第九章多元函数微分学(方向导数在前)总结

推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第九章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.2.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:

若存在点P

的某邻域U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P)∩E=,

若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E

的边界点.的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)

聚点若对任意给定的

,点P

的去心邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E

的导集

.E

的边界点)D(3)开区域及闭区域

若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；

若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作

E;例如，在平面上开区域闭区域

整个平面

点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o

对区域D,若存在正数

K,使一切点P

D与某定点A的距离AP

K,则称

D

为有界域

,

界域

.否则称为无3.n

维空间n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k

个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.的距离记作中点

a

的

邻域为规定为与零元O

的距离为二、多元函数的概念引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强

三角形面积的海伦公式定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在

D

上的n

元函数,记作例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)

D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限定义2.

设n

元函数点,则称A

为函数(也称为n

重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数

,总存在正数,切例1.

设求证：证:故总有要证例2.

设求证：证：故总有要证

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.

讨论函数函数例4.

求解:因而此函数定义域不包括x,y

轴则故仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.

二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.四、多元函数的连续性定义3

.

设n元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数连续.连续,例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.例求解这里在区域和区域内都有定义，同时为及的边界点.但无论在内还是在内考虑，下列运算都是正确的：定理：若f(P)在有界闭域D

上连续,则*(4)f(P)必在D上一致连续.在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)解:原式例5.求例6.

求函数的连续域.解:例6.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数

偏导数第九章定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数同样可定义对y

的偏导数解：例1：用定义求下面函数在原点的偏导数.若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数

,记为或

y

偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为注意：偏导数与某点偏导数的关系.例1.

求解法1:解法2对吗？在点(1,2)处的偏导数.注意:在一定条件下例求函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例2.

设证:例3.

求的偏导数.解:求证偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D

内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为例5.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及例如,二者不等则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)例6.

证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程备用题

设方程确定u

是x,y

的函数,连续,且求解:证:令则则定理证明.令同样在点连续,得第九章*二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数

f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D

内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:

由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有

反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数在点可微.注意到,故有推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:

思考与练习函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.1.选择题2.设解:利用轮换对称性,可得注意:x,y,z

具有轮换对称性

在点(0,0)可微.在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;

但偏导数在点(0,0)不连

3.

证明函数所以同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)4)下面证明可微:说明:

此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续第四节、方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义（如图）当沿着趋于时，是否存在？记为证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到故有方向导数解解由方向导数的计算公式知故推广可得三元函数方向导数的定义指向B(3,－2,2)方向的方向导数是

.在点A(1,0,1)处沿点A例3.函数提示:则二、梯度的概念、意义与计算结论在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量等高线的画法播放例如,梯度与等高线的关系：类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数解由梯度计算公式得故梯度的基本运算公式思考题思考题解答1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）小结4、关系方向导数存在偏导数存在•

可微第五节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则多元复合函数的求导法则第九章一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t

取增量△t,则相应中间变量且有链式法则有增量△u,△v,(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y

对x

求导,表示固定v

对x

求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,例1.设解:例2.解:例3.设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号例4.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.例1.例５.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以例６已知求解:由两边对

x

求导,得例７求在点处可微,且设函数解:由题设练习题１练习题２第九章第六节一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导方法本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,

方程当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数两边对x求导在的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:

令连续,由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0

的某邻域内方程存在单值可且并求两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确两边对x求偏导同样可得则例2.设解法1利用隐函数求导再对x

求导解法2

利用公式设则两边对x求偏导例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故对方程两边求微分:解法2微分法.二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理证明略.仅推导偏导数公式下：有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P

的某邻域内故得系数行列式同样可得例4.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:

求答案:由题设故有例5.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解:1)令对x,y的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数①式两边对x求导,得则有由定理3

可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得例5的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.

设解:两个隐函数方程两边对x

求导,得解得因此2.设是由方程和所确定的函数,求解法1

分别在各方程两端对x

求导,得解法2

微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得第七节一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用第九章设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.解切线方程法平面方程2.空间曲线方程为法平面方程为3.空间曲线方程为切线方程为法平面方程为所求切线方程为法平面方程为设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线二、曲面的切平面与法线令则切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为其中解切平面方程为法线方程为解令切平面方程法线方程解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)思考题思考题解答设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程备用题.

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1

令则即切向量法平面方程即解法2.

方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量备用题.确定正数

使曲面在点解:二曲面在

M

点的法向量分别为二曲面在点M

相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:

在曲面上任意取一点则通过此备用题.设

f(u)

可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为

1.

证明曲面与定直线平行,证:

曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题2.求曲线在点(1,1,1)

的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.第九章第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值

定义:

若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有说明:

使偏导数都为0的点称为驻点

.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;例2.讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为二、最值应用问题函数f

在闭域上连续函数f

在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:

设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足: