数学教案：古典概型第二课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时新课导入设计思路一：（问题导入)请同学们思考下面的问题：在一个有50名学生的班级，至少有两位同学生日在同一天的概率是多少？设计思路二：（情境导入）(1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件.（2）一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1，2,3,…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点?推进新课新知探究对于导入思路一：50个人的生日问题，这里的基本事件是什么呢？那一定是n个人的生日情况的所有可能性，共有多少个基本事件?事件“至少有一对生日相同”所包含的基本事件的个数如何来统计呢？是否符合古典概型呢？如果说你能够说明它是古典概型，能够清楚地找到基本事件,能够分析好事件“至少有一对生日相同”包含了多少个基本事件，就能够利用古典概型的概率计算公式计算出概率。在同学们讨论的过程中，回顾复习有关古典概型的相关内容：基本事件的概念：在一次试验中出现的每一个结果称为基本事件。等可能事件的意义：如果在一次试验中，每一个基本事件发生的可能性都相同,那么称这些基本事件为等可能事件。古典概型的两个特点：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即具有有限性；(2)每个基本事件出现的可能性相等即具有等可能性。古典概型的概率的计算方法:倘若一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P（A）=。对于导入思路二：通过学生的讨论、分析和总结，复习古典概型的有关知识。古典概型具有的两个特点：（1）试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是。如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P（A)=。从集合的角度看古典概型概率的计算问题。在一次试验中,等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素。各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于集合I的含有m个元素的子集,因此从集合的角度看，事件A发生的概率等于子集A含有的元素的个数与集合I含有的元素个数的比值.应用示例思路1例1从字母a,b，c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？分析：我们可以按照字母排列的顺序,把所有可能的结果都列出来。利用树形图可以将它们之间的关系列出来.(树形图)解：所求的基本事件共有6个：A=｛a，b}，B=｛a,c}，C=｛a，d｝，D=｛b，c｝，E=｛b,d}，F={c,d}。点评:我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树形图是列举法的基本方法,一般分布完成的结果(两步以上）可以用树形图进行列举.例2从标有1，2，3，…，8，9的9张卡片中任取2张，那么这2张卡片的数字之和为偶数的概率为________________。解析:记“从标有1，2，3,…，8，9的9张卡片中任取2张卡片的数字之和为偶数”为事件A,从标有1，2，3，…，8，9的9张卡片中任取2张，共有36种等可能结果,即共有36个等可能基本事件，要使事件A发生，则取出的两张卡片可以分为两类：一类是卡片上的数字都为偶数，共有6种等可能结果即6个等可能基本事件；另一类是卡片上的数字都为奇数，共有10种等可能结果即共有10个等可能基本事件，因此，事件A包含的基本事件总数为16个，所以P(A）=.答案:点评:本题在计算事件“从标有1，2，3,…，8，9的9张卡片中任取2张卡片的数字之和为偶数”时采用了分类讨论的方法。分类讨论是非常重要的数学思想方法。另外，本题还可以设置以下的问题,如“从标有1，2，3，…,8，9的9张卡片中任取2张卡片的数字之和为奇数的概率”，“从标有1，2,3,…，8，9的9张卡片中任取2张卡片的数字之积为偶数的概率”等。例3同时掷两个骰子，计算:（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？分析：本题可以考虑用枚举法得到等可能基本事件的总数，再通过所列举出来的等可能基本事件得到事件“向上的点数之和是5”所包含的基本事件的总数，最后运用古典概型的概率公式求解.解:(1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分,由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对,我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。（可由列表法得到）由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种。(2）在上面的结果中,向上的点数之和为5的结果有4种,分别为：（1，4)，(2，3），（3,2)，(4,1）。（3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果（记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P（A）＝＝.点评:枚举法是解决计算等可能基本事件总数和某一个事件所包含的基本事件总数最有效的方法,而在枚举时可以用列表、树形图等方法.例4用三种不同颜色给下图中的三个矩形随机染色，每个矩形只涂一种颜色,求：（1)3个矩形颜色都相同的概率;（2）3个矩形颜色都不同的概率。分析：本题中的基本事件较多,为了清楚地枚举出所有可能的基本事件，可画图枚举如下：解：本题的基本事件共有27个,见上图。(1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由上图可知，事件A的基本事件有1×3=3个，故P(A）=。（2）“3个矩形颜色都不同”为事件B，由上图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故P（B）=。答：（1）3个矩形颜色都相同的概率为；（2）3个矩形颜色都不同的概率为。点评：本例体现了“数形结合"的巧妙性与重要性.运用这种树形图，可以很轻松地得到等可能事件的总数以及某一事件所包含的基本事件的总数.例5一个口袋有6个球，其中4个白球，2个黑球，求下列各事件的概率：(1)从中任意取出2个,连续取出的2个都是白球；（2）从中取出一个，然后放回后再摸出一个，两次摸出的球是一黑一白；(3）从中摸出一个是黑球，放回后再摸出一个是白球；（4)从中摸出两个球，一个是黑的，一个是白的；(5)从中摸出两个球,先摸出的是黑球，后摸出的是白球.分析：本题可以考虑用枚举法计算等可能基本事件的总数，此外,分清“有放回"和“不放回”是正确解答本题的关键。解：（1)记“连续取出的2个都是白球”为事件A,任意取出两个球，共有15个等可能基本事件，而事件A包含了其中的6个基本事件，所以P(A)==0。4.（2）记“从中取出一个,然后放回后再摸出一个，两次摸出的球是一黑一白”为事件B，从中摸出一个,放回后再摸出一个，共有6×6=36个等可能基本事件，而事件B包含了其中的2×4×2=16个基本事件，所以P(B）=。（3）记“从中摸出一个是黑球，放回后再摸出一个是白球"为事件C,从中摸出一个，放回后再摸出一个，共有6×6=36个等可能基本事件，而事件C包含了其中的4×2=8个基本事件，所以P(C）=.(4）记“从中摸出两个球，一个是黑的，一个是白的"为事件D，从口袋中任意取出两个球，共有15个等可能基本事件，而事件D包含了其中的8个基本事件，所以P（A）=。(5）记“从中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球”为事件E,从中先后摸出两个球,共有6×5=30个基本事件，而事件E包含了其中的8个基本事件,所以P（E)=.点评：在解本题时注意:一要分清“放回”和“不放回”，二要弄清取球时是否有先后顺序，这样才能正确解答“取球”问题。思路2例1在盒子中有十个相同的球,分别标为号码1,2，…10，从中任取一球,求此球的号码为偶数的概率.分析：用枚举法正确计算出事件“从十个标有号码为1,2，…10的球中任取一个”的基本事件总数以及正确计算事件“从十个标有号码为1，2,…10的球中任取一个，所取的球的号码为偶数”包含的基本事件总数，最后用公式计算概率。解：记事件A“所取球的号码为偶数”，因为是从十个标有号码为1，2,…10的球中任取一个，所以该试验有10个可能的结果，即该试验有10个基本事件，且是等可能的。事件A“所取球的号码为偶数"发生就是指所取球的号码为2,4，6，8，10，共包含5个基本事件，所以P(A)=510=.答:所取球的号码为偶数的概率为.点评：求一个事件的概率，可以从不同的角度来考虑，因而有不同的解法.对于本题一定要认清该试验的基本事件是什么，否则引起混淆并导致谬误。本题还有如下解法：该试验共有2个可能的结果,即所取球的号码为偶数，所取球的号码为奇数，且是等可能的.所以所取球的号码为偶数的概率为。例2同时抛掷两颗骰子,计算向上一面的点数之和为奇数的概率.有人解答如下:点数和为奇数，可取3，5,7，9,11共5种可能结果，点数之和为偶数，可取2,4，6，8,10，12共6种可能结果，因此,出现点数之和为奇数的概率为.这样的解答正确吗？如有错误，说明理由，并给出正确的解答.分析:正确理解古典概型的特点,再求出等可能事件的总数以及某一个事件所包含的基本事件总数，最后计算概率.解：题中的解答是错误的，因为点数之和为奇数和偶数的11种可能结果不是等可能的，因而不能用古典概型来求解.正确解答如下：抛掷两颗骰子共有n=36种等可能的结果，即共有n=36个等可能基本事件，其中点数之和为奇数的事件A含有的等可能的结果即事件A包含等可能基本事件的个数为m=18，所以P(A）==0。5.点评：在解古典概型的问题时，一定要满足古典概型的两个特征：（1)所有的基本事件只有有限个;（2)每个基本事件的发生都是等可能的。此外本题还可以有如下的解法：解法一：抛掷两颗骰子共有基本事件：偶偶、偶奇、奇偶、奇奇，即n=4，其中点数之和为奇数的事件A包含的基本事件数为m=2，所以P（A）=0.5.解法二：抛掷两颗骰子共有基本事件：向上一面的奇偶性相同、向上一面的奇偶性相异，即n=2，其中点数之和为奇数的事件A包含的基本事件数为m=1，所以P(A）=0。5。例3甲、乙两人参加知识竞赛，共有10个不同的题目,其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.（1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？分析：要解决本题所涉及的概率计算问题,首先要计算各个事件所包含的基本事件的总数.解：甲、乙两人依次从10个不同的题目中随机地各抽取一题，其中一人抽取时有10种可能的结果,接下来抽取时，第一人抽取的每一个结果对应第二人的有9种可能的结果，即可能出现的结果有10×9=90种可能的结果，因此，事件“甲、乙两人依次从10个不同的题目中随机地各抽取一题"共有90个等可能基本事件。（1）甲从6道选择题中抽取一题的可能结果有6种，乙在甲抽完后在4道判断题中抽取一题的可能结果有4种，因此，甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果有6×4=24种，即事件“甲抽到选择题，乙抽到判断题”包含的等可能基本事件有24个，所以,事件“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为P=。(2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题可以分为以下三种情形：①甲抽到选择题，乙抽到选择题，可能的结果有6×5=30种;②甲抽到选择题，乙抽到判断题,可能的结果有6×4=24种；③甲抽到判断题,乙抽到选择题,可能的结果有4×6=24种；所以甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的可能结果有30+24+24=78种，即事件“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题"包含的等可能基本事件总数为78种.所以，事件“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P=.点评：对于（2）还可以用如下的方法解答：甲、乙两人都抽到判断题的可能结果为4×3=12种，所以，事件“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题"包含的等可能基本事件总数为90－12=78种，因此,事件“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P=.这种解法在计算事件“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”包含的等可能基本事件总数时采用逆向思维的方式，先求事件“甲、乙两人都抽到判断题”包含的等可能基本事件总数，再用事件“甲、乙两人依次从10个不同的题目中随机地各抽取一题”的等可能基本事件的总数90减去事件“甲、乙两人都抽到判断题”包含的等可能基本事件总数12得到事件“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”包含的等可能基本事件总数.值得注意的是采用逆向思维的方式解决概率问题是常用的方法.知能训练1。从5名学生中选出3人作代表，其中某甲被选中的概率为________________.2。有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙,则从4把钥匙中任取2把，能打开甲、乙两把锁的概率为________________。3。将10本不同的书排在书架上(同一层），其中指定的3本书恰好放在一起的概率为________________。4.从1，2，3,4，7中任选4个不同的数字填入等式中的空格，能使等式成立的概率为________________。5。从所有的三位正整数中任取一个数，它既是2的倍数又是5的倍数的概率为________________.解答:1.2。给钥匙编号,甲锁的两把：A1，A2，乙锁的两把B1,B2选出的2把中，只要有A，有B就可以了。3.（指定的三本书放在一起,看作一个元素）P(A)=.4.注意到只有3个算式可以满足:3×4=12，2×7=14,3×7=21,但注意到乘法满足交换律，故P=.5.三位数共有900个（从100到999），其中既被2整除又被5整除即为被10整除，这样的数只有90个，∴P=.点评：选择合适的解题角度，采用直接或间接（如逆向思维)的思想方式解决有关的概率问题。课堂小结求一个事件的概率，可以有不同的解法，但一定要认清该试验的基本事件是谁，否则要引起混淆并导致谬误.用数形结合的方法可以大大简化我们的思维量.如果从正面考虑一个问题比较困难或难以入手时，我们可以从这个问题的反面去分析、考虑。在解有关概率问题时，可以按照如下步骤进行:第一步：先判断该试验是否符合古典概型；第二步:求出该试验共包含多少个等可能的基本事件，记为n；第三步:求出要求概率的事件A包含了多少个基本事件，记为m；第四步:根据古典概型的概率计算公式的P(A)=；第五步：写出答。作业课本习题3.26～10.设计感想由于上一节课中已经学习了古典概型的概念及特点，所以本节课主要是运用古典概型知识来解决一些实际问题，进一步巩固对古典概型的理解.注重学生的参与。课堂练习主要由学生完成，教师适时作出适当的点拨。最后的课堂小结要由学生来参与完成，最好由学生自己来总结，更利于学生对知识、技能的掌握与提高.习题详解习题3.21..2.记A=｛买到一等品｝，B=｛买到合格品}。从100件产品中买了1件，共有100个等可能的基本事件，符合古典概型。买到的1件为一等品共包含28个基本事件，买到的1件为合格品共包含93个基本事件，所以根据古典概型求概率的计算公式得:P(A）=，P(B）=。答：他买到一等品的概率为,买到合格品的概率为.3。从64块小正方体中任取一块，共有64个等可能的基本事件.事件“取出的一块至少有一面涂有红漆”共包含8+24+24=56个基本事件，故所求事件的概率为.答:取出的一块至少有一面涂有红漆的概率为。4。连续3次抛掷同一颗骰子,共有33=27个基本事件,且是等可能的,符合古典概型。3次掷得的点数之和为16共包含(4，6，6),（6,4，6），（6，6，4，），（5，5，6），（5，6,5）,（6，5，5），这样6个基本事件，根据古典概型的求概率计算公式，得所求事件的概率为P=.答：3次掷得的点数之和为16的概率为.5.(1)令1≤6n≤100，n∈N，解得1≤n≤16，故任取其中一张,这张卡片上写的数是6的倍数的结果共有16个.（2）从100张卡片中任取其中一张,共有100个等可能的基本事件，符合古典概型.又因为任取其中一张，这张卡片上写的数是6的倍数的结果共有16个，所以根据古典概型的求概率计算公式，得所求事件的概率为P=。答：（1）任取其中一张，这张卡片上写的数是6的倍数的结果共有16个.（2）任取其中一张，这张卡片上写的数是6的倍数的概率为。6.该试验共有两个等可能的基本事件：甲排在乙前面值班，甲排在乙后面值班.故事件“甲排在乙前面值班”的概率为.答：甲排在乙前面值班的概率为。7。8.从一副52张的扑克牌中抽取一张,共有52个等可能的基本事件，符合古典概型.（1）事件“抽出一张7"包含4个基本事件，故P(抽出一张7)=；（2）事件“抽出一张方块”包含