北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》单元检测卷及答案

第第页北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》单元检测卷及答案一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为，△BCE的面积为，则的值为（）A．8 B．16 C．24 D．322．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．由下列线段a，b，c可以组成直角三角形的是（）.A．a=1，b=2，c=3 B．a=b=1，c=C．a=4，b=5，c=6 D．a=2，b=2，c=44．若一个直角三角形的三边长分别为，则以为三边长的三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．针角三角形 D．等边三角形5．在学习勾股定理时，小明利用如图验证了勾股定理.若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（）A．5 B．25 C． D．6．以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．3，4，6 B．12，18，22 C．，， D．8，15，177．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，若AB=6，那么AE2+BE2+AB2的值为（）A．69 B．70 C．71 D．728．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为（）A．10 B．11 C．12 D．139．《九章算术》中记载：今有开门去阔（kŭn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图（图②为图①的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸10．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（）．A．4 B．6 C．2 D．2二、填空题11．直角三角形斜边的长是17，一直角边的长是15，则此直角三角形的面积为．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，BE＝.13．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D落在F处，若AB=6，AD=8，则ED的长是．14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD为中线，E在AB上，连接DE，过点D作DE的垂线交AC于点F，若BE＝，CF＝4，则线段AD的长为．三、解答题15．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？16．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．17．如图是一个可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到床面之上了（这里的A、B、C、D各点都是活动的）.活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可用如图的变换反映出来，如果已知四边形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多长时，才能实现上述的折叠变化？18．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？四、综合题19．如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，，垂足为点F．（1）求证：；（2）若，，求的长．20．如图，在中，过点A作于点D，点E在线段上，且．已知，，．（1）求线段的长；（2）求证：．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿折线AC--CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒(>0)．（1）线段AB的长为（2）当点P在边AC上运动时，线段CP的长为▲(用含t的代数式表示)．①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．（3）当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'当PC'⊥AB时，直接写出t的值．22．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，且BC＝CD＝4cm，AB＝1cm，点P以每秒0.5cm的速度从点B开始沿射线BC运动，同时点Q在线段CD上由点C向终点D运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，BP＝_cm，CP＝_cm．（2）如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得△ABP与△PCQ全等？此时，点Q的速度是多少？（写出求解过程）（3）如图②，是否存在点P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．23．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作，，连接AC、EC．已知，，，设．（1）用含x的代数式表示的长．（2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出此时的最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值．参考答案解析1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D【解析】【解答】解：A.因为12+22≠32，故不能围成直角三角形，此选项不符合题意.B.因为12+12≠()2，故不能围成直角三角形止此选项不符合题意.C.因为42+52≠62，故不能围成直角三角形，此选项不符合题意.D.因为22+(2)2=42，能围成直角三角形，此选项符合题意.故答案为：D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形4．【答案】A5．【答案】D【解析】【解答】根据勾股定理可得：c=，

∴阴影部分的面积=×c×c=，

故答案为：D.

【分析】先利用勾股定理求出c的值，再利用三角形的面积公式求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意；

B、，不能构成直角三角形，不符合题意；

C、，不能构成直角三角形，不符合题意；

D、，可以构成直角三角形，符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据勾股定理的逆应用，判断三边是否满足等式，即可判定是否能够构成直角三角形.7．【答案】D【解析】【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°.

∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，

∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，

∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=(∠DAB+∠ABC)=90°，

∴∠E=90°，

∴AE2+BE2=AB2.

∵AB=6，

∴AE2+BE2=62=36，

∴AE2+BE2+AB2=36+36=72.

故答案为：D.

【分析】由平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线的概念可得∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，则∠EAB+∠EBA=90°，得到∠E=90°，由勾股定理可得AE2+BE2=AB2，据此求解.8．【答案】D【解析】【解答】将立体几何转化为平面几何，如图所示：

根据题意可得：AD=EF=GH=3，DE=FG=HB=1，AC=5，

∴CB=3+3+3+1+1+1=12，

∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2，

∴，

∴蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为AB=13，

故答案为：D.

【分析】先将立体几何转化为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：分别过点C，D作CF⊥AB，DE⊥AB交AB于点F，E，点O为AB的中点，如图，

设AB为x寸，则AD=BC=寸，AE=(-1)寸，

在Rt△AOD中，AD2=AO2+DO2，

即

解得，x=101，

∴AB的长为101寸.

故答案为：C.

【分析】分别过点C，D作CF⊥AB，DE⊥AB交AB于点F，E，点O为AB的中点，设AB为x寸，表示出AD，AE，根据勾股定理列出方程，再解方程，即可求得.10．【答案】A11．【答案】6012．【答案】3或6【解析】【解答】解：如图，若∠AEF＝90°，∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF∴四边形BCFE是矩形∵将△BEC沿着CE翻折∴CB＝CF∴四边形BCFE是正方形∴BE＝BC＝AD＝6，如图，若∠AFE＝90°，∵将△BEC沿着CE翻折∴CB＝CF＝6，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF∵∠AFE＋∠EFC＝180°∴点A，点F，点C三点共线∴AC＝＝10，∴AF＝AC−CF＝4∵AE2＝AF2＋EF2，∴（8−BE）2＝16＋BE2，∴BE＝3，若∠EAF＝90°，∵CD＝8＞CF＝6∴点F不可能落在直线AD上，∴不存在∠EAF＝90°，综上所述：BE＝3或6.故答案为：3或6.【分析】分三种情况讨论①若∠AEF＝90°，②若∠AFE＝90°，③若∠EAF＝90°，利用折叠的性质和勾股定理，分别解答并验证即可。13．【答案】314．【答案】5【解析】【解答】解：如图，连接EF，延长ED到J，使得DJ＝DE，连接EJ，CJ．设AF＝x，∵BD＝DC，DE＝DJ，∠BDE＝∠CDJ，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴BE＝CJ＝2，∠B＝∠DCJ＝30°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠FCJ＝∠ACB+∠BCJ＝90°，∴FJ＝∵DE＝DJ．FD⊥EJ，∴FE＝FJ＝2，∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，∴AB＝AC＝（x+4），∴AE＝AB﹣BE＝2+x，∵AE2+AF2＝EF2，∴（2+x）2+x2＝（2）2，整理得，x2+3x﹣4＝0，∴x＝1或﹣3（舍弃），∴AF＝1，AC＝5，∴BC＝2AC＝10，∵BC＝DC，∠BAC＝90°，∴AD＝BC＝5．故答案为5．【分析】连接EF，延长ED到J，使得DJ＝DE，连接EJ，CJ．设AF＝x，先证△BDE≌△CDF，进一步得到FJ=FE=，AE=+x，再利用勾股定理列方程求得x，最后直角三角形的性质求解即可．15．【答案】（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米16．【答案】17．【答案】解：由图1知①由图2知，AB+AD=CD+BC，即6+AD=15+BC②.联立①②组成方程组得：解得AD=39，BC=30.故BC，AD分别取30和39时，才能实现上述变化.【解析】【分析】根据已知得出图形得出和6+AD=15+BC，进而组成方程组求出即可.18．【答案】（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米19．【答案】（1）证明：∵平分交于点D，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，分交于点D，，∴，∴，在中，，∵，∴，在中，．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，所以，即可得到；

（2）根据角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出CE的长，利用线段的和差求出BC的长，最后利用勾股定理求出BD的长即可。20．【答案】（1）解：设，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴即的长为（2）证明：在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，∴【解析】【分析】（1）设BE=AE=x，可表示出ED的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE的长.（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出CD的长，及可求出BC的长；再利用勾股定理的逆定理可证得结论.21．【答案】（1）10（2）解：8-2t；①当点M落在AC边上时，2t=8×、∴t=2．当点M落在BC边上时，2t=8-3．∴t=∴当重叠部分图形是正方形时，1的取值范围为2或②当点MN的中点落在AC边上时，如图①，tan∠MPC=∴2t=4-，∴t=∴S=(2t-4)2+9=+9=当点MN的中点落在BC边上时，如图②，PE=QD=3，EM=DP=2t-4=2CE．∴PE=PC+CE=8-2t+t-2=3．∴t=3．∴S=(2t-4)2+9=13．（3）解：t1=，t2=【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接可得答案；

（2）由题意知，AP＝2t，可得CP＝8-2t，①当点M落在AC边上或当点M落在BC边上，分别画出图形，求出t即可得出范围；②点MN的中点F落在AC边上或点MN的中点F落在BC边上，分别利用全等三角形的判定与性质解决问题；

（3）当点P在AC上，PC'⊥AB时，设垂足为O，作QE⊥AC于E，证明PE＝PO，再利用∠A的三角函数解决问题，同理解决当点P在BC上，PC'⊥AB时的情形22．【答案】（1）1；3（2）解：如图①中．当BP＝PC＝2cm，AB＝CQ＝1cm时，∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP≌△QCP（SAS），∴t＝s，∴VQ＝＝0.25cm/s．当AB＝CP＝1cm，CQ＝BP＝3cm，则△ABP≌△PCQ（SAS），∴t＝s，VQ＝cm/s．当点P在点C的右侧，AB＝PC＝1cm，BP＝CQ＝4+1＝5cm，不合题意．综上所述．满足条件的点Q的速度为0.25cm/s或0.5cm/s．（3）解：满足条件的t的值为2s或14s或s或s．【解析】【解答】解：（1）由题意可得：