数学教案：函数的零点

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计)）教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着密切联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般,由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是:“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图象和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系,学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数,学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般"的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点教学重点：根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学难点：理解函数的零点．课时安排1课时eq\o（\s\up7(),\s\do5（教学过程）)导入新课思路1。(情境导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同"的时段？学生思考或讨论回答：三次：（1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段;（3）由落后到领先必经过“平分"时段．点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图象与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面学习埋好伏笔．思路2。(事例导入)（多媒体动画演示）一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面?炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如下图所示．思路3。（直接导入）教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题）)①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x＋1＝0的根,画函数y＝x2－2x＋1的图象.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤归纳函数零点的概念.⑥如何判断一元二次方程根的个数,如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它的零点情况是怎样的？⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点?活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:①先求方程的两个根,找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象（图甲)．甲乙丙②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图乙）．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图丙)．④方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗?⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”?由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢?讨论结果:①方程的两个实数根为－1，3，图象如图甲．②方程的实数根为1，图象如图乙．③方程没有实数根,图象如图丙．④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标．⑤一般地，如果函数y＝f(x）在实数α处的值等于零，即f(α）＝0,则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α,0）点．⑥我们知道,对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1，0)、（x2，0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点;当Δ＝b2－4ac＝0时,方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2（重根），相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点（x1，0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个二重的零点或说有二阶零点;当Δ＝b2－4ac＜0时,方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点,这时二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点．⑦方程f（x）＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x）＝x2－2x－3的图象，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间［－2,1］上有零点．计算f(－2)与f(1）的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2，4]同样如此．可以发现，f(－2）f(1）＜0，函数y＝x2－2x－3在区间（－2,1）内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2）f（4)＜0，函数y＝x2－2x－3在（2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f（x）在闭区间［a，b］上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b）内，函数y＝f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例)）思路1例求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点,并画出它的图象．解:因为x3－2x－x＋2＝x2（x－2）－(x－2）＝(x－2）（x2－1)＝（x－2）(x－1）（x＋1）,所以已知函数的零点为－1,1,2。3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，（－1,1)，（1，2),[2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点,列出这个函数的对应值表:x…－1。5－1－0。500。511。522。5…y…－4。3801.8821。130－0。6302.63…在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如上图所示．不难看出，这一函数图象通过三个零点时,函数值分别改变了符号，并且在每个区间内,函数值保持同号．点评：本题主要考查函数的零点．讨论函数的零点通常转化为方程的解。变式训练1.判断函数y＝|x－1|－2零点的个数．解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图象，如下图所示．函数y＝｜x－1｜－2的图象与x轴有两个交点,所以函数y＝｜x－1|－2有两个零点．2．求证：函数f（x）＝2x2－3x－2有两个零点．证法一：因为一元二次方程2x2－3x－2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0,所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根．所以函数f（x）＝2x2－3x－2有两个零点．证法二：因为一元二次方程2x2－3x－2＝0可化为(2x＋1）（x－2）＝0，所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根x1＝2，x2＝－eq\f(1，2）。所以函数f(x）＝2x2－3x－2有两个零点．证法三：因为函数f(x）＝2x2－3x－2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f(0）＝－2＜0，所以函数f(x）＝2x2－3x－2有两个零点．如下图.思路2例若方程2ax2－x－1＝0在(0,1）内有解，求实数a的取值范围．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析,可以找到捷径．③有两种情况:a＝0，或a≠0，Δ≥0。解：令f(x）＝2ax2－x－1，(1）当方程2ax2－x－1＝0在（0,1)内恰有一个解时，f（0）·f（1)＜0或a≠0且Δ＝0,由f（0)·f(1)＜0,得（－1）(2a－2）＜0,所以a＞1.由Δ＝0,得1＋8a＝0，a＝－eq\f（1，8)，所以方程为－eq\f(1，4）x2－x－1＝0,即x＝－2(0，1)(舍去)．综上可得a＞1.（2)当方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内有两个解时，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，，f0>0，，f1〉0，,0<\f(1，4a）〈1，,f\f(1,4a)<0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a〈0,,f0<0,，f1〈0，,0〈\f(1，4a）〈1，,f\f(1,4a)>0，))容易解得实数a不存在．综合(1)(2），知a＞1.变式训练若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，求实数a的取值范围．解：(1）当a＝0时,x＝0满足题意．(2）当a≠0时，设f(x）＝ax2＋3x＋4a.方法一：若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ＝9－16a2≥0,，－\f（3,2a)<1，af1>0，）)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（3,4)≤a≤\f(3,4）,,a〉0或a<－1。5，，a>0或a〈－0。6。)）∴0＜a≤eq\f（3，4).综上(1)（2),得0≤a≤eq\f（3，4）.方法二:若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ＝9－16a2≥0，,x1＋x2<2,,（x1－1）（x2－1)>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Δ＝9－16a2≥0，，x1＋x2〈2，,x1x2－（x1＋x2)＋1>0,)）即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝9－16a2≥0，,－\f(3，a）〈2，,4＋\f（3，a)＋1>0，))解得0＜a≤eq\f(3，4).综上（1）(2)，得0≤a≤eq\f（3,4)。点评：方法一结合函数图象利用函数符号列不等式组．方法二代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能训练))1．判定方程（x－2）(x－5)＝1有两个相异的实数解,且一个大于5，一个小于2。分析：转化判断函数f（x)＝（x－2)（x－5）－1在(－∞，2)和（5，＋∞）内各有一个零点．解:考虑函数f(x)＝(x－2）（x－5）－1,有f（5）＝（5－2）(5－5)－1＝－1，f（2）＝（2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如下图）,所以抛物线与横轴在（5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2）内也有一个交点．所以方程（x－2)(x－5）＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。点评：这里说“若f(a)·f（b）＜0，则在区间(a，b）内,方程f(x）＝0至少有一个实数解”，指出了方程f（x）＝0实数解的存在,并不能判断具体有多少个实数解．2．已知m∈R，设P：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式｜m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立;Q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋eq\f(4,3）有两个不同的零点,求使P和Q同时成立的实数m的取值范围．解：由题意知x1＋x2＝a，x1x2＝－2，∴｜x1－x2｜＝eq\r（(x1＋x2）2－4x1x2）＝eq\r(a2＋8)。当a∈［1，2]时，eq\r(a2＋8）的最小值为3.要使｜m－5|≤｜x1－x2｜对任意实数a∈[1，2］恒成立,只需｜m－5|≤3，即2≤m≤8.由已知得Q中：f（x）＝3x2＋2mx＋m＋eq\f（4,3)的判别式Δ＝4m2－12（m＋eq\f(4，3））＝4m2－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4.综上，要使P和Q同时成立，只需eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2≤m≤8，，m<－1或m>4,)）解得实数m的取值范围是（4,8］．3．关于x的方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围．解:设f（x）＝x2－ax＋a2－7，图象为开口向上的抛物线（如下图）．因为方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f（x）＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，另一个小于2。即函数f(x）＝x2－ax＋a2－7的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧．只需f(2）＜0，即4－2a＋a2－7＜0,所以－1＜a＜3。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升）)问题：如果函数y＝f（x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a）f(b）＞0,那么函数y＝f（x）在区间(a，b）内是否有零点？可能有几个零点？活动:学生先思考或讨论，再回答．利用函数图象进行探索分析：①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间［－3，3］上函数零点个数，（1）可能没有零点如图甲．甲乙（2)可能有一个零点如图乙．（3）可能有两个零点如图丙．丙丁（4)可能有三个零点如图丁．(5)可能有n（n∈N＋）个零点，图略．点评：在区间[－3,3］上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\