2021国考新大纲国考中的“工程”与“行程”（讲义 笔记）

国考中的“工程”与“行程”（讲义）

启智职教的店

工程问题

赋值总量类

[例1]（2017国考）工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任

选3条生产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起

加工，则需要5天整。问如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一

起加工最多需要多少天完成？

A.11B.13

C.15D.30

【例2】（2014国考）甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。已知甲

队单独完成A项目需13天，单独完成B项目需7天；乙队单独完成A项目需11

天，单独完成B项目需9天。如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后

一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务：

A.1/12天B.1/9天

C.1/7天D.1/6天

赋值效率类

[例3]（2016国考）某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量

为阴雨天的2.5倍。灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇

水18天。小李6月1日0：00灌满水箱后，7月1日0：00正好用完。问6月

有多少个阴雨天？

A.10B.16

C.18D.20

【例4】（2019国考）有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与

甲、丙共同工作1天的工作量相同。A工程如由甲、乙组共同工作3天，再由乙、

丙组共同工作7天，正好完成。如果三组共同完成，需要整7天。B工程如丙组

单独完成正好需要10天，问如由甲、乙组共同完成，需要多少天？

A.不到6天B.6天多

C.7天多D.超过8天

[例5]（2018国考）工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续施工

30天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天

时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程

队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？

A.1.5B.2

C.2.5D.3

具体值类

[例6]（2019）某工厂有4条生产效率不同的生产线，甲、乙生产线效率

之和等于丙、丁生产线效率之和。甲生产线月产量比乙生产线多240件，丙生产

线月产量比丁生产线少160件，问乙生产线月产量与丙生产线月产量相比：

A.乙少40件B.丙少80件

C.乙少80件D.丙少40件

[例7]（2019国考）甲、乙两辆卡车运输一批货物，其中甲车每次能运输

35箱货物。甲车先满载运输2次后，乙车加入并与甲车共同满载运输10次完成

任务，此时乙车比甲车多运输10箱货物。问如果乙车单独执行整个运输任务且

每次都尽量装满，最后一次运多少箱货物？

A.10B.30

C.33D.36

2

同时开始同时结束

【例8】（2011国考）甲、乙、丙三个工程队的效率比为6：5：4,现将A、

B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙

队参与A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束。

问丙队在A工程中参与施工多少天：

A.6B.7

C.8D.9

[例9]（2014山东）A、B、C三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路

900米，李庄要修路1250米。已知A、B、C队每天分别能修24米、30米、32

米，A、C队分别在王庄和李庄修路，B队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两

地工程同时开始同时结束。问B队在王庄工作了几天？

A.9B.10

C.11D.12

牛吃草

【例10】（2013国考）某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60

人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人

进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

A.25B.30

C.35D.40

【例11】（2019安徽）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程

队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1台挖

沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快

让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么

工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？

A.4B.5

3

C.6D.7

行程问题

基础行程

[例1]（2018国考）一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600

公里，第三天比第一天少行驶200公里，三天共行驶了18个小时。已知第一天

的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？

C.1000D.1100

[例2]（2019国考）一个圆形的人工湖，直径为50公里，某游船从码头甲

出发，匀速直线行驶30公里到码头乙停留36分钟，然后到与码头甲直线距离为

50公里的码头丙，共用时2小时。问该游船从码头甲直线行驶到码头丙需用多

少时间？

A.50分钟B.1小时

C.1小时20分D.1小时30分

[例3]（2011国考）小王步行的速度比跑步慢50%,跑步的速度比骑车慢

50%„如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从

A城到B城需要多少分钟：

相遇追及

4

【例41（2019国考）甲车上午8点从A地出发匀速开往B地，出发30分钟

后乙车从A地出发以甲车2倍的速度前往B地，并在距离B地10千米时追上甲

车。如乙车9点10分到达B地，问甲车的速度为多少千米/小时？

A.30B.36

C.45D.60

流水行船

[例5]（2012国考）一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速

度是水速的3倍。现该船靠人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动

力桨行驶，用时比来时少2/5o问船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船

速度的多少倍：

A.2B.3

C.4D.5

多次相遇问题

[例6]（2011国考）甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5

米，乙每分钟游52.5米，两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，

如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇

了多少次：

A.2B.3

C.4D.5

[例7]（2015河北）某高校两校区相距2760米，甲、乙两同学从各自校区

同时出发到对方校区，甲的速度为每分钟70米，乙的速度为每分钟110米，在

路上两人第一次相遇后继续行进，到达对方校区后马上返回。那么两人从出发到

第二次相遇需要多少分钟？

A.32B.46

C.61D.64

5

[例8]（2017联考）甲车从A地，乙车从B地同时出发匀速相向行驶，第

一次相遇距离A地100千米。两车继续前进到达对方起点后立即以原速度返回，

在距离A地80千米的位置第二次相遇。则AB两地相距多少千米？

A.170B.180

C.190D.200

6

国考中的“工程”与“行程”（笔记）

【注意】1.现在距离考试的时间已经非常非常的短了，首先，你能做的就是

稳住，别人学你也学，两个人差不多；别人心慌你不慌，你多学的就是真正的。

2.工程和行程在国考中属于重点题型，是大家可以拿分的。大家不要担心自

己之前对这些题型不熟悉，讲冲刺课就有讲冲刺课的方法。第一步，先讲基础，

再讲题目，最后教大家如何去猜；第二步讲一讲数量没时间的情况下如何去做。

工程问题

近十年国考中的工程问题

2019I

总计201020112012201320142015201620172018

赋值总量11

赋值效率71111111

具体值类4112

同时开始1

同时结束

牛吃草11

合计1411211223

【注意】老师整理了2010年〜2019年近十年国考的工程问题：根据总计,

很显然考查最多的是赋值效率类，重点是效率类问题，平均每年工程问题考查

1.4道。

【知识点】工程问题：三量关系：总量=效率*时间。每一类问题老师都会逐

个进行分析，而且每一类都会讲快速做题的方法。

1.赋值总量类。

2.赋值效率类。

7

3.具体值类。

4.同时开始同时结束。

5.牛吃草。

赋值总量类

【知识点】赋值总量类：

1.题干给出多个主体的完工时间。

2.方法：

。赋总量(时间的公倍数)。

2算效率：效率=总量/时间。

9根据题意求解。

[例1](2017国考)工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任

选3条生产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起

加工，则需要5天整。问如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一

起加工最多需要多少天完成？

A.11B.13

C.15D.30

【解析】例1.这是国考当中唯一考过的一道关于时间类的工程问题。判定

题型，是工程问题给定时间类问题；有5条生产线，生产效率有快有慢，假设为

a>b>c>d>e。总量=效率*时间，“如果任选3条生产线一起加工，最快需要6

天整”，最快是abc,时间是6；“最慢需要12天整”，最慢是cde,时间是12；

“5条生产线一起加工，则需要5超”，5条合作是abcde,时间是5；(1)赋

总量：赋值总量为6、12、5的最小公倍数60,则abc效率为10,cde效率为5,

abcde效率为12。(2)算效率：问的是任选2条最多需要多少天，要想时间多，

就选生产最慢的两条de来生产，abcde-abc=de,解得de=2；(3)列式：产能扩

大一倍，现在de=4,时间=60/4=15天，对应C项。【选C】

【注意】上了考场没有时间做，根据“产能都扩大一倍”，说明时间要缩短

一半；如果没注意到这个，会错选D项，D项是出题人挖的坑，对应C项。

8

【例2】(2014国考)甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。已知甲

队单独完成A项目需13天，单独完成B项目需7天；乙队单独完成A项目需11

天，单独完成B项目需9天。如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后

一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务：

A.1/12天B.1/9天

C.1/7天D.1/6天

【解析】例2.这种题目是国考中比较难的题目，属于统筹类的题目。判定

题型，为给定时间型工程问题。有两个项目A和B,总量=效率*时间，甲完成A

的时间是13,乙完成A的时间是11；甲完成B的时间是7,乙完成B的时间是90

(1)设总量：甲完成A的总量=13*11,乙完成A的总量=13*11；甲完成B总量

=63,乙完成B总量=63；(2)算效率：甲完成A的效率为11,乙完成A的效率

为13；甲完成B的效率为9,乙完成B的效率为70(3)列式：用最短的时间完

成两个项目，乙完成A项目的效率高，A挑乙干；甲完成B项目的效率高，B挑

甲干，两人干活是不冲突的，甲干7天，乙干11天。甲干完7天的活之后，乙

干了13*7的A项目，还剩下4*13的A项目，甲、乙合作剩下的A项目的时间=

(4*13)/(11+13)=(4*13)/24=13/6=21最后一天完成1/6,对应D项。【选

6

D]

为30小7刍，rX

【注意】分母24是怎么来的？

比如甲在A干活需要13天，乙在A干活需要11天；甲在B干活需要7天,

9

乙在B干活需要9天。在A,甲的干活效率为11,乙的效率为13；在B,甲的效

率为9,乙的效率为70发现乙在A干活的效率高，让乙干A；甲在B干活的效

率高，让甲干Bo因为A、B总量是不同的，甲用7天干完B,乙干了13*7,剩

下4*13,由两个人一起干活，剩下时间=(4*13)/24=?。

6

赋值效率类

【知识点】赋值效率类：

1.题干给出效率之间的比例关系。

2.方法：

©赋效率(满足比例即可)。

2算总量：效率*时间=总量。

9求解。

3.效率比的七十二变：

(1)甲：乙=5：6o

2磨刀之后效率提升50%(提高1/2),原来/现在=2/3。

0效率相当(相当就是相同的意思)。

4甲2天或乙3天都可以做完，2甲=3乙，甲/乙=3/2。

S同样的时间内，甲做了50%,乙做了25%,甲：乙=2：lo

6本来有30台收割机在工作，再来20台收割机。出现多台机器，赋值

每台机器效率为1,原来/现在=(1*30)/[I*(30+20)]=30/50=3/50

[例3](2016国考)某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量

为阴雨天的2.5倍。灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇

水18天。小李6月1日0：00灌满水箱后，7月1日0：00正好用完。问6月

有多少个阴雨天？

A.10B.16

C.18D.20

【解析】例3.方法一：已知''晴天浇水量为阴雨天的2.5倍”，用Q表示晴

天，Y表示阴天，则Q/Y=2.5/1=5/大总量=效率*时间,已知晴天的效率是5,

10

时间是18天，总量=5*18=90。问6月有多少个阴雨天，设阴天有a天，晴天有

（30-a）天；可得：晴天+阴天=5*（30-a）+2*a=90,150—5a+2a=90,150-3a=90,

3a=60,解得a=20；说明阴天有20天，对应D项。

方法二：猜题。6月总共有30天，用Q表示晴天，Y表示阴天，Q+Y=30,发

现A项+D项=30天，排除B、C项；已知“在连续晴天的情况下可为植物自动浇

水18天”，但是灌满水到用完可以用30天，说明晴天V18天，问的是阴天的天

数，晴天是10天，阴天=20天，对应D项。【选D】

【注意】1.很多人列方程的时候设晴天为x,解得x=10,错选A项。这是出

题人挖的坑，晴天=10天，阴天=30-10=20天，对应D项。

2.第一种是官方解法，第二种是蒙题法，但蒙题是有风险的。

[例4]（2019国考）有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与

甲、丙共同工作1天的工作量相同。A工程如由甲、乙组共同工作3天，再由乙、

丙组共同工作7天，正好完成。如果三组共同完成，需要整7天。B工程如丙组

单独完成正好需要10天，问如由甲、乙组共同完成，需要多少天？

A.不到6天B.6天多

C.7天多D.超过8天

【解析】例4.依题意得，2乙=甲+丙①；（甲+2）*3+（乙+丙）*7=（甲+乙+

丙）=7②，由②整理得：3甲+3乙=7甲，4甲=3乙，甲/乙=3/4,甲=3,乙=4；

再代入①中，8=3+丙，解得丙=5；总量=效率*时间，丙=5*10=50；甲、乙合作的

时间=50/7=7匕是7天多，对应C项。[选C]

7

[例5]（2018国考）工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续施工

30天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天

时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程

队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？

A.1.5B.2

C.2.5D.3

【解析】例5.这道题是难题，大家要认真听。本题中出现多台机器，赋值

11

每台机器的效率为1。总量=效率*时间，“如连续施工30天，每天工作10小时，

正好按期完成”，时间是30*10；“投入80台挖掘机”，效率=80,总兽80*30*10。

过程中有10天时间无法施工，工期还剩8天时，问工程队若想按期完成，平均

每天需多工作多少个小时？已经干了12天，等价于问剩下18天干的活，假设时

间为T,依题意得，现在效率=80+70=150,18*10*80=150*8*T,解得T=12；发现

选项没有答案，问的是多工作的时间，答案=12-10=2小时，对应B项。【选B】

【注意】1.总量=效率*时间，原来=80*18*10,现在有150台机器，现在

=150*8*T,则80*18*10=150*8*。

2.要想按期完成，要把没干完的活抓出来干完。

【拓展】（2018辽宁）某工程50人进行施工。如连续施工20天，每天工作

10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5天时间无法施工。

工期还剩8天时，工程队增派15人开加班施工。若工程队想按期完成，则平均

每天需工作（）小时。

A.12.5B.11

C.13.5D.11.5

【解析】拓展.依题意得，前面完成了7天，总量=效率*时间，剩下=50*13*10；

现在增加15人，效率是65,设时间是T,现在=65*8*T；则50*13*10=65*8*T,

100=8*T,解得T=12.5,对应A项。【选A】

【答案汇总】1-5：CDDCB

12

具体值类

【知识点】具体值类：主要采用方程法：

1设未知数（缺什么设什么）。

2根据工作过程列方程。

[例6]（2019）某工厂有4条生产效率不同的生产线，甲、乙生产线效率

之和等于丙、丁生产线效率之和。甲生产线月产量比乙生产线多240件，丙生产

线月产量比丁生产线少160件，问乙生产线月产量与丙生产线月产量相比：

A.乙少40件B.丙少80件

C,乙少80件D.丙少40件

【解析】例6.给出具体多多少件，不能赋值，需要列方程求解。依题意得，

甲+乙=丙+丁①、甲=乙+240②、丁=丙+160③，问乙生产线月产量与丙生产线月

产量相比多少，要先把丁去掉，把②和③R入①中，整理乙+240+乙=丙+丙+160,2

乙-2丙=-80,乙-丙=-40,对应A项。【选A】

[例7]（2019国考）甲、乙两辆卡车运输一批货物，其中甲车每次能运输

35箱货物。甲车先满载运输2次后，乙车加入并与甲车共同满载运输10次完成

任务，此时乙车比甲车多运输10箱货物。问如果乙车单独执行整个运输任务且

每次都尽量装满，最后一次运多少箱货物？

A.10B.30

C.33D.36

【解析】例7.甲先运了2次，甲和乙又共同运了10次，从而得到总量。乙

干的活是10*乙，甲干的活是12*甲，根据题意，10*乙-12*甲=10,约分得到5*

乙-6*甲=5,甲=35,所以5*乙-6*35=5,约分得到乙-42=1,推出乙=43。总量=2*

甲+（乙+甲）*10=70+78*10=850。如果乙单独执行任务，求最后一次运的货物，

用850/43o

方法一：850/43=19……33,余数为33,所以最后一次运33箱。

方法二：860能被43除尽，860-850=10,所以少10箱，每次运43,因此最

13

后一次运了43-10=33。【选C]

同时开始同时结束

【知识点】同时开始同时结束：

1这类题型考查的是关系，“同时开始同时结束”代表的是时间一定是相同的，

T相同，丁=总量/总效率。先考虑总体过程，算出总时间，再考虑局部。

2例如：老三帮哥哥们干活，先帮大哥干活，再帮二哥干活，最完美的情况

是三兄弟同时干活，同时结束。整个过程中所有人都在干活，所以T=总量/总效

率。

3方法：

（1）先考虑整体过程，一起完成需要多少天。

（2）再考虑局部，根据题意列式求解。

[例8]（2011国考）甲、乙、丙三个工程队的效率比为6：5：4,现将A、

B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙

队参与A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束。

问丙队在A工程中参与施工多少天：

A.6B.7

C.8D.9

【解析】例8.找总量，根据“同时开始同时结束"，总量=效率*T,甲乙丙

一直一起干活，效率和为15,干了16天，因此两个工程总量=15*16。A、B两项

工作量相同，A工程量=B工程量=15*8=120。甲负责A工程，甲的效率为6,因

此甲干了6*16=96,剩下的120-96=24由丙干，丙的效率为4因此丙干了24/4=6

天。【选A】

[例9]（2014山东）A、B、C三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路

900米，李庄要修路1250米。已知A、B、C队每天分别能修24米、30米、32

米，A、C队分别在王庄和李庄修路，B队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两

地工程同时开始同时结束。问B队在王庄工作了几天？

14

A.9B.10

C.11D.12

【解析】例9.根据“同时开始同时结束”，总工程量=900+1250=2150=效率

*限总效率=24+30+32=86,T=2150/86=25天。王庄主要由A队负责，王庄剩下

部分由B队干，A队干了24*25=4*6*25=600,所以剩下的900-600=300由B队干，

B队的效率为30,所以B队工作了300/30=10天。【选B】

牛吃草

【知识点】牛吃草：基本公式y=(N-x)*T。1.(1)y：

代表原有存量的消耗量(比如：原有草量吃完啦)。

2N：促使原有存量消耗的变量(比如：牛数)。

9x：存量的自然生长速度(比如：草长速度)。

4T：时间。

2例如：原来的草是y,有牛在吃草，牛每天吃10个草，草自然生长8个，

相当于吃了原来草量的2份，所以每天对于原来的消耗量为2,y=(N-x)*T=(10-8)

*To

3题型判断：有生长有消耗；有明显的排比句。

4【弓I例】一片草地每天都以平均速度生长，已知这片草地可以供25头牛

吃12天，或者供40头牛吃6天。

(1)草生长速度是多少？

答:y=(N-x)*T,y=(25-x)*12=(40-x)*6。约分得到50-2x=40-x,解

得到x=10o

(2)这片草地有多少草？

答:y=(40-x)*6=180o

(3)问这片草地可以供50头牛吃多少天？

答：y=180=(50-10)*T,T=180/40=9/2=4.5天。

(4)要想6天，原有草的还剩40%,需要多少头牛？

答：原有草剩40%,y为消耗量，说明吃了6W，6海尸(N-10)*6,0.6*180=

(N-10)*6,从而求得No此题型只考过一次。

15

【注意】牛吃草问题是一种可持续发展的理念，体现了环保的意识，草长

10个吃10个，草长8个吃8个，草就可以保持不动。长多少吃多少就叫做可持

续发展。

【例10](2013国考)某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60

人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人

进行连续不间断的开采？(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)

A.25B.30

C.35D.40

【解析】例10.有生长有消耗，生长为河沙沉积，消耗为开采，有排比句，

所以判断为牛吃草问题，根据公式，y=(80-x)*6=(60-x)*10,约分得到240-

3x=300-5x,2x=60,解得x=30。最多为x时，能做到可持续开采，因此最多可

供30人开采。[选B]

【注意】判定题型为牛吃草问题，有明显的生长和消耗，有明显的排比句。

【例11】(2019安徽)某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程

队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1台挖

沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快

让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么

工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？

A.4B.5

C.6D.7

【解析】例11.判断题型为牛吃草问题。y=(N-x)*T=(1-x)*300=(2-x)

*100,约分得到3-3x=2-x,解得2x=Lx=0.5。从而得到y=(2-0.5)*100=150,

150=(N-0.5)*25,约分得到6=N-0.5,解得N=6.5台，6台不能满足要求，所

以至少需要7台。【选D】

【答案汇总】6-10：ACABB；11：D

16

行程问题

近十年国考中的行程问题

20191

1总计20102012201320142015201620172018

基础行程41111

相遇追及3111

流水行船211

比例行程

多次相遇11

口J1012211111

【注意】近十年国考中行程问题考查10道，考查了基础行程（4道）、相遇

追及（3道）、流水行船（2道）、比例行程（与其他知识点结合）和多次相遇（1

道），由此可见几乎每年必考。

【知识点】行程问题：

1.三量关系：路程=速度*时间。

2.基础行程；相遇追及；流水行船；比例行程；多次相遇问题。

3.行程问题核心思想：找对题型，对应公式和方法。

基础行程

[例1]（2018国考）一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600

公里，第三天比第一天少行驶200公里，三天共行驶了18个小时。已知第一天

的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？

A.800B.900

C.1000D.1100

【解析】例1.设三天全程的平均速度为Vo

方法一：第一天行驶了5v,第二天行驶了600,第三天行驶了5v-200,总

17

路程=5v+600+5v-200=18v,解得v=50。S=18v=900o

方法二：根据S=18v,18能被2和9整除，只有B项满足能被9整除。【选

B]

【注意】方法一是常规解法，方法二是蒙题法，抓住问题的核心，即共行驶

了18小时，S=18v,能被18整除，所以能被2和9同时整除，四个选项都能被

2整除，只有B项能被9整除。

[例2](2019国考)一个圆形的人工湖，直径为50公里，某游船从码头甲

出发，匀速直线行驶30公里到码头乙停留36分钟，然后到与码头甲直线距离为

50公里的码头丙，共用时2小时。问该游船从码头甲直线行驶到码头丙需用多

少时间？

A.50分钟B.1小时

C.1小时20分D.1小时30分

【解析】例2.直径为50公里，甲与丙的距离为50公里，因此甲和丙的连

线是直径，甲到乙的距离为30公里，因此乙和丙的距离为40公里。甲到乙到丙，

总共的距离为30+40=70公里，花的时间为120-36=84分钟，甲到丙距离为50

公里,设从甲直线到丙的时间为t,70/84=50/3根据比例关系,84/70=1.2,

因止匕t=50*1.2=60Wo[选B]

JKI/y,--UJOITL久〃JT丹口

【知识点】1.等距离平均速度：V=2V,*V2/(V1+V2)O

2.比例行程:S=v*To

(1)S相同，v和T成反比，Vj：V2=T2：T|O

18

(2)v相同，S和T成正比,S,：S2=T,：T2O

(3)T相同，S和v成正比，S,：S2=Vi：v2o

[例3](2011国考)小王步行的速度比跑步慢50%,跑步的速度比骑车慢

50%o如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从

AWiJB城需要多少分钟：

A.45B.48

C.56D.60

【解析】例3.根据“步行的速度比跑步慢50%,跑步的速度比骑车慢50%”，

步行=跑步*(1-50Q,所以步行：跑步=1：2,跑步：车=1：2,综合来看，步行：

跑步：车=1：2：4。骑车去，步行返回，可以用等距离平均速度，V=2*V,*V2/(V,+V2)

=2*4/5=8/5,2*S=v*t=8/5*2,因此S=8/5,跑步的速度为2,因此跑步需要的时

间=8/5+2=4/5小时=48分钟。【选B】

【知识点】相遇追及：

1.直线相遇：

(1)环境：两人同时相向而行，重点在相向。

(2)公式：S机遇=(V1+V2)*t,S机域就是一起跑的路程。

(3)例子：A和B相向而行，在相遇的地方找地方吃饭。A的速度是Vi=10m/s,

B的速度是V2=lm/s,两人同时开始，从开始到相遇，时间相同，Si=w*T,SZ=V2*T,

SI+S2=V|*T+V2*T=S相遇=(vi+v2)*To

Aa/内

1X转

.t\

2.环形相遇(同点出发，一定是相向而行)：

(D公式：S相遇=(V1+V2)*to

②相遇1次，S相遇二1圈;相遇2次,S相遇二2圈；相遇N次,S相遇二N圈。

19

3.直线追及：

（1）环境：两人同时同向而行。

（2）公式：S追及=（v-v2）*t0S迫及就是多走的距离（为了追上谁，多走的

那一段距离），也可以理解为两人刚开始的距离。

（3）例子：两人同时同向而行，A在后面追B,A的速度是v”B的速度是

v”v,>v2,从开始到追上,时间相同,A跑了Vi*t,B跑了v2*t,Sl-S2=Vi*t-v2*t=

（V|-V2）*t0

4.环形追及（同点出发）:

(1)公式：S追及=(v,-v2)*to

②追上1次，S迫及=1圈，追上N次，S迫及=N圈，类似运动会长跑，我跑

得快，在后面追上你，比你多跑一圈。

20

【例41（2019国考）甲车上午8点从A地出发匀速开往B地，出发30分钟

后乙车从A地出发以甲车2倍的速度前往B地，并在距离B地10千米时追上甲

车。如乙车9点10分到达B地，问甲车的速度为多少千米/小时？

A.30B.36

C.45D.60

【解析】例4.方法一：假设乙追上甲的点在C点。设甲的速度是v,“乙车

从A地出发以甲车2倍的速度前往B地”，则乙的速度是2v。甲车上午8点从A

地出发，在乙从A点出发的时候，甲开了1/2〃时。S迫及=（v乙-vQ*t=v/2=（2v-v）

*t,解得t=l/2小时，说明9点就追上了。C点离B地还有10千米“乙车9点

10分到达B地”,乙的速度是2v,则2v*T=10千米，T=10分钟（9点^9点10

分）=1/6小时，2v*l/6=10,解得v=30,对应A项。

方法二：蒙题。问甲的速度，乙的速度是甲的两倍，选项中存在2倍关系的

只有A项和D项，甲的速度小，蒙A项。【选A】

【知识点】流水行船：

1.V®=Va+V水，Vj（a=Vi）a_V水。

2.丫册=（V股+V逆）/2,V^=（V顺-V逆）/2。

3.VV船,V海：V水。

[例5]（2012国考）一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速

度是水速的3倍。现该船靠人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动

力桨行驶，用时比来时少2/5o问船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船

速度的多少倍：

A.2B.3

C.4D.5

【解析】例5.V顺=丫人+V水=3*V水，推出V人=2*V水，贝ijV人/V水=2/1,赋值V水

=1,V人=2。"现该船靠人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动力桨

行驶，用时比来时少2/5”,则说明T返=T去*（l-2/5）=T去*3/5,说明T/T去=3/5。

“原路返回时只开足动力桨行驶”，路程相同，速度和时间成反比，则V去外返=丁

21

返/T去=3/5,V去=丫人+丫水=3。返回时是逆流的,丫返=丫动一丫水,贝I」(V人+VQ/(V动

-V*)=3/5,则V动=6,6/2=3。叫B】

【答案汇总】1-5：BBBAB

【知识点】多次相遇问题(两端出发)：

1直线两端出发多次相遇：(2n-l)S=(v,+v2)*toS是直线两端距离，n

是相遇次数，vi、V2是两人速度，T是共同走过的时间。

2第一次相遇，共走1S。第二次相遇，共走3SO第三次相遇，共走5S。第

n次相遇，共走(2n-l)S,如果是第7次相遇，共走13S。

多次相里坤s出发a

22

【例6)(2011国考)甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5

米，乙每分钟游52.5米，两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，

如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇

了多少次：

A.2B.3

C.4D.5

【解析】例6.多次相遇问题，设相遇了n次(2n-l)S=(v.+v2)*t,代入

数据，(2n-l)*30=(37.5+52.5)*11/6=90*11/6,1分50种11/6分钟，解得

n=6.5/2=3.25,不到4次，相遇3次。【选B】

[例7](2015河北)某高校两校区相距2760米，甲、乙两同学从各自校区

同时出发到对方校区，甲的速度为每分钟70米，乙的速度为每分钟110米，在

路上两人第一次相遇后继续行进，到达对方校区后马上返回。那么两人从出发到

第二次相遇需要多少分钟？

A.32B.46

C.61D.64

【解析】例7.第二次相遇，两人共走了3S=(V,+V2)*T,则3*2760=(110+70)

*T,T=2760/60,首位商4,对应B项。[选B]

【注意】1.本题是给S,给n,求T,因为是第二次相遇，则3s=3*2760=速

度和*时间=180*T,解得T=2760/60,首位商4,对应B项。

2.变形：

(1)问两人从出发到46分钟的时候，两人相遇了几次，给S和T,求n0

(2n-l)*2760=180*46,解得n=20如果解得n=2.1或者n=2.999,都是不到3

次，是相遇2次。

(2)如果给n和T,求S。3s=180*46,解得S=60*46=2760。

【知识点】多次相遇在比例行程中的解法：

1两人共跑100米的时候，我跑10米；共跑200米的时候，我跑20米；共

跑300米的时候，我跑30米。

23

2第一次相遇，总路程是S,A跑了10米；第二次相遇，共跑了3S,A跑

30米。

[例8]（2017联考）甲车从A地，乙车从B地同时出发匀速相向行驶，第

一次相遇距离A地100千米。两车继续前进到达对方起点后立即以原速度返回，

在距离A地80千米的位置第二次相遇。则AB两地相距多少千米？

A.170B.180

C.190D.200

【解析】例8.“甲车从A地，乙车从B地同时出发匀速相向行驶”，第一

次相遇，共走S,其中甲走了100千米。第二次相遇，共走了3S,则甲应该走了

300千米。“两车继续前进到达对方起点后立即以原速度返回，在距离A地8