高中数学必修二《第六章 平面向量及应用》同步练习

高中数学必修二《第六章平面向量及应用》同步练习

《6.1平面向量的概念》同步练习

基础巩固训练

一、选择题

1.下列说法不正确的是1）

A.向量的模是一个非负实数

B.任何一个非零向量都可以平行移动

C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同

答案D

解析显然，选项A,B,C说法正确.对于D,由共线向量知，两个有共同

起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误.故选D.

2.若向量a与6不相等，则a与b一定（）

A.不共线B.长度不相等

C.不可能都是单位向量D.不可能都是零向量

答案D

解析因为所有的零向量都是相等的向量.故选D.

3.若a为任一非零向量，人为模为1的向量，下列各式：

①|a|>|6|；②a〃6；③|a|>0；④|引=±1.

其中正确的是（）

A.①④B.③C.①②③D.②③

答案B

解析3为任一非零向量，故>0.故③正确；①②④都错误.

4.数轴上点44分别无•应一1,2,则向量/唬长度是（）

A.-1B.2C.1D.3

答案D

解析易知|4例=2—(-1)=3.

5.若|加=|初且为=微则四边形力6⑦的形状为（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

答案C

解析由物=附口四边形力颇为平行四边形；由|四|=|力〃|知四边形力颇

为菱形.

二、填空题

6.把同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的起点，移到同一点0,

则这些向量的终点构成的图形的面积等于_______.

答案3n

解析这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为n•22-n•I2

=3n.

7.设国,5是两个单位向量，则下列结论中正确的是（填序号）.

①&）=瓜；②&=一6③|2|+|庆|=2；④&〃仇.

答案③

解析因为4,次都是单位向量，

所以|4|=1,㈤=1.

从而|4|+以|=2.

8.若月地位于8地正西方向5km处，C地位于力地正北方向5km处，则。

地相对于〃地的位移是.

答案西北方向5^2km

解析根据题意画出图形如图所示，

由图可知|纪|=5也km,且N力4。=45°,

故。地相对于8地的位移是西北方向5/km.

三、解答题

9.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有

两个定点力,8.点。为小正方形的顶点，且［4。=乖.

(1)画出所有的向量力G

­►

(2)求|回|的最大值与最小值.

——►

解(1)画出所有的向量力如图所示.

(2)由(1)所画的图知，

—►

①当点。位于点G或C时，|比1取得最小值，百了=近；

②当点。位于点心或以时，|应1取得最大值"+52=何,

A\BC\的最大值为两，最小值为函.

能力提升训练

1.在矩形力颇中，AB=2BC=2,M,川分别为相和缪的中点，在以4B,

C,D,M,"为起点和终点的所有向量中，回答下列问题:

(1)与向量力咖等的向量有,向量力加勺相反向量有

____________9

―►­►

⑵与向量4犷相等的向量有,向量4犷的相反向量有

____________,

(3)在模为小的向量中，相等的向量有对；

(4)在模为1的向量中，相等的向量有对.

—►—►—►—►-►

答案⑴助％BCDA,NM,CB

—>—>—►―>—►-►—>

⑵MB,DN,NCMA,BM,ND,CN

(3)4(4)18

~►—►-►

解析(1)与力丽I等的向量有：掰¥BC；

—►—►―►―►

与向量儿湘反的向量有：DA,NM,CB.

—►—►—►-►

(2)与力楙H等的向量有：".DN、NG.

-A—►—►—►-►

与向量力湘反的向量有：物，BM,ND,CN.

—►—►—►—►—►—►—►-►

(3)在模为镜的向量中，相等的向量有：AN与MC,DM与NB,NA与CM,MD与BN,

共4对.

—►—>

(4)在模为1的向量中，相等的向量有18对.其中与49同向的有3对，与力〃

反向的有3对，与4胴向的有6对，与4皈向的有6对，共18对.

2.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转

变。(0。<。<180。)度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变a度,

按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.

(1)按1：100比例作图说明当。=45°时，操作几次时赛车的位移为零;

(2)按此法操作使赛车能回到出发点，。应满足什么条件？

解(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；

(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按⑴的方式作图，则所

作图形是内角为180。一。的正多边形.

故〃(180°-^)=(77-2)180°.

所以即。=皿竺，〃为不小于3的整数.

n

《6.2平面向量的运算》同步练习

6.2.1向量的加法运算

基础巩固训练

一、选择题

1.在平行四边形40中，下列式子：

-A-A-A-A—>-A►­►-►>—A-►-►

®AD=AB-\-BDx②]〃③力〃+/厉=/。；®AB+BC=ACx®AD=AB~\~

—►—►—►—►—►

BC+CD；®AD=DC^CA.

其中不正确的个数是()

A.1B.2C.4D.6

答案A

—►—►-►

解析DC+CA=DA、故⑥不正确；其他都正确.

2.设片（46+切+（%+%）,。是任一非零向量，则在下列结论中，正确

的是（）

①a〃庆②a+6=a；③a+b=b；④|a+b|<|a|+1b|；

⑤Ia+引=Ia|+|引.

A.①②B.®@C.①③⑤D.②④⑤

答案C

解析a=（44+CD）+（欧+DA）=AB+BC+CD+DA=O,易知①③⑤正确.故

选C.

3.已知。，E,/分别是回的边力区BC,O的中点，则下列等式中不正

确的是（）

A.FD+DA=FA

―►―►-►

B.F计DE+EF=O

-►—>—►

C.DE+DA=EC

D.DA+DE=FD

答案D

—►—►—►-►

解析由向量加法的平行四边形法则可知，DA+DE=DF±FD.

4.已知四边形力颇是菱形，则下列等式中成立的是（）

A.AB+BC=CAB.AB+AC=BC

C.AC+BA=ADD.AC+AD=DC

答案C

解析由四边形4外刀是菱形知=夕力，WOAC-\-BA=AC-\-CD=AD.

故选C.

-A-►-►

5.已知△力比的三个顶点儿B,。及平面内一点尸满足为+如=尸。，则下

列结论中正确的是（）

A.尸在的内部

B.尸在△力成的边力8上

C.尸在46边所在的直线上

D.尸在△/回的外部

答案D

解析由处+用=户何得四边形脸4为平行四边形，所以点尸在的

外部.

二、填空题

6.根据图示填空.

⑴肪+以=；

—►—►-►

⑵BZO叶D0=；

—►—►-►

(3)A0+0B+BC=_______.

—►―►―►

答案⑴仍⑵4。(3)力。

解析由三角形法则知

(1)AB+OA=OA+AB=OB.

-►—>—>—>—►-►

⑵BZ0计D0=BD+D0=BO.

―►―►—►―►—►-►

⑶A0+0B+BC=44+BC=AC.

—>—►—►-►—>

7.已知/4=a,BC=b,CD=c>DE=d,AE=e,则a+b+c+d=

答案e

—►—►—►―►―►

解析a+b+c~\-d=AB-\-BC~\~CD+DE=AE=e.

—►—►—►

8.若〃为△力a'的外心，且PA+PB=PC,则N力电.

答案120°

—>-A-A

解析如图，因为PA+PB=PC,

则四边形/物是平行四边形.

又产为△月比'的外心，

—►—►-►

所以|川=|阳=|闱.因此，ZACB=120°.

三、解答题

—►—►-►

9.已知矩形ABCD中，宽为2,长为2/，AB=a,BC=b,AC=cf试作出

向量a+6+c,并求出其模的大小.

解如图，作龙=力£

则c=AE,

—>—>—►-►

a+b+c=AB+BC+AC=2AC=2c,

・•・la+b+cl=12AC\=2也+(2啊=8.

能力提升训练

1.在某地大地震后，一架救援直升飞机从力地沿北偏东60°方向飞行了40

km到4地，再由夕地沿正北方向飞行40km到达C地，此时直升飞机位于力地

_方向，与力地的距离为_______km.

答案北偏东30°40小

—►—►—►

解析如图所示，设AB,比分别是直升飞机两次位移，贝必旅示两次位移的

―►―►-►

合位移，即力仁力5+优：

在Rt△力劭中，|庞|=20km,

|力。I=2以km,

在Rt△力切中，

1AC=\l\AD\2+\DC\2

=4073km,Z6MP=60°,

即此时直升飞机位于4地北偏东30。，与/地的距离为4Mkm.

2.已知船在静水中的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从

岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.

解作力6=v水，AD=v^以力员力妫邻边作口力比〃

—►

则力6^/实际，如图.

由题意可知,

在Rt△力8。中，

----►-►A

|47|=|。水|=10m/min,\BC\=\AD\=\v^\=

-►

,\AB\101

20m/min,cosZ.ABC=-^-=-=-

乙u乙1

\BC\

:・/ABC=60。，从而船与水流方向成120°角.

故船行进的方向与水流的方向成1200角.

6.2.2向量的减法运算

基础巩固训练

一、选择题

1.下列运算中正确的是1)

—►—>—>>—>—>—>

A.OA-OB=ABB.AB-CD=DB

—►—►—>—►-►

C.OA-0B=BAD.AB—AB=0

答案C

—►―►—►

解析根据向量减法的几何意义，知(M—OB=BA,所以C正确，A错误；B

显然错误；对于D,AB-A胞该等于O,而不是0.

2.下列说法错误的是（）

—►—►—►―►―►―►

A.若OD+OE=O明则OM—OE=OD

—►—►—►—►—►-►

B.若OD+OE=OM,则〃"+%=◎*

—>—>—>—►—>—>

C.若OD+OE=O他则如一反?=〃犷

—>—►—►-►

D.若OD+OE=O机贝1]〃。+政7=〃犷

答案D

解析由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A,B,C都正确.由相反

-►—>—►—►—►-►—>—>"►―►

向量定义知，若OD+OE=OM,地DO+EO=—OD-OE=-（OD+OQ=—OM,故D

错误.

3.有下列不等式或等式：

①㈤一㈤V\a-\~b\<|a|+|Z>|；

②|&|一|引=|a+b|=㈤+|引；

©|a|—|A|=\a+b\<\a+\b\；

@|a|—I£>|<Ia-\rb\=Ia+|6|.

其中，一定不成立的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析①当a与8不共线时成立；②当a=b=O,或b=0,aWO时成立;

③当a与6方向相反，且川2|引时成立；④当a与6方向用同时成立.

—>—>->—>-*—>—>—>—>

4.力何以写成：①力什制②AO-OC；③04-0。@OC-OA,其中正确的是

()

A.①②B.②③C.③④D.①©

答案D

解析由向量的加法及减法定义可知①④符合.

►­►

5.边长为1的正三角形力8c中，|力8—a1的值为()

A.1B.2C.萼D.#

乙

答案D

-►-A—►-►

解析如图所示，延长总到点〃，使加=1,连接44则初—%=48+方=

AB+BD=AD.在/\ABD中,AB=BD=ltZABD=i20°,易求4二十，\AB-BC

I=小

二、填空题

6.对于非零向量a,b,当且仅当______时，有|a—力|=||a|-|b|

答案a与b同向

解析当2力不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a—引>||司

—1引1，所以只有两向量同向时，才有|a—引=|a—\b.

7.如图所示，在梯形力以力中，力〃〃比；然与必交于点0,则胡一比」如十

OD+DA=

答案CA

—►—►-►—>—>—>—>-*―►

解析BA-BC-勿+0D+DA=CA-\-AD^-DA=CA.

8.如图，已知业?6〃步是一正六边形，0是它的中心，其中如=b,OC=c,

-A

则/?得于_______.

答案b-c

―►―►—►―►―►

解析EF=0A=CB=OB-0C=b-c.

三、解答题

­►—►-►

9.设。是△49C内一点，且力=a,OB=b,OC=c,若以线段小，如为邻

边作平行四边形，第四个顶点为2再以0C,如为邻边作平行四边形，其第四

-►—>—►

个顶点为〃试用&b,。表示zr,OH,BH.

解由题意可知四边形》如为平行四边形，

：.OD=OA+OB=a+b,

:・DC=OC-0D=c~(a+b)=c~a—b.

又四边形瓯为平行四边形，

J0H=0D=c+b,

―►―►―►

/.BH=OH—0B=a+b~\~c~b=a+c.

能力提升训练

1.设平面向量国，金,区满足&一包+a,=0,如果平面向量》，a,从满足

=且a,顺时针旋转30°后与瓦同向,其中7=1,2,3,则6—&+&

答案0

解析将&顺时针旋转30°后得,则国'-a/+&'=0.又・・・也与

同向，且I)I=|&|,，打一员+&=0.

-►

2.已知△4比是等腰直角三角形，/力。=90°,"是斜边力5的中点，CM=

a,CA=b.

求证：(1)\a-b\=\a\；

(2)\a+(a—b)\=\b\.

证明因为△48C是等腰直角三角形，ZACB=90°,

所以CA=CB.

又"是斜边力8的中点，所以CM=AM=BM.

—>—►-►—>—►

⑴因为@/一。=4欣又4〃=|CM,

所以|a—6|=|a|.

⑵因为同是斜边48的中点，所以A,W=MB,

所以a+(a-b)=C什(CM-CA)=CV+44CM+MB=CB,

因为|a|=|第,

所以|a+(a—b)\=\b.

6.2.3向量的数乘运算

基础巩固训练

一、选择题

1.下列各式计算正确的个数是（）

①（-7）-5&=—35&②a—2b+2（a+力）=3比③a+6—（a+5）=0.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差

及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数.

2.如图所示，〃是△4%的边48上的中点，则向量5=（）

A.BC—~BA

乙

―►-A

B.一况十；加

-A-A

C.-BC-^BA

乙

D.BC+JBA

答案B

解析解法一：•・•〃是48的中点，，加="胡,

乙

—>—>-►—>—>

・•・CD=CB+BD=-BC+'A.

乙

解法二：由〃=:(=+Gl)=!3+(CB+BA)]=CB+』BA=-BC+^BA.

f厂ff

3.设44=半(a+5b),-2a+86,。。=3(8-6),则共线的三点是

乙

A.4B,DB.ArB,CC.B,C,DD.力，C,D

答案A

fff-、历f

解析•:BD=BC+CD=a+3b,AB=，BD,：・A,B,〃三点共线.故选

乙

A.

4.若熊=3a,CD=-5a，且|力〃|=|a1，则四边形然笫是（）

A.平行四边形B.菱形

C.等腰梯形D.不等腰的梯形

答案C

3

解析因为44一£切，所以AB//CD,且|力引¥|口.而|助=|6C],所以

□

四边形4时为等腰梯形.

5.在平行四边形力腼中，力C与切交于点0,£是线段勿的中点，力£的延

―►―►—►

长线与口交于点五若40=a,BD=b,贝必偿于（）

AE

解析如图所示，•・•£是勿的中点，・・・勿=；9=%又△力砥s△核.•.6

44rC

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

BE33+»,1,14

=­=pC,AE=3EF,AE=^AF,在△A力施1中，4£=力〃+应、=ga+彳6,/.AF=~AE

21

=逆+可6.故选B.

OO

二、填空题

6.设e,也是两个不共线的向量，若向量Ae+2也与8a+Aa方向相反,

则k=.

答案一4

解析•.,晶+2金与8e+A比共线，

.*.Aei+2e.=4(8s+A&；=843+入ke”

a=-4.

与8e1+4优反向，・・.4=-J,A=—4.

乙

7.若a=一台+3e，6=4e1+2e，c=-3ei+12e2,则向量a写为人6+42c

的形式是.

17

答案一而8+而0

解析若a=才力+42。,则一8+3a=，(4ei+2a)+，2(—3@+12战),

•*.—e+3@=(441—342)R—(2兀i+1242)e2.

A।=——,

424九一+31422=(-=1,3.解得j718

九=药

8.如图，在△48C中，点。是比的中点，过点。的直线分别交直线力反AC

于不同的两点MN,若AB=niA根AC=nAN,则加+〃的值为—

答案2

—>—>—>—►—>——>—>—>—>

解析解法一：因为AB=mAM,AC=nAN,所以4犷=±45A/HAC,贝心外三4V

mn

—>—►—►

11

—Af/=-/lC—AB.

nm

因为点。为优的中点，连接力。，所以切=同7+枭。,则/川=4。一和悬力4+

乙乙乙

11

-AC一一AB=因为机0,N三点共线，所以可设桃片儿外

2m乙mj/

riniAA

AC=O

则1+力t

11,A

①一蓝％=3

由于力反力坏共线，所以〈

1A

5-=°'

消去才得〈一,+4=0,变形整理可得勿+〃=2.

2m2m

解法二：在%中，连接力〃由于〃是勿的中点，

—>—>—>—♦—

因止匕40=5(力8+=%8+)4C

乙乙乙

—>—>—>—>

由于48=/zz4优AC=nANf

―►―►-►

贝！JA0=gm册f+4M

乙乙

由于机0,“三点共线，则5M~)〃=1，

乙乙

从而/〃+〃=2.

三、解答题

-►-A-►

9.设e,比是两个不共线的向量，如果力428一电，3C=3ei+e2,CD=7e\

一6包.

(1)求证：4B,〃三点共线；

(2)试确定义的值，使2久。+。和。+4免共线；

(3)若e+4免与入公不共线，试求力的取值范围.

―►―►—►

解⑴证明：因为劭=%+0=3良+兔+78—6。=10&-5e=5(2良一史)

=5AB,

—►—►

所以然与财线.

因为AB与即有公共点3,所以4B,〃三点共线.

(2)因为24e+比与e+4e共线，

所以存在实数〃，使2〃(e+4金).

24=〃，所以"土东

因为e-不共线，所以匚“

(3)假设8+入a与4良+比共线,

则存在实数〃，使@+/1&=〃（4&+0）.

1=4〃,

因为8,&不共线，所以1所以A=±l.

所以当4W±1时，e+4比与Xa+e不共线.

能力提升训练

-►-A—►—►-A

1.如图所示，向量物,0B,比的终点4B,。在一条直线上，且力。=-3⑦

-A―►—►

设%=pOB=q,OC=r,则以下等式中成立的是（）

解析•：OC=OB+BC,AC=-3CB=3BCt：.BC=T；AC.：.0C=0B燃AC=0B燃

ooo

{OC-OA)•r=q+；(ip)./.r=-

o乙乙

i9

2.设D,£分别是△力宏的边AB,优上的点，力BE=~BC.若龙=入泊B

-►

+儿/。（儿，（为实数），则九+九的值为.

A

答案|

21

解析由已知DE=BE—BD=4BC—：BA

J/

—►—►—►—►-►

2112

=-(AC—AB)-\--AB=--AB-\--AC,

3Z63

..__1-2

・・36，(A-3，

从而4+42=:

乙

6.2.4向量的数量积

基础巩固训练

一、选择题

1.已知|a|=2,|b\=4,a•/>=—4,则向量3与6的夹角为()

A.30°B.60°C.150°D.120°

答案D

a•b-4

解析cos—~iII,I-94——gf**"£[0°,180°],***0=120°.

I3D，Xv4乙

故选D.

2.已知向量a,b满足a・b=0,|a|=l,Ib\=2,贝U|2a—b|=()

A.0B.2y/2C.4D.8

答案B

解析V\2a-b\2=4a-4a-A+tf=8,：.\2a-b\=2y(2.

3.若平面四边形4?切满足力加•切=0,（AB-AJJ）•力仁0,则该四边形一定

是（）

A.直角梯形B.矩形

C.菱形D.正方形

答案C

解析由47+勿=0,得平面四边形力仇》是平行四边形，由（AB-AD）-AC=

0,得如・/C=0,即平行四边形/腼的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱

形.

4.若非零向量b满足|以||引,且（月一⑹I（3月+28），则以与上的

夹角为（）

JiJI3n

A.-B.-C.—D.n

424

答案A

2

解析由题意，得（a—6•（3a+2Z＞）=3a—2Zr—a•b=0f即己・6=3/一

261又|a|6|,所以a・6=3x（^^］引）—2"=，，所以cos（a,b）=

5.已知小。是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量。满足（a-

c）.（Z,-c）=0,贝Hc|的最大值是（）

A.1B.2C.^2D.平

答案C

解析因为|a|=|b|=La•力=0,（a—c）・（b—c）=-c・（a+6）+|

=-Ic||a+b|cos，+|c「=0,其中。为c与a+力的夹角，所以|c|=|a+

b\•cos夕=，^cos，所以c|的最大值是，故选C.

二、填空题

6.已知向量a,6的夹角为45°,且|印=4,但十@・(2a—36)=12,则

㈤=________；6在&上的投影向量的模等于________.

答案小1

解析a•b=\a\|Z?|cos〈a,b)=4\b\cos45°=2y[2\b\,

又(ga+@•(2a—36)=|a『+；a・6-3|b/=16+，^|b|-3|b/=i2,解得

\b=/或|6=一邛2(舍去).

6在a上的投影向量的模为I|b|cos〈a,b)|=，^cos45°=1.

7.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(l—力6.若b・c=0,

则t=.

答案2

解析由题意，将b•c=[ta-\-(1—t)b\•b整理，得ta•b+(1—f)=0,

又a•b=1,所以t=2.

乙

8.在平行四边形力及力中，49=1,NBAD=60°,£为勿的中点.若AC•BE

=1,则力〃的长为.

答案I

―►―►—►—►―►—►—►—►―►—►—►-►

解析因为储=物+业计〃所以AOBE=Q1B

1.11o1.1,

+AD)•AD--AR=Aff+-AD*1+-X1X|cos60°--\AB\2

y2J///z

—►­►-►

所以。必一1四|2=0,解得[初=].

勺乙乙

三、解答题

9.己知2力是两个非零向量，当a+仍&WR）的模取得最小值时,

（1）求2的值（用&6表示）；

（2）求证：6与a+仍垂直.

解⑴|a+法「=/+4+2市・，

当£=一早a•h时，g+加取得最小值.

O

a•b

⑵证明：因为（a+仍）・6=a•6+行=a•6百一X6=0,所以a+tb

与。垂直.

能力提升训练

1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-6)_Lc,aLb,若|a|=l,则

+叱+cl之的值是________.

答案4

解析由a+b+c=0,得(a+b+c)2=0,得

a2+tf+c2+2(a•b+b•c+c・a)=0.

又(a—b)J_c,a_Lb,

(a~b)•c=0,a•6=0.，a•c=b•c.

・工仔+Z^+4=—4。•c,〃+"=—1—4b•c.①

由a+b+c=0,得万+c=-a,

故(6+c)2=1,即b?+c，+25•c=1.②

由①②得力-c=-1,故才+加+/=4,即|丁+|引2+|C1=4.

2.在四边形力比力中，己知［8=9,BC=6,CP=2PD.

(1)若四边形力比P是矩形，求心♦出的值；

—►—►—►-►

(2)若四边形业加9是平行四边形，且"•即=6,求力度力映角的余弦值.

解⑴因为四边形四。是矩形，所以"•戊=0,

122

由CP=2PD,得DP=*,CP=-CD=--DC.

oJJ

—►—►—►—►—>—►

所以AP・BP=(AD+DP)•〈BC+CP)

Jf、1、

12

=AD+&DC*AD--DC

kJ1I3/

-A-A-A-►

122

=Aff--AD*。。一k初=36—^X81=18.

jyy

-A-A—►—►-A-A-A

(2)由题意，AP=AD+DP=AD+\DC=4叶

Ju

-►-A-A-A-A-A-►

22

BP=BC+CP=BC+-CD=AD--AB,

<5<5

一一Lf1)

所以俨即=AD+\AB*AD-^AB

—>—►-►-►

i2

=A4一RAB・AD--Aff

—>—>—►-►

=36-*48・00-18=18一"48・AD.

oJ

—►—>

又4P.BP=6,

~►—►

所以18-96・4?=6,

J

—►—►

所以肥・4=36.

—►-►-►—>

又AB♦AD=\AB\|i4P|cos6=9X6Xcos"=54cos。，

2

所以54cos。=36,即cos0=-

o

2

所以AB与A映角的余弦值为市

《6.3平面向量基本定理及坐标表示》同步练习

6.3.1平面向量基本定理

基础巩固训练

一、选择题

—►―►―►

1.在矩形//腼中，。是对角线的交点，若BC=&,DC=a,则%=()

A.1(ei+e>)B.g(8-e)

C.)(2比一a)D.；(史一e】)

乙乙

答案A

—►—►—►-►

解析因为0是矩形47徵对角线的交点，BC=&,DC=%,所以宓=；(a+

—►

DC)=|(«1+©2).故选A.

—―►—►—►-►

21

2.在LABC中，点、P是AB上一点,且但可。+鼻面，又AP=tAB,则力的

值为()

1215

A.-B.-C.-D.-

JJ/J

答案A

-A—>—>—>—►-A-A—>—>

解析CP—CA=^ACB—CA)=\AB,即力尸=%〃.又如=；・方=1.故选

JJJJ

A.

―►―►—A—►-►

3.如图，在中，尸为线段49上一点，0P=xOA+yOB,且档3必，则

()

B

21「12

A.x=~fy=~B.x=~,y=-

c13n31

C・x=Ty=4D-x=疝尸彳

答案D

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

3i

解析由已知"=3为，舄0P-04”0A-0P）,整理，得以=［如+］比，故

31

『，『

AF1

4.如图，在△力8。中，/。是6。边上的中线，尸是4〃上的一点，且而=不

FD5

AE

连接〃'并延长交力8于点反则滓于（）

A\

F~~D----、

1111

A---R-C-D---

123510

答案D

—►―►►—►­►—>—>►

AEyAF1.,11z

解析设AC=b,-ETX^:HT^：.CF=CA+AF=CA+-AD=-{AB

—►—►—►―►-►-►►—►—►—►—►

八111111AA

+4。-AC=~7^AB~~^AC=—；a~—b.CE=CA-^AE=CA+-^—rAB=-^—rAB-AC

［乙1141Z1/1141I人

-A-A

ff111（AA

.,ab.又6F与以共线，网汲CF—kCE,贝U/—12”—41+4'）

1"T人

故选D.

5.已知儿B,。是平面上不共线的三点，。是△力8。的重心，动点尸满足俯

=（为+劫+2宓,则点,一定为（）

A.48边中线的中点

B.48边中线的三等分点（非重心）

C.△/]回的重心

D.18边的中点

答案B

­►—►—►

解析•・•。是△力■的重心，・・・。+。8+。。=0,

・・・0—优，+2叱=1%,・••点〃是线段3的中点，即4?边中线的三等

分点（非重心）.故选B.

二、填空题

6.已知8,改是两个不共线的向量，a=A1+（l—芋ja与b=2e+3a共线，

则实数k=.

答案一2或;

O

5k

必1一万

解析由题设，知了=「^,

乙J

・・・3〃+54-2=0,解得*=一2或）

O

7.如图，在△[8。中，AB=2,BC=3,N48C=60°,加/_L5C于点〃，"为

力，的中点,若444月8+〃6G贝！|4+〃=.

A

小自2

答案可

o

解析在△力合，中，BH=、B=3

YBC=3,：.BH=\BC.

o

-A-A-A-A-A

，AH=AB+BH=AB^BC,

J

♦・•"为力〃的中点，

­►-►►-►

:.AM=^AH=\AB-Y\BC.

ZZO

-►-A-A

9：AM=AAB+“BC,

…1.12

・・入+〃=尹十亍

—►—>—>

8.如图，在正方形力用力中，设AB=a,AD=b,BD=c,则在以仿，6｝为基

底时，力阿表示为,在以｛a,c｝为基底时，力阿表示为—

答案a+b2a-]-c

解析以仿，6｝为基底时，由平行四边形法则即得.以｛a,。｝为基