系式及c的值；(2)如果a=1，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使DE=PE．①求点P的坐标；②若直线PD上是否存在点Q，使△ABQ为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b=−2a+1，c=−2(2)①1,−2；②存在，点Q坐标为1,2−1或1,−2−1【分析】（1）根据一次函数解析式可得出A、B两点坐标，再代入二次函数解析式中，即可得出c的值和a与b的关系式；（2）①当a=1时，可得出该二次函数解析式，设点P坐标为a，a2−a−2，根据（1）可推出OA=OB=2，则∠OAB=45°，再根据题意即可证△ADE为等腰直角三角形，得出AD=DE，结合点E为DP中点，即可列出关于a的一元二次方程，解出②分类讨论Ⅰ若点B为直角顶点时，过点B作BK⊥AB，连接BP，在Rt△ADE中，依勾股定理可求出AE的长，根据题意易证△BPE≅△ADE(ASA)，即得出BE=AE=2．由所作辅助线可确定△BEQ为等腰直角三角形，即得出BQ=BE=2，再在Rt△BEQ中，依勾股定理可求出EQ的长，从而可求出QD的长，即可求出此时Q点坐标；Ⅱ若点A为直角顶点时，过点A作AM⊥AB，交PD于点Q，根据Ⅰ同理可证△AQE为等腰直角三角形，且即可求出此时Q点坐标；Ⅲ若点Q为直角顶点时，根据圆周角定理可以点E为圆心，AE为半径作⊙E交PD于点Q1，Q2，由AE=2，即得出EQ1=EQ(1)∵对于一次函数y=x−2，当x=0时，y=−2；y=0时，x=2，∴点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)．则在二次函数y=ax2将x=2，y=0代入y=ax4a+2b−2=0，即b=−2a+1；(2)当a=1时，b=−2a+1=−2×1+1=−1，则二次函数表达式为y=x①设点P横坐标为a，则点P坐标为a由（1）可知，在Rt△AOB中，OA=OB=2，∴∠OAB=45°．根据作图可知DE//OB，∴在Rt△ADE中，AD=DE，即x∵点E为DP中点，∴y∴2−a=−解得a1=1，即点P坐标为1，12②Ⅰ、若点B为直角顶点，依题得图：过点B作BK⊥AB，连接BP，在Rt△ADE中，依勾股定理得：AE=A∵P坐标为1，−2，则∵OB=2，∴BP⊥PD，∴在△BPE和△ADE中∠BEP=∠AEDEP=ED∴△BPE≅△ADE(ASA)，∴BP=AD=1，BE=AE=2∵BK⊥AB，∴△BEQ为等腰直角三角形，∴BQ=BE=2∴在Rt△BEQ中，依勾股定理得：∴QD=QE+DE=2+1=3，∴此时，点Q坐标为1，Ⅱ、若点A为直角顶点，则过点A作AM⊥AB，交PD于点Q同理可证△AQE为等腰直角三角形，且△AQD≌△AED∴QD=DE=1∴此时，点Q坐标为1，Ⅲ、若点Q为直角顶点依上述过程知点E为线段AB的中点，则以点E为圆心，AE为半径作⊙E交PD于点Q1，Q依上述过程知AE=2∴EQ∴D∴点Q1坐标为1∴EQ∴D∴点Q2坐标为1综上可知，点Q坐标为1，2−1或1，−【点睛】本题为一次函数和二次函数综合题．考查一次函数，二次函数函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．综合性强，属于压轴题，困难题型．在解决（2）②时正确的作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键．9．（2022·江苏南通·九年级期末）定义：Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函数y=ax2(1)①函数y=x21≤x≤2的最小值是m，最大值是n，则2m②函数y=x2______(2)若二次函数y=ax2−2ax+3是1≤x≤2(3)若函数y=x2−2mx在1≤x≤【答案】(1)①＜；②不是(2)0＜a≤32或－3≤a(3)m≤－1【分析】（1）①根据二次函数的性质进行判断即可；②根据“仿三角形函数”定义进行判断即可；（2）首先求出抛物线的对称轴方程，再根据a=0，a>0和a<0三种情况讨论求解即可；（3）求出抛物线的对称轴为直线对称轴为x=m，再分m≤1、m≥32、1<m≤5(1)①∵y=x2在1≤x≤2的范围内y随∴当x=1时，m=1当x=2时，n=∴2m=2，n=4故2m<n故答案为：<；②2m<n，不满足“任意两数之和大于第三个数”，故函数y=x2不是(2)y=a=a(=a∴函数图象的对称轴为：x=1正面分情况讨论：①a=0时，y=3不成立，舍去；②a>0时，y在1≤x≤2的范围内y随x的增大而增大，则ymin=a×∵2∴2×(3−a)≥3∴a≤∴0<a≤③a<0时，y在1≤x≤2内y随x的增大而减小则ymax=a×∵2∴2×3≥3−a∴a≥−3∴−3≤a<0∴若函数y=ax2−2ax+3在1≤x≤2上是“仿三角形函数”，则a的取值范围为0＜a≤3(3)y=∴对称轴为x=m下面分情况讨论：①当m≤1时，y在1≤x≤32上随则ymax=∵2∴2−4m≥解得，m≤−∴m≤−②当m≥32时，y在1≤x≤3则ymin=∵2∴9解得，m≤78与③1<m≤54时，y∵2∴−2整理得，2(m−34④54<m<32∵2∴−2整理得，2(m−12综上所述：若函数y＝x2－2mx在1≤x≤32上是“仿三角形函数”时m的取值范围为m≤－【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，要求学生能用二次函数的性质处理复杂数据，这种定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解较为容易．10．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知二次函数y=2x2−4x+3(1)抛物线C顶点坐标为______；(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点(3)当−2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．【答案】(1)(1,1)(2)不经过，说明见解析(3)1≤y≤19【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可．（2）由题意得出平移后的函数表达式，将P点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点．（3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将x=−2，x=3代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围．（1）解：y=2x2∴顶点坐标为(1,1)故答案为：(1,1)．（2）解：由题意知抛物线C1的解析式为将x=2代入解析式解得y=11≠3∴C1不经过点P（3）解：∵对称轴直线x=1在−2≤x≤3中∴最小的函数值y=1将x=−2代入解析式得y=19将x=3代入解析式得y=9∵9<19∴函数值的取值范围为1≤y≤19．【点睛】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式．11．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校九年级阶段练习）已知二次函数y=x(1)用配方法把这个二次函数化成y=a(x−ℎ)(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当−4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．【答案】(1)y=x+1(2)答案见解析；(3)-4≤y≤5【分析】（1）逆用完全平方公式可以得到解答；（2）根据（1）中所求的二次函数的顶点式解析式作图；（3）根据（2）中的函数图象很直观的得出答案．（1）解：由题意可得：y=x（2）根据（1）中的二次函数的顶点式关系式可知，该函数的顶点是（-1，-4）；当x=0时，y=-3，当x=-4时，y=5；当y=0时，即x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3，∴该函数图象经过点（-1，-4）、（0，-3）、（-4，5）、（1，0）、（-3，0）；所以二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示：（3）由（2）图象可得：当−4≤x≤0时，-4≤y≤5【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的顶点式及其图象与性质、配方法等是解题关键．12．（2021·江苏省南京市浦口区第三中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝x2－2mx+2m2－1(m为常数）．（1）若该函数图像与x轴只有一个公共点，求m的值；（2）将该函数图像沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图像．①新函数的表达式为________________________，并证明新函数图像始终经过一个定点；②已知点A（－2，－1）、B（2，－1），若新函数图像与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）m的值为±1；（2）①y=−x2+2mx−1，新函数过定点(0,−1)；②m的取值范围为：m>1或m<−1【分析】（1）△=(−2m)（2）①翻折后的抛物线的解析式的顶点不变，开口相反，可得新函数的表达式，当x=0时，y=−1，即可求解；②当m>0时，如上图实线部分，新函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m>1；当m<0时，同理可得：m<−1，即可求解．【详解】解：（1）∵△=(−2m)∴m=±1，即函数图象与x轴只有一个公共点时，m的值为±1；（2）①∵y=x2−2mx+2图像翻折后，顶点坐标不变，开口向下，a=−1，∴翻折后抛物线的表达式为：y=−(x−m)故答案为：y=−x当x=0时，y=−1，故新函数过定点(0,−1)；②设定点为C(0,−1)，而点A(−2,−1)、B(2,−1)，即点A、B、C在同一直线上，新抛物线的对称轴为x=m，当m>0时，如上图实线部分，新函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m>1，当m<0时，同理可得：m<−1，从图象看，当m=0时，也符合题意，故m的取值范围为：m>1或m<−1或m=0．【点睛】此题是抛物线的交点坐标题，主要考查抛物线与直线的交点，解本题的关键是画出图象，分析抛物线与线段AB只有一个交点是解本题的难点．13．（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线y=2x2−4x−6与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．【答案】（1）点C的坐标为(0,−6)，点M的坐标为(1,−8)；（2）点P的坐标为（1，－4），PA+PC的最小值为35；（3）△BCN面积的最大值为274，此时点N的坐标为【分析】（1）令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标，将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出顶点M坐标；（2）根据轴对称的性质可得线段BC与对称轴的交点即为点P，先利用待定系数法求出BC解析式，由此再求出点P坐标即可；（3）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设(n,2n2−4n−6)，进而得到Q【详解】解：（1）将x=0代入y=2x2−4x−6∴点C的坐标为(0,−6)，∵y=2x∴抛物线的顶点M的坐标为(1,−8)；（2）如图，设线段BC与对称轴的交点为点P，连接AC，AP，根据轴对称的性质可得：PA=PB，∴PA+PC=PB+PC=BC，∵两点之间线段最短，∴此时PA+PC最小，将y=0代入y=2x得：2x解得：x1=3∴点B的坐标为(3,0)，设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(3,0)，C(0,−6)代入，得：3k+b=0b=−6解得：k=2b=−6∴直线BC的解析式为y=2x−6，∵顶点M的坐标为(1,−8)，∴抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入y=2x−6，得y=−4，∴点P的坐标为（1，－4）；∴PA+PC=BC=故此时PA+PC的最小值为35（3）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：设N点坐标为(n,2n2−4n−6)，则Q点坐标为(n,2n−6)∴QN=(2n−6)−(2n∴S=====−3=−3(n−∵a=−3<0，0<n<3，∴当n=32时，S△BCN将n=32代入2n∴△BCN面积的最大值为274，此时点N的坐标为(【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求直线的解析式等知识，本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题是解决本题的关键．14．（2021·江苏·九年级）已知二次函数y=x2+bx−c（1）如果a，b，c是整数，且c<b<8a，求a，b，c值．（2）设二次函数y=x2+bx−c图象和x轴交点为A、B，和y轴交点为C．如果有关x方程x【答案】（1）a=2，b=15，c=14；（2）1【分析】（1）代入两点坐标，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，联立不等式组求得a、b、c的值；（2）设出程x2+bx-c=0的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．【详解】解：点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x2+bx-c的图象上，故1+b-c=a，4+2b-c=10a，解得b=9a-3，c=8a-2；（1）由c＜b＜8a知8a−2<9a−39a−3<8a解得1＜a＜3，又a为整数，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14；（2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n．由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，消去a，得9mn-8（m+n）=-6，两边同时乘以9，得81mn-72（m+n）=-54，分解因式，得（9m-8）（9n-8）=10．∴9m−8=19n−8=10或9m−8=−109n−8=−1或9m−8=−59n−8=−2解得：m=1n=2或m=−29n=7又∵m，n是整数，所以后面三组解舍去，故m=1，n=2．因此，b=-（m+n）=-3，c=-mn=-2，二次函数的解析式为y=x2-3x+2．令y=0，则x=1或x=2，令x=0，则y=2，∴点A、B的坐标为（1，0）和（2，0），点C的坐标为（0，2），∴△ABC的面积为12【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式．15．（2021·江苏·九年级）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么我们称抛物线（1）已知抛物线①y=x2+2x−1，判断下列抛物线②y=−（2）抛物线C1:y=18(x+1)2−2，动点P的坐标为(t,2)，将抛物线绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线C（3）点A为抛物线C1:y=18(x+1)2−2的顶点，点B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角【答案】（1）①、②关联，理由见解析；（2）y=−18(x−7)2+6或y=−【分析】（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；（2）首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；（3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解．【详解】解：（1）∵①抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2的顶点坐标为M（-1，-2），∴②当x=-1时，y=-x2+2x+1=-1-2+1=-2，∴点M在抛物线②上；∵③当x=-1时，y=x2+2x+1=1-2+1=0，∴点M不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，其顶点坐标为（1，2），经验算：（1，2）在抛物线①上，∴抛物线①、②是关联的；（2）抛物线C1：C1:y=1∵动点P的坐标为（t，2），∴点P在直线y=2上，作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4，∴点N的纵坐标为6，当y=6时，18解得：x1=7，x2=-9，①设抛物C2的解析式为：y=a（x-7）2+6，∵点M（-1，-2）在抛物线C2上，∴-2=a（-1-7）2+6，∴a=−1∴抛物线C2的解析式为：y=−1②设抛物C2的解析式为：y=a（x+9）2+6，∵点M（-1，-2）在抛物线C2上，∴-2=a（-1+9）2+6，∴a=−1∴抛物线C2的解析式为：y=−1（3）点C在y轴上的一动点，以AC为腰作等腰直角△ABC，令C的坐标为（0，c），则点B的坐标分两类：①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为H，F，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，即∠ACH+∠BCH=90°，∵∠ACH+∠CAH=90°，∴∠CAH=∠BCH，又∠AHC=∠BFC=90°，则△BCF≌△CAH（AAS），∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，点B的坐标为（c+2，c-1），当点B在抛物线C1：y=18(x+1)2−2上时，c-1=18解得：c=1．②当A，B，C顺时针分布时，如图中B′点，过点B′作y轴的垂线，垂足为D，同理可得：点B′的坐标为（-c-2，c+1），当点B′在抛物线C1：y=18（x+1）2-2上时，c+1=18（-c-2+1）解得：c=3+42或c=3-4综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C点的坐标分别为：C1（0，1），C2（0，3+42），C3（0，3-4【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．16．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．【答案】（1）见解析；（2）﹣8或8【分析】（1）证法一：令y＝0，可得关于x的一元二次方程，解得两个不同的实数根，即可证得结论；证法二：令y＝0，可得关于x的一元二次方程，运用根的判别式即可证得结论；（2）根据抛物线与x轴两交点横坐标分别为m、m+1，利用中点公式可得点C坐标为（m+12，n），由S△ABC＝12AB•|n|＝12|n|＝1，可得n＝±2，将点C（m+12，2）和C（【详解】（1）证法一：令y＝0，得a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，化简得：a（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0，∴x1＝m，x2＝m+1，∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；证法二：令y＝0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，设z＝x﹣m，则az2﹣az＝0，∴Δ＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2，∵a≠0，∴a2＞0，∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）由（1）得，抛物线与x轴两交点横坐标分别为m、m+1，∴AB＝1，且根据抛物线对称性得顶点横坐标为：m+m+12＝m+1设点C坐标为（m+12，n∴S△ABC＝12AB•|n|＝12|∴|n|＝2，∴n＝±2，将点C（m+12，2）和C（m+12，﹣2）分别代入抛物线解析式y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣得：2＝a（m+12﹣m）2﹣a（m+12﹣m）或﹣2＝a（m+12﹣m）2﹣a（m+1整理得：﹣14a＝2或﹣14解得：a＝﹣8或8．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，中点公式的应用，二次函数性质，三角形面积等，解题关键是运用整体思想将（x−m）看作一个整体或运用换元法设z＝x−m．17．（2021·江苏扬州·九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1（1）尝试：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是；（2）拓展：已知实数x，y满足x2＋3x＋y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为；（3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．【答案】（1）5；（2）7；（3）能，最大面积为98m2【分析】（1）根据偶次方的非负性解答；（2）将函数方程x2＋3x＋y−3＝0代入y-x，把y-x表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．（3）根据题意列出函数关系式，利用配方法解答．【详解】解：（1）−2x2−4x＋3＝−2（x2＋2x＋1−1）＋3＝-2（x＋1）2＋5≤5，∴−2x2−4x＋3有最大值是5，故答案为：5；（2）解：由x2＋3x＋y−3＝0得y＝−x2−3x＋3，把y代入y-x得：y−x＝x2−3x＋3−x＝−x2−4x＋3＝−（x＋2）2＋3＋4≤7，∴y−x的最大值为7．故答案为：7．（3）解：设利用墙的一边长为x，则x≤16，由题意知：S花圃＝x•28−x2＝−12x2＋14x＝−12（当x＝14时，花圃面积最大，最大面积为98m2．【点睛】本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法，解题关键是掌握二次函数的性质及求最大值的方法．18．（2021·江苏·景山中学九年级期中）若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”．（1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2−4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+1，其中y【答案】（1）y=2(x−3)2+4与y=3(x−3)【分析】（1）只需选一个点作为顶点，工号两数作为二次项系数，用顶点式表示两个为“和谐二次函数”的函数表达式即可；（2）由y1的图像经过点A(1,1)可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“和谐二次函数”就可以求出函数【详解】解：（1）设顶点为(ℎ,k)的二次函数的关系式为y=a(x−ℎ)当a=2，ℎ=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2(x−3)∵2>0，∴该二次函数的图象开口向上；当a=3，ℎ=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3(x−3)∵3>0，∴该二次函数的图象开口向上；∵两个函数y=2(x−3)2+4∴两个函数y=2(x−3)2+4∴符合要求的两个“和谐二次函数”可以为：y=2(x−3)2+4（2）∵y1的图像经过点A(1,1)∴1=2−4m+2解得：m1∴y1∴y1∵y1+y∴y1∴a+2=3，b−4=−6，c+3=4，解得：a=1，b=−2，c=1，∴函数y2的表达式y所以函数y2的图象的对称轴为：x=−∵a=1>0，∴函数y2当0≤x≤3时，x=1时，y=0最小，x=3时，y=4最大，∴y2的取值范围0≤【点睛】本题考查了二次函数表达式以及二次函数的性质，解题的关键是对新定义的正确理解．19．（2022·北京市第三中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；(2)若当1≤x≤2时，y的最小值是0，请直接写出m的值；(3)直线y=x+b与x轴交于点A(−3，0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2−2mx+m2【答案】(1)x=m(2)m=0或m=3(3)m<−1或m>2【分析】(1)根据对称轴为直线x=−b(2)分三种情况，m≤1，1≤m≤2或m≥2．由二次函数的性质分别列方程求解即可；(3)当△OAP为钝角三角形时，则0<m−2<m或m−2>−3，分别求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=x∴对称轴为直线x=−b（2）解：∵抛物线y=x∴抛物线顶点坐标为(m,−1)，∴m的取值范围应分三种情况，m≤1，1≤m≤2或若m≤1，∴(1−m)2解得m=0或m=2（舍去），若1≤m≤2.，x=m函数取得最小值为−1，不合题意．若m≥2，x=2函数取得最小值，∴(2−m)2解得m=3或m=1（舍去），综上所述，m的值为0或3．（3）解：把点A(−3，0)代入y=x+b的表达式并解得：则B(0，3)，直线AB的表达式为：如图，在直线y=3上，当∠AOP=90°时，点P与当y=3时，y=x则x=m±2，∵点P在对称轴的左侧，∴x=m+2>m不符合题意，舍去，则点P(m−2，当△OAP为钝角三角形时，则0<m−2<m或m−2<−3，解得：m>2或m<−1，∴m的取值范围是：m>2或m<−1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．20．（2022·福建·上杭县教师进修学校九年级期中）已知：抛物线y=a(1)若此抛物线与直线y=x只有一个公共点且经过点2,0．①求此抛物线的解析式；②以y轴上的点C0,−2为中心，作该抛物线关于点C对称的抛物线y′，若这两条抛物线交于A，B（点A在点B的右侧），求线段(2)设定a>0，将此抛物线向上平移c个单位（c>0），此时与x轴交于点c,0，若当0<x<c时，y>0，求证：ac≤1．【答案】(1)①y=−12(2)见解析【分析】（1）①由抛物线经过2，0得b=2a，抛物线与直线y=x只有一个公共点得方程ax2−bx=x有两个相等的实数根，即Δ=0得b+1②顶点为1，12关于C0，−2对称点的坐标是−1，−92，关于点C中心对称的新抛物线y（2）平移后的抛物线为y=ax2−bx+c，又经过c，0，可得b=ac+1，当0<x<c时，y>0【详解】（1）①∵抛物线经过2,0∴4a−2b=0，即b=2a又∵抛物线与直线y=x只有一个公共点∴ax2−bx=x即Δ=∴b则a=∴此抛物线的解析式为y=−②∵抛物线y=−∴顶点为1，则顶点1，12关于C∴关于点C中心对称的新抛物线为y由y=−12x2又∵点A在点B的右边∴A2，0，则由勾股定理可得AB=（2）平移后的抛物线为y=a∵经过c，0，c>0∴a即b=ac+1又∵当0<x<cy>0∴对称轴x=∵a>0∴b≥2ac则ac+1≥2ac∴ac≤1【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象旋转、平移时改变位置，而a的绝对值不变是解题的关键．21．（2022·浙江·杭州启正中学九年级期中）已知二次函数y=14(x−2m)(1)小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？(2)已知点Pa−5,t，Q4m+3+a,t都在该二次函数图象上，求证：【答案】(1)小明的说法正确，理由见解析(2)见解析【分析】（1）设二次函数y=14(x−2m)2+3−4m的顶点坐标为x,y，由二次函数y=14(x−2m)2+3−4m的顶点坐标为2m,3−4m，可得x=2m①y=3−4m②，通过消去m，得到y=3−2x，从而证明了小明的说法正确；（2）由点Pa−5,t，Q4m+3+a,t【详解】（1）解：小明的说法正确，理由如下，设二次函数y=14(x−2m)∵二次函数y=14(x−2m)∴x=2m①由①得，m=x将③代入②中，可得，y=3−4x整理可得，y=3−2x，∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=3−2x上运动，小明的说法正确．（2）证明：∵点Pa−5,t，Q又∵点Pa−5,t，Q二次函数y=14(x−2m)∴xP即a−5+4m+3+a2整理得，a=1，∴点P−4,t，Q∵点P−4,t在二次函数y=∴t=1∴t=m【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y=x+1，其“青一点”为1,2．(1)①判断：函数y=2x+3“青一函数”（填“是”或“不是”）；②函数y=8x的图像上的青一点是(2)若抛物线y=m−1x2(3)若函数y=x2+m−k+2x+n4−k【答案】(1)①不是，②2,4或−2,−4(2)m<43(3)−3−52【分析】（1）①假设是青一函数，设出青一点坐标代入函数看是否有解，②设出青一点坐标代入函数解方程即可得解；（2）设出青一点坐标代入函数得到一元二次方程，令判别式Δ>0即可求出m（3）设青一点坐标为x,2x，代入函数得到一元二次方程，然后令Δ=0，得到n关于m的二次函数关系，求出对称轴，根据图像对称轴的位置与m的取值范围，分情况进行讨论，不同情况下与取得n最小值构成关于未知数k【详解】（1）解：①假设函数y=2x+3是青一函数，设青一点横坐标为a，纵坐标为2a，代入y=2x+3，得2a=2a+3此方程无解，故函数y=2x+3不是青一函数，故答案为：不是②设函数y=8x的图像上的青一点是n,2n，代入2n=解方程得n=±2故答案为：2,4或−2,−4（2）解：设抛物线y=m−1x2+mx+1则2x=整理得m−1∵有两个青一点∴Δ解不等式得：m<即m的取值范围是m<43（3）解：设函数y=x2则2x=整理得x∵存在唯一的一个“青一点”，∴Δ整理得n=则n关于m的二次函数关系，其图像对称轴为直线m=k当k<−1时，则m=−1时，n值最小为k整理得k2+3k+1=0，解得k当−1≤k≤3时，则m=k时，n值最小为k整理得k=0当k>3时，则m=3时，n值最小为3整理得k2−5k+9=0，综上得k的值为−3−52【点睛】本题考查了函数解析式与函数图像上点的坐标关系、二次函数根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识并采用分类讨论思想是解题关键．23．（2022·北京市西城外国语学校九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax+2a<0与(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值；(3)抛物线上的两点Px1,y1，Qx2,y【答案】(1)(0,2)；直线x=1；(2)−1；(3)t<−1或t>0．【分析】（1）令x=0可得点A坐标，直接用对称轴的公式写出抛物线的对称轴；（2）由当0≤x≤3时，y的最大值是3，可知抛物线开口向下，可知最大值是顶点纵坐标，最小值是在离对称轴比较远的x=3时取到；（3）分两种情况进行讨论：①当t+1<1时，需满足：x=t+1时的函数值小于x=t+3时的函数值，②t+1>1时，需满足：x=t时的函数值大于x=t+2时的函数值；分别列出不等式即可得到答案．（1）解：令x=0得y=2，∴A(0,2)；抛物线的对称轴为直线x=−−2a故点A(0,2)；抛物线的对称轴为直线x=1．（2）解：∵a<0，∴抛物线的开口向下，∵对称轴是直线x=1，在0≤x≤3时，y的最大值是3∴当x=1时，a−2a+2=3，∴a=−1，∴y=−x∵0≤x≤3，∴当x=3时，y取最小值，y=−(3−1)故当0≤x≤3时，y的最小值为−1．（3）解：对于t<x1<t+1，t+2<①当t+1<1时，需满足：x=t+1时的函数值小于x=t+3时的函数值，∴−(t+1−1)解得：t<−1，∴t<−1；②t+1>1时，需满足：x=t时的函数值大于x=t+2时的函数值，∴−(t−1)解得：t>0，∴t>0；综上所述，若对于t<x1<t+1，t+2<x2<t+3，都有y1【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，熟练地运用数形结合的思想方法与根据二次函数的性质列出不等式是解此题的关键．24．（2022·浙江·信达外国语学校九年级阶段练习）在直角坐标系中，设函数y=(x−m)((1)当m=1时，若该函数的图象经过点(2,6)(2)若n=m−1，且当x⩽−2时，y随(3)若该函数图象经过(0,a)，(3,b)两点（a、b是实数）当【答案】(1)y(2)m(3)0⩽【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x=m−（3）把(0,a)，(3,b)两点代入y=(x−【详解】（1）解：（1）当m=1时，则y把点(2,6)代入y=(x−1)(∴n∴y=(x（2）∵y∴抛物线与x轴的交点为(m,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=∴n∴对称轴为直线x=∵抛物线开口向上且当x⩽−2时，y随x∴m∴m（3）证明：∵函数的图象经过(0,a)，(3,b)两点∴a=mn∴==[−(∵2⩽m∴0<−(0⩽−(∴0⩽ab【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．25．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F(1)函数F1为y=x+1，F(2)函数F1为y=ax2+bx+c（(3)函数F1为y=m①已知A0,3、B−3,3，F2与线段AB②若m>0，当m−4≤x≤m−3时，设函数F2的最大值与最小值的差为ℎ，求ℎ关于m的函数解析式；并直接写出自变量m【答案】(1)y=x−1(2)y=−ax2(3)①m的取值范围为m<−23或m=−【分析】（1）根据中心对称的性质可得F2（2）同（1）方法写出函数解析式；（3）①分m>0,m<0两种情况讨论，当m>0时，F2与AB无交点，当m<0时，分顶点在AB上，以及与AB有2个交点的情况求得m②根据题意，分m−3≤−2，−2−m−4≥m−3−−2，−2−m−4<m−3−−2，且【详解】（1）解：∵函数F1和F2的图象关于原点对称．F1则F2∴F2的解析式为：−y=−x+1，即y=x−1故答案为：y=x−1；（2）解：函数F1为y=ax2F2的解析式为−y=a即y=−ax2+bx−c（3）∵函数F1为y=mx2∴F2：y=−mx2①∵A0,3、B当m>0时，当x=0时，y=5，当x=−3时，y=5+3m≠3，∴F2与AB当m<0时，当F2的顶点坐标在AB上时，4m+5=3解得m=−1当F2经过点B−3,3解得m=−结合函数图象可知m<−23时，当F2综上所述，m的取值范围为m<−23或②若m>0，当m−4≤x≤m−3时，设函数F2的最大值与最小值的差为ℎ∵F2：y=−mx21）当m−3≤−2，即m≤1，又m>0，即0<m≤1时，最大值为−mm−3+2最小值为−mm−4+2∴ℎ=−mm−1即ℎ=−2m2）当−2−m−4即m≤3最大值为4m+5，最小值为−mm−4+2∴ℎ=−mm−2即ℎ=−m3）当−2−m−4<m−3−−2即32最大值为4m+5，最小值为−mm−3+22+4m+5∴ℎ=−m3+24）当m−4>−2，当m−4>−2，即m>2时最大值为4m+5，最小值为−mm−3+22+4m+5∴ℎ=−m3+2综上所述，ℎ=−2【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，中心对称的性质，分类讨论是解题的关键．26．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）在y关于x的函数中，对于实数m，n(m>n)，当n≤x≤m时，函数y有最小值ymin，满足y(1)当n=2，m=4时，下列函数____（填序号）为“青一函数”．①y=x；②y=2x−3；③y=−1(2)当m=3n时，二次函数y=x2−2nx+2(3)已知二次函数y=x2−mx+n2【答案】(1)②③(2)n=1(3)n=4−219【分析】（1）根据一次函数的性质，分别求得最小值，与定义比较即可求解；（2）根据新定义，可得ymin=123n−n=n，根据当（3）根据二次函数y=x2−mx+n2（1）解：①y=x，1>0，y随x的增大而增大，当2≤x≤4时，函数y有最小值ymin=2，②y=2x−3，2>0，y随x的增大而增大，当2≤x≤4时，函数y有最小值ymin=2×2−3=1，③y=−12x+3，−12<0，y随x的增大而增减小，当2≤x≤4时，函数故答案为：②③；（2）当m=3n时，∵当n≤x≤3n时，y∵二次函数y=x∴抛物线开口向上，对称轴为x=n，顶点坐标为n,−n∴当x=n时，y∴−解得n=1或n=−2∵m=3n,m>n，则3n>n∴n>0∴n=1（3）∵二次函数y=x2−mx+∴即m=2+n∴y=x2==∴对称轴为x=n2∵当n≤x≤2+n时，函数y有最小值ymin①当n≤n2+1≤2+n∴x=n2+1时，函数解得n=4−2193②当2+n≤n2+1时，即n≤−2，y∵当n≤x≤2+n时，函数y有最小值ymin∴x=2+n时，ymin解得n=1+172③当n≥n2+1时，即n≥2时，y∵当n≤x≤2+n时，函数y有最小值ymin∴x=n时，y解得n=1（舍去）或n=4，综上所述，n=4−219【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（2022·吉林长春·九年级期末）已知二次函数y＝x2＋ax＋2a（a为常数）．(1)若a＝1，①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标；②当x≤n＋2时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围；③当－3≤x≤1时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求m－n．(2)若点A（－5，2）、点B（1，2），当此二次函数的图象与线段AB有两个交点时，直接写出a的取值范围．【答案】(1)①对称轴为直线x=−12，顶点坐标为(−12,7(2)13≤a＜4−22或4+22＜【分析】（1）①由a=1即可得到二次函数的解析式，再化为顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标；②由二次函数的开口方向和对称轴得到函数的增减性，即可得出当x<−12，y随x的增大而减小，当x>−12时，y随x的增大而增大，由当x≤n＋2时，函数值y随x的增大而减小时即可得到关于③结合二次函数的增减性求得m和n的值，即可求得m−n的值；（2）由二次函数图像与线段AB有两个交点，故函数最小值小于2，当x=−5和x=1时，y≥2，从而得到有关a的不等式组，然后解不等式组即可求得a的取值范围．(1)解：①当a=1时，y=x∴y=x∴对称轴为直线x=−12，顶点坐标为②∵y=(x+∴该函数图像开口向上，对称轴为直线x=−1∴当x<−12，y随x的增大而减小，当x>−12时，∵当x≤n+2时，函数值y随x的增大而减小，∴n+2≤−1∴n≤−5故答案为：n≤−5③∵当x<−12时，y随x的增大而减小，当x>−12时，y随∴当x=−12时，y取得最小值∵当x=−3时，y=(−3)当x=1时，y=1∴最大值m=8，∴m−n=8−7(2)∵点A(−5,2)，点B(1,2)，∴AB∥x轴∵二次函数的图像与线段AB有两个交点，∴y=x2+ax+2a的最小值小于2，x=−5∵y=x∴{2a−解得：13≤a<4−22∴a的取值范围是13≤a<4−22【点睛】此题考查了二次函数的图像的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟知数形结合以及利用二次函数的增减性解决问题．28．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）已知二次函数解析式为y=1ax2−a+2ax−1a≠0，该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点