数学教案：函数的奇偶性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7（),\s\do5（整体设计）)教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶）函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境,会使数与形的结合更加自然．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式．课时安排1课时eq\o（\s\up7（），\s\do5(教学过程))导入新课思路1。同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(学生举例,再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称．)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2。结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题:函数的奇偶性．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出问题）)①如下图所示,观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x－3－2－10123f(x)＝x2x－3－2－10123f（x)＝|x｜③请给出偶函数的定义？④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x）＝x2，x∈［－1,2]是偶函数吗？⑥偶函数的定义域有什么特征？⑦观察函数f(x)＝x和f（x）＝eq\f(1，x）的图象,类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：①观察图象的对称性．②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．③利用函数的解析式来描述．④偶函数的性质：图象关于y轴对称．⑤函数f（x）＝x2，x∈[－1,2］的图象关于y轴不对称；对定义域［－1，2］内x＝2，f（－2）不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f（－x)＝f（x）不恒成立．⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称,再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明:(1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部"性质．讨论结果：①这两个函数之间的图象都关于y轴对称．②填表如下．x－3－2－10123f（x）＝x29410149x－3－2－10123f(x）＝|x｜3210123这两个函数的解析式都满足：f(－3)＝f(3)；f（－2)＝f(2);f(－1）＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x,都有f（－x）＝f（x)．③设函数y＝g(x）的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有－x∈D，且g（－x）＝g（x），则这个函数叫做偶函数．④偶函数的图象关于y轴对称．⑤不是偶函数．⑥偶函数的定义域关于原点轴对称．⑦设函数y＝f（x）的定义域为D,如果对D内的任意一个x，都有－x∈D,且f（－x）＝－f（x），则这个函数叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例））思路1例1判断下列函数是否具有奇偶性：（1)f(x)＝x＋x3＋x5；（2）f（x)＝x2＋1；(3)f（x)＝x＋1；(4）f(x)＝x2,x∈［－1,3］．解：（1）函数f(x）＝x＋x3＋x5的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x）＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f（x),所以函数f（x)＝x＋x3＋x5是奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R。因为f（－x）＝（－x)2＋1＝x2＋1＝f（x），所以f(x)＝x2＋1是偶函数．（3)函数f（x）＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R。因为f（－x)＝－x＋1＝－(x－1），－f（x）＝－(x＋1)，所以f(－x）≠－f（x），f（－x)≠f（x)．因此,f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数．(4）因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈［－1，3]，而－3［－1，3]，所以f（x)＝x2，x∈［－1,3]既不是奇函数也不是偶函数．点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内,此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f（－x)与f（x)的关系．③作出相应结论：若f（－x)＝f（x)或f(－x)－f(x）＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f（x）或f(－x)＋f（x)＝0，则f(x)是奇函数.变式训练判断下列函数的奇偶性：(1)f（x）＝x4；（2）f（x)＝x5;(3)f（x）＝x＋eq\f（1,x）;（4）f(x)＝eq\f（1，x2）.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(－x）＝f(x）或f(－x)＝－f（x)．解：（1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f（－x)＝(－x)4＝x4＝f(x）,所以函数f（x）＝x4是偶函数．（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x）＝(－x)5＝－x5＝－f（x)，所以函数f(x）＝x5是奇函数．(3)函数的定义域是（－∞，0）∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－x＋eq\f(1，－x)＝－（x＋eq\f(1,x)）＝－f(x），所以函数f（x)＝x＋eq\f(1,x)是奇函数．(4）函数的定义域是(－∞,0）∪(0，＋∞），对定义域内任意一个x,都有f（－x）＝eq\f（1，(－x）2）＝eq\f(1,x2）＝f(x），所以函数f（x)＝eq\f（1,x2）是偶函数．例2研究函数y＝eq\f(1,x2）的性质并作出它的图象．解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即｛x∈R｜x≠0}．由函数的解析式可以推知：对任意的x值，对应的函数值y＞0，函数的图象在x轴的上方;函数的图象在x＝0处断开，函数的图象被分为两部分，且f(－x）＝f(x)，这个函数为偶函数；当x的绝对值变小时,函数值增大得非常快，当x的绝对值变大时，函数的图象向x轴的两个方向上靠近x轴．由以上分析，以x＝0为中心，在x轴的两个方向上对称地选取若干个自变量的值,计算出对应的y值，列出x，y的对应值表:x…－3－2－1－eq\f（1，2）…0…eq\f(1,2)123…y…eq\f(1，9）eq\f（1,4）14…不存在…41eq\f（1，4）eq\f(1，9）…在直角坐标系中,描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如下图所示．由图象可以看出，这个函数在（－∞，0）上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．点评：当函数y＝f(x)不是基本初等函数时,通常利用其性质来画其图象，即根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性来估计其图象的特点.变式训练画出函数y＝eq\f（1，x3)的图象．解：函数定义域是｛x|x≠0｝，值域是{y|y≠0｝,因此其图象与两坐标轴均无交点．又∵f(－x）＝eq\f（1,（－x)3)＝－eq\f(1,x3）＝－f(x）．∴函数y＝eq\f（1，x3)是奇函数，其图象关于原点对称．利用描点法画出函数y＝eq\f(1,x3)在(0，＋∞)上的图象，再作出该部分关于原点的对称图象，这两部分合起来就是函数y＝eq\f(1，x3)的图象．如下图所示．思路2例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2，x∈[－1,2];（2)f(x）＝eq\f（x3－x2,x－1)；(3）f(x)＝eq\r(x2－4)＋eq\r（4－x2).活动:学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f（x）的关系．在（4)中注意定义域的求法，对任意x∈R，有eq\r（1＋x2）＞eq\r（x2）＝|x|≥－x，则eq\r（1＋x2）＋x＞0。则函数的定义域是R。解：（1)因为它的定义域［－1，2］不关于原点对称，函数f（x）＝x2，x∈[－1,2］既不是奇函数又不是偶函数．（2)因为它的定义域为｛x｜x∈R且x≠1｝，并不关于原点对称,函数f(x）＝eq\f（x3－x2，x－1)既不是奇函数又不是偶函数．（3)∵x2－4≥0且4－x2≥0，∴x＝±2,即f（x)的定义域是{－2,2｝．∵f(2）＝0，f(－2)＝0，∴f（2)＝f(－2），f(2）＝－f(2）．∴f（－x）＝－f(x）,且f（－x)＝f(x）．∴f(x)既是奇函数也是偶函数．点评:本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时，判断f（－x)与f(x）或－f（x）是否相等；（2）当f（－x）＝f（x）时,此函数是偶函数；当f(－x）＝－f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(－x）＝f(x)且f（－x)＝－f（x）时，此函数既是奇函数又是偶函数.变式训练1．函数f（x）＝2x2＋x4，x∈［a，1＋a］是偶函数，则实数a＝________.答案:－eq\f（1,2)2．判断下列函数的奇偶性．（1）y＝x2，x∈［－1，1)；（2)y＝x3＋eq\f（2,x)；（3)y＝eq\r(x2＋1）.答案：(1）非奇非偶函数；（2)奇函数；（3）偶函数。例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f（x1·x2）＝f(x1)＋f（x2),且当x＞1时f（x)＞0，f(2)＝1，（1)求证：f(x）是偶函数;(2)求证：f(x）在(0，＋∞)上是增函数；（3）试比较f(－eq\f（5,2)）与f（eq\f（7,4））的大小．分析：（1）转化为证明f（－x)＝f(x)，利用赋值法证明f（－x）＝f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性,将函数值f(－eq\f（5,2）)和f（eq\f(7,4））转化为同一个单调区间上的函数值．(1）证明：令x1＝x2＝1，得f(1）＝2f(1)，∴f（1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f（1）＝f［－1×（－1)]＝f(－1）＋f(－1），∴2f（－1）＝0。∴f（－1)＝0。∴f（－x）＝f（－1·x)＝f(－1)＋f（x)＝f（x)．∴f（x)是偶函数．（2)证明:设x2＞x1＞0，则f(x2）－f（x1)＝f(x1·eq\f（x2，x1))－f(x1)＝f(x1)＋f(eq\f(x2,x1））－f（x1)＝f(eq\f(x2，x1))．∵x2＞x1＞0，∴eq\f（x2，x1)＞1。∴f(eq\f(x2，x1)）＞0,即f（x2）－f（x1)＞0。∴f(x2)＞f(x1）．∴f（x)在（0，＋∞)上是增函数．(3）解：由（1)知f（x)是偶函数,则有f（－eq\f（5,2))＝f(eq\f（5，2）)．由（2)知f(x)在（0,＋∞）上是增函数，则f（eq\f(5,2))＞f（eq\f(7，4））．∴f(－eq\f(5,2））＞f（eq\f（7，4）)．点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值。变式训练已知f（x）是定义在（－∞,＋∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y，f(x）都满足f(xy）＝yf(x)＋xf(y)．（1）求f(1）、f（－1）的值；（2)判断f(x）的奇偶性，并说明理由．分析：（1)利用赋值法，令x＝y＝1得f（1)的值，令x＝y＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f（－x）＝－f（x）．解:(1)∵f(x)对任意x、y都有f(x·y）＝yf(x)＋xf(y)，∴令x＝y＝1时,有f(1·1)＝1·f(1）＋1·f（1)．∴f(1）＝0。∴令x＝y＝－1时，有f[（－1）·（－1）］＝（－1)·f（－1)＋(－1)·f（－1)．∴f（－1）＝0.（2）是奇函数．∵f(x)对任意x、y都有f（x·y）＝yf（x)＋xf(y),∴令y＝－1,有f（－x)＝－f(x)＋xf(－1）．将f(－1）＝0代入得f(－x)＝－f（x），∴函数f(x)是(－∞，＋∞）上的奇函数.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能训练)）1．设函数y＝f(x）是奇函数．若f(－2）＋f（－1）－3＝f(1）＋f(2）＋3，则f（1）＋f（2)＝__________.解析：∵函数y＝f(x)是奇函数,∴f（－2)＝－f（2）,f（－1)＝－f（1）．∴－f(2）－f（1)－3＝f（1）＋f(2）＋3.∴2[f(1）＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f（2）＝－3。答案：－32．f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝__________,b＝__________.解析:∵偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0。∴a＝eq\f(1，3）.∴f(x）＝eq\f(1，3）x2＋bx＋1＋b。又∵f(x）是偶函数，∴b＝0。答案：eq\f（1，3)03．已知定义在R上的奇函数f(x）满足f(x＋2）＝－f（x)，则f（6)的值为(）A．－1B．0C．1D．2解析：f(6)＝f(4＋2）＝－f（4）＝－f(2＋2）＝f（2）＝f（2＋0)＝－f(0）．又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0）＝0.∴f（6）＝0.答案:Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升)）问题：利用图象讨论基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法:图象法,可得正比例函数y＝kx（k≠0)是奇函数；反比例函数y＝eq\f(k，x)(k≠0)是奇函数；一次函数y＝kx＋b（k≠0)，当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)，当b＝0时是偶函数,当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结))本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业)）课本本节练习B1、2.eq\o(\s\up7（）,\s\do5(设计感想）)单调性与奇偶性