新人教版高中数学必须第二册第六章平面向量及其应用导学学案

平面向量的概念

学习重难点学习目标核心素养

了解平面向量的实际背景，理解平面向

平面向量的相关概念数学抽象

量的相关概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的几何表示数学抽象

概念

理解两个向量相等的含义以及共线向量

相等向量与共线向量数学抽象、逻辑推理

的概念

【学习过程】

一、问题导学

预习教材P2—P4的内容，思考以下问题：

1.向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

2.怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3.两个向量（向量的模）能否比较大小？

4.如何判断相等向量或共线向量？向量初与向量明是相等向量吗？

二、合作探究

探究点1：

向量的相关概念

例1：给出下列命题：

①若霜=氏,则A,B,C,。四点是平行四边形的四个顶点；

②在口ASCO中，一定有油=阮；

③若Q=。，b=c,则0=C

其中所有正确命题的序号为.

解析：m=或,A,B,C,力四点可能在同一条直线上，故①不正确；在办BCO中，|曲

|=|Dt|,牯与觉平行且方向相同，故戏=成,故②正确；a=b,则⑷=制，且。与b的方向

相同；b=c,则步|=|c|,且b与。的方向相同，则。与。长度相等且方向相同，故。=。，故③

正确.

答案：②③

探究点2：

向量的表示

例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量:

（1）8，使|8|=4/，点A在点。北偏东45。方向上；

（2）油，使帅|=4,点8在点A正东方向上；

（3）Bt,使|反1=6,点C在点。北偏东30。方向上.

解：（1）由于点A在点。北偏东45。方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格

数与纵向小方格数相等.又|次|=4、区小方格的边长为1,所以点A距点。的横向小方格数

与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定，画出向量以，如图所示.

（2）由于点B在点A正东方向上，且|初|=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格

数为4,纵向小方格数为0,于是点8的位置可以确定，画出向量油，如图所示.

（3）由于点。在点3北偏东30。方向上，且|反1=6,依据勾股定理可得，在坐标纸上点

C距点3的横向小方格数为3,纵向小方格数为34=5.2,于是点。的位置可以确定，画出向

量配，如图所示.

探究点3：

共线向量与相等向量

例3：如图所示，。是正六边形ABCDE/7的中心，且3=小帅=b,在每两点所确定的

向量中.

（1）与。的长度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）与a共线的向量有哪些？

解：（1）与。的长度相等、方向相反的向量有仍，犹，AZ）,Fk.

（2）与。共线的向量有办，就，ob,Ft,Ch,D&,皿,况，Ab.

互动探究

1.变条件、变问法：本例中若优=c,其他条件不变，试分别写出与a,b,。相等的向

量.

解：与。相等的向量有分，力&,m与b相等的向量有反，劭，与。相等的向量

有或）,Eb,碰.

2.变问法：本例条件不变，与屈）共线的向量有哪些？

解：与劝共线的向量有办，碇,ob,电c&,仍，初，况，oX.

三、学习小结

1.向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量.

（2）有向线段

①定义：具有方向的线段.

②三个要素：起点、方囱、长度.

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以4为起点、3为终点的有向线段

记作亚.

④长度：线段AB的长度也叫做有向线段牯的长度，记作曲.

（3）向量的表示

■名师点拨

（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素.

（2）用有向线段表示向量时，要注意加的方向是由点A指向点3,点A是向量的起点,

点B是向量的终点.

2.向量的有关概念

（1）向量的模（长度）：向量霜的大小，称为向量牯的长度（或称模），记作国.

（2）零向量：长度为2的向量，记作0.

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

3.两个向量间的关系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量.若a,力是平行向量，记

作旧〃瓦

规定：零向量与任意向量平行,即对任意向量。，都有0〃a.

（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量,若。，方是相等向量，记作。=瓦

■名师点拨

（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别.

（2）共线向量所在直线可以平夕亍，与平面几何中的共线不同.

（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

四、精炼反馈

1.如图，在口ABCD中，点E,r分别是AB,CD的中点，图中与碇平行的向量的个数为

（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C.图中与初平行的向量为法，Ft）,Ft共3个.

2.下列结论中正确的是（）

①若。〃b且|0|=|臼，则a=8；

②若。=。，则。〃力且|。|=阶

③若。与b方向相同且同=步|,则。=〃；

④若畔b,则a与力方向相反且同羊步

A.①③B.②③

C.③④D.②④

解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，°,方可能反向；②③正

确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等.

3.已知。是正方形A8CO对角线的交点，在以O,4,B,C,。这5点中任意一点为起

点，另一点为终点的所有向量中，写出：

（1）与血相等的向量；

（2）与加长度相等的向量；

（3）与次共线的向量.

解：画出图形，如图所示.

（1）易知BC〃A。，BC=AD,

所以与配相等的向量为祀）.

（2）由。是正方形A5CO对角线的交点知。3=0。=。4=。。，

所以与仍长度相等的向量为肋，ot,cd,况，初，ob,Db.

（3）与次共线的向量为动，Bt,Cfe.

平面向量的应用

【第一学时】

学习重难点学习目标核心素养

会用向量方法解决平面几何中的

向量在平面几何中的应用平行、数学建模、逻辑推理

垂直、长度、夹角等问题

会用向量方法解决物理中的速

向量在物理中的应用数学建模、数学运算

度、力学问题

【学习过程】

一、问题导学

顶习教材内容，思考以下问题：

1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题?

2.如何用向量方法解决物理问题?

二、合作探究

探究点1：

向量在几何中的应用

角度一：平面几何中的垂直问题

图不如图所示，在正方形ABC。中，E,尸分别是4B,8C的中点，求证：AFLDE.

4ER

证明：法一：设劝=。，4=b.

则|。|=步|,a・b=O,

又循=次+助=—a+g/b办=初+肝=5+：。，

所以办./=（b+%）（一C+%）=_%2—%仍+/=一如2+如2=0.

故办_1及：，B|JAFLDE.

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则4(0,0),D(0,2),F(l,

0),F(2,1),A>=(2,1),Dk=(1,-2).

。J。

M

因为办・处=(2,1)•(1,-2)=2—2=0,

所以#_L的，HPAFLDE.

角度二：平面几何中的平行（或共线）问题

CFAF

SSI21如图，点O是平行四边形48co的中心，E,尸分别在边CZ）,A8上，且流=隹

匕Drt>

=今求证：点E,。，尸在同一直线上.

证明：设脑=相，加>=〃，

CFAFI

由而=标=5，知E，尸分别是。，45的三等分点,

匕DrDL

所以劭=用+初=;或+;祀

=­ywi+2(/n+n)

%=沈+建祀+；仍

=2(w+n)-

所以m

又O为劭和旗的公共点，故点E,O,尸在同一直线上.

角度三：平面几何中的长度问题

Sim如图，平行四边形A8CO中，已知AO=1,AB=2,对角线80=2,求对角线AC

的长.

解：设A/)=a,A^=b,则沉＞=Q—b,祝=°+6,

^\Bb\=\a-b\=，=一2°1+〃2=^1+4-2a1=S5—20仍=2,

所以5—2a/=4,所以Q6=；,又|AtT=|a+8F=a2+2a•)+户=]+4+2O〃=6,所以|祝

|=,，即AC=%.

探究点2：

向量在物理中的应用

廊1(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25

km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)已知两恒力尸i=(3,4),尸2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)

移动到点8(7,0),求尸2分别对质点所做的功.

解：(1)如图，设AS表示水流的速度，3力表示渡船的速度，祝表示渡船实

际垂直过江的速度.

因为牯+劝=祀，所以四边形A8CO为平行四边形.

在RSACO中，NACO=90。，|Dt|=|初|=12.5.

|砌=25,所以NCW=30。，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30。.

(2)设物体在力尸作用下的位移为s,则所做的功为W=Fs.

因为筋=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

所以Wi=B•劝=(3,4)•(-13,-15)

=3x(—13)+4x(—15)=—99(焦),

牝=尸2•劝=(6,-5)•(-13,-15)

=6x(—13)+(—5)x(—15)=—3(焦).

三、学习小结

1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

/X建立平面几何与向好的联系，用向一表

对度一示问题中涉及的几何元素，将平面几何

问题转化为向量问题

4介,一通过向量运算，研究几何元素之间的关

7系，如距离、夹角等问题_____________

6/T把运算结果“翻译”成几何关系:

2.向量在物理学中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法

相似，可以用向量的知识来解决.

(2)物理学中的功是一个标量，即为力尸与位移s的数量积，即W=F6=|F||s|cos6(。

为尸与s的夹角).

四、精炼反馈

1.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静

水中的速度大小为()

A.10m/sB.2y[26m/s

C.4#m/sD.12m/s

解析：选B.由题意知卜水|=2m/s,|v«v|=10m/s,作出示意图如图.

所以小船在静水中的速度大小/：=

|V|=A/102+22=2V26(m/s).

2.已知三个力力=(-2,-1),f2=(-3,2),力=(4,-3)同时作用于某物体上一

点，为使物体保持平衡，再加上一个力,，则八=()

A.(—1f—2)B.(1>-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：选D.由物理知识知力+先+力+/i=0,故"=一(力+力+力)=(1，2).

3.设尸，。分别是梯形ABC。的对角线AC与8。的中点，AB//DC,试用向量证明：PQ

//AB.

证明：设力^一加(2＞0且狎1),因为电一圆一篇＞一君+殴一刀＞一益(反)-/)

=A5+1[(劝-硒-(m+Z5t)]

=A^-\~2(Cb—Ak)

=£(Cb+m)=£(—2+1)通,

所以匝〃油，又P,Q,A,8四点不共线，所以尸。〃A8.

【第二学时】

学习重难点学习目标核心素养

余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理

掌握余弦定理的几种变形公式及应

余弦定理的推论数学运算

用

能利用余弦定理求解三角形的边、

三角形的元素及解三角形数学运算

角等问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题:

1.余弦定理的内容是什么？

2.余弦定理有哪些推论？

二、合作探究

探究点1：

已知两边及一角解三角形

{gm(1)(2018・高考全国卷n)在3c中，COSr5=华[5，BC=LAC=5,则AB=()

4J

A.4y[2B.病

C.^29D.2y[5

2

(2)已知aABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,a=、B，c=2,cosA=?则b

=()

A.y[2B.黄

C.2D.3

解析：(1)因为COSC=2COS2f--l=2x-^—1=—I，所以由余弦定理，得-32=41+3d

乙JJ

—2ACBCcosC=25+l—2x5xlx(—§=32,所以48=4吸，故选A.

(2)由余弦定理得5=22+/—2X2AOSA,

2

因为cosA=§,所以3〃一昉一3=0,

所以b=3(b=—(舍去).故选D.

答案：(1)A

(2)D

互动探究：

变条件：将本例(2)中的条件％=小，c=2,cosA=!"改为“a=2,c=2小，cos4=坐”，

求力为何值？

解：由余弦定理得：

(r=b1+c1-2bccosA,

所以22=/+(2^3)2-2xbx2小田,

即〃2—68+8=0,解得b=2或Z?=4.

探究点2：

己知三边(三边关系)解三角形

偏12(1)在△A5C中，已知〃=3,b=5,c=V19,则最大角与最小角的和为()

A.90°B.120°

C.135°D.150°

(2)在AABC中，若(a+c)(a—c)=b(Z?—c)»则A等于()

A.90°B.60°

C.120°D.150°

解析：(1)在△ABC中，因为a=3,b=5,c=皿,

所以最大角为8,最小角为A,

-4-人2—B9+25—191

所以csC=一五/==5,所以C=60。，所以A+b=120。，所以AA3c中

ZuczZ

的最大角与最小角的和为120。.故选B.

从+〃一12

111

(2)因为(a+c)(a—c)=b(Z?—c),所以b+c—a=bcf所以cosA=---------=

z.因为(0°,180°),所以A=60。.

答案：(1)B

(2)B

探究点3：

判断三角形的形状

颂引在△斗^。中，若〃疝2。+四而8=2"cosBcosC,试判断△ABC的形状.

解：将已知等式变形为

法(1-cos2C)H-c2(1—COS2B)=2bccosBcosC.

由余弦定理并整理，得

仅2+〃一

2

/+c一序I~2ah)A~~2^~~)

/+户一〃

=2bcx-2ac-*-2^-

[(^2+Z?2-c2)+(«2+c2-/?2)]24/)

所以/十(？=4?=4?=tt

所以A=90。.所以aABC是直角三角形.

三、学习小结

1.余弦定理

三角形中任何一边的壬左，等于其他两边壬那困减去这两边与它们夹

文字语言

角的余弦的积的两倍

。2=序+一一28ccos4

符号语言护=〃2+/—2〃ccos8

^二片+/一24/xx)sC

2.余弦定理的推论

Z?2+c2—ez2

cosA=2bc;

cosB=lac;

.2+〃一/

cosc=一迈一•

3.三角形的元素与解三角形

（1）三角形的元素

三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.

（2）解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

四、精炼反馈

1.在中，己知a=5,b=7,c=8,则A+C=（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

4+/一/25+64—491

解析：选B.cosB=_2ac-=_2x5x8-=T

所以8=60。，所以4+C=120。.

2.在A48C中，己知（Q+Z?+C）（〃+c—a）=3bc,则角A等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：选B.因为（b+c）2—02=y+d+2bc—〃2=36。

所以加+c2—，=从，

加+d-/1

所以cosA=---荻---=2>所以4=60。.

3.若AABC的内角A,B,。所对的边〃，b,c满足（〃+Z?）2—/=4,且C=60。，贝ijab

解析：因为C=60°,所以^二片+/―2〃bcos60°,

即〃江①

又因为（a+ZO2一天=%

所以/=〃+。2+2〃力-4.②

4

由①②知一出?=2出?一4,所以必=1.

答案、：|4

4.在AABC中，acos/1+Z?cosB=ccosC,试判断△ABC的形状.

6+/一〃c2+a2-/>2序+序-/

解：由余弦定理知cosA=而cosB=*，,，力：代入已知条

/CC/cosC=4*C40

/（//+c2-/cr+tz2—Z?2.c9*-a2b1-2

件得〃.一^+匕-S~A=0

lab

通分得（按+C2—*）+62（〃2+02—按）+/（/一〃2_〃）=0,

2

展开整理得（〃2—加）=?.

所以，一加=±/,即/=b2+c2或62=〃2+。2.

根据勾股定理知是直角三角形.

【第三学时】

学习重难点学习目标核心素养

通过对任意三角形边长和角度关系

正弦定理的探索，掌握正弦逻辑推理

定理的内容及其证明方法

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？

2.正弦定理的内容是什么？

二、合作探究

探究点1：

已知两角及一边解三角形

阳E在△人2c中，已知°=10,人一45。，C-30°,解这个三角形.

解：因为A=45。，0=30°,所以3=180。一(A+C)=105°.

〜a__ccsinA,八sin45°・八r-

由而彳=而下得a=sinC="sin30。=1S/*2。

因为sin750=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin所以^=笔学

•olllLz

lOxsin(A+C)也+mr-।r-

--35；=2OX^T^=5^+5V6.

探究点2：

已知两边及其中一边的对角解三域

丽已知AABC中的下列条件，解三角形：

(1)。=10,6=20,A=60°；

(2)a=2,c=加，

解:⑴因为舟而

所以血8=智=型喏£=#>1,

所以三角形无解.

/-、HLACg、i.A^sinC\/2

（2）因为而^=而乙，所以sinA=-^=亍.

因为c>〃，所以0A.所以A=；.

Grri八5兀csinBm'in12r-

所以8=五，力=4=-^=小+1.

sin3

互动探究：

变条件：若本例⑵中。兰改为A=；,其他条件不变，求C,B,b.

ac「二卜].csinAy]3

解：因为孑启=而下'所以smC=F-=看，

所以。=1或竽

当C=1时,8=五，b=M7=S+l・

当C=1■时，B=五，b=/彳=小一】•

探究点3：

判断三角形的形状

Sim已知在△ABC中，角A,B所对的边分别是〃和江若〃cosB=OcosA,贝iJ/iABC一

定是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由正弦定理得：acosB=bcosA=sin4cos8=sin8cos40sin(4—8)=0,由于一兀

<A-B<nf故必有4-8=0,A=3,即△ABC为等腰三角形.

答案：A

变条件：若把本例条件变为“加in8=csinC"，试判断aABC的形状.

解：由Z?sinB=csinC可得sin23=sin2。，因为三角形内角和为180。,

所以sinB=sinC.所以8=C.故△A8C为等腰三角形.

三、学习小结

1.正弦定理

条件在AABC中，角4,B,。所对的边分别为。，b,C

a_____b_____c

结论sinAsinBsinC

文字

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

叙述

2.正弦定理的变形

若R为△ABC外接圆的半径，则

(1)a=2Rs\nA,b=2Rs\nB,c=2/?sinC；

c•4__•__6__C

(2)sinA-2R,sinDB—2R，sinC-2R；

(3)sinA1sinB•sinC=a:b：c；

a+b-\-c

(4)------------------------=2R

sinA+sinB+sinC"

四、精炼反馈

1.(2019•辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在中,48=2,4c=3,8=60。,则cos

C=)

V3V36

AC.B.

V23D.V26

解析：选8・由正弦定理，得枭即焉=焉，解得sinC=孚因为A"

AC,所以C<5,所以csC=71—sii/C=乎.

2.在△ABC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,且A：8：C=1：2：3,则a：b：c

=()

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：小：1D.1：4：2

解析：选D.在A4BC中，因为A：B：C=1：2：3,所以B=2A,C=3A,又A+B+C

=180°,所以4=30。，5=60。,C=90°,所以a：h：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin60°：

sin90°=1:小：2.

3.在AABC中，角4,B,。的对边分别是小b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则

△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析：选D.己知c—acosB=(2a—b)cosA,由正弦定理得sinC—sinAcosB=2sinAcos

A-sin5cosA,所以sin(A+8)—sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,化简得cos4(sinB-

sinA)=0,所以cosA=0或sin8—sinA=0,则A=90。或4=8,故△ABC为等腰三角形或直

角三角形.

【第四学时】

学习重难点学习目标核心素养

理解测量中的基线等有关名词、

测量中的术语直观想象

术语的确切含义

会利用正、余弦定理解决生产实

测量距离、高度、角度问题践中的有关距离、高度、角度等数学建模

问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题:

1.什么是基线？

2.基线的长度与测量的精确度有什么关系？

3.利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？

二、合作探究

探究点1：

测量距离问题

TO海上4,B两个小岛相距10海里，从A岛望。岛和8岛成60。的视角，从8岛望

。岛和A岛成75。的视角，则8岛与。岛间的距离是・

解析：如图，在ZiABC中，ZC=180°-(NB+NA)=45。，

由正弦定理,可得凝=焉,=|

所以8c=/10=5加(海里).

答案：5#海里

互动探究:

变条件：在本例中，若“从。岛望C岛和人岛成75。的视角”改为“八，C两岛相距20海

里”，其他条件不变，又如何求8岛与C岛间的距离呢？

解：由已知在△A8C中，AB=10,AC=20,NB4C=60。，即已知两边和两边的夹角,利

用余弦定理求解即可.

BC2=AB2-\-AC2-2ABACCOS60°=102+20-2X10X20X^=300.故8。=1即.

即B,C间的距离为海里.

探究点2

测量高度问题

m如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶。

在西偏北30。的方向上，行驶60()m后到达5处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为

30°,则此山的高度。=m.

D

BA

解析：由题意，在△A8C中，N8AC=30°,NABC=180。-75。=105。，故NACB=45°.

又A3=60()m,故由正弦定理得点脸=看2

Alliw*ky

解得BC=30Mm.在RS8C。中，CD=BCtan30°=30072^^=10076(m).

答案：106同

互动探究：

变问法：在本例条件下，汽车在沿直线A8方向行驶的过程中，若测得观察山顶。点的最

大仰角为a,求tana的值.

解：如图，过点C,作CE_LA8,垂足为E,则NOEC=a,由例题可知,

75°,BC=30(h/2,

所以CE=BCsm/CBE

=300V2sin75°

=300^即；*

=150+15即.

DC_100\^_36.而

所以tana=

CE—150+15即-3

探究点3：

测量角度问题

随引岛人观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10

海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方

向8处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北

偏东75。方向且相距10海里的C处，随即以每小时1（八份海里的速度前往

拦截.

（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？

（2）假设海监船在。处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间.

解：（1）根据题意得NB4C=45。，NABC=75。，BC=10,

所以N4。3=180。一75。一45。=60。，

在A4BC中，由

sinN4cBsin/BAC'

BCsinZACBlOsin60°

所以海监船接到通知时，在距离岛A5加海里处.

（2）设海监船航行时间为，小时，则8。=10\8力CD=106

又因为NBCQ=180°-ZACB=180°-60°=120°,

所以BD2=BC2+CD2-2BC-CDcos120°,

所以300尸=100+100?-2xl0xl0f|

所以2尸一/一1=0,

解得/=1或Z=-2（舍去）.

所以CD=10,所以BC=CD,

所以NC&）=；（180°-120°）=30°,

所以N43O=75。+30。=105。.

所以海监船沿方位角105。航行，航行时间为1个小时.

（或海监船沿南偏东75。方向航行，航行时间为1个小时）

三、学习小结

1.基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做型.

2.基线与测量精确度的关系

一般来说，基线越长，测量的精确度越匮.

3.实际测量中的有关名称、术语

名称定义图示

在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线1//视线

彳臼角

的夹角水平线

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线犁卜理角水平线

俯角线1

的夹角

北南偏西60°

西J（指以正南

从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线袤癣可方向为始

方向角

是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90。）南1边，转向目

标方向线形成的角）

北

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水0)120°

方位角

平角飞

四、精炼反馈

1.若尸在。的北偏东44。50,方向上，则。在「的（）

A.东偏北45。10,方向上B.东偏北45。50,方向上

C.南偏西44。50,方向上D.西偏南45。50,方向上

解析：选C.如图所示.

北

由

2.如图，D,C,8三点在地面同一直线上，从地面上C,。两点望山顶A,测得它们的

仰角分别为45。和30。，已知8=200米，点。位于8。上，则山高A8等于（）

A

DCR

A.埼成米B.50（^3+1）米

C.100（小+1）米D.200米

解析：选C.设A8—人米，在RSACB中，NAC8—45。，

所以BC=AB=x.

在R3ABO中，ZD=30°,贝1]8。=448=小工

因为BO—8C=CO,所以小不一x=200,

解得x=100（黄+1）.故选C.

3.已知台风中心位于城市4东偏北a（。为锐角）度的150公里处，以P公里〃J、时沿正

西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北夕（△为锐角）度的200公里处，若cosa

3

=Wcos£,贝iju=（）

A.60B.8（）

C.100D.125

解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得（2.5v）2=2002+1502+2X200X150COS（a

+夕）①，由正弦定理得；点2，所以sina=gsin夕.又cosa=,cos£,sin2a+cos2a=

olllpolllUJQ

3443I?12

1,解得sin£=W，故cos£=g,sina=7,cosa=7,故cos（a+£）=zr——=0,代入①解得

JJJJJ。J。

产100.

A

4.某巡逻艇在A处发现在北偏东45。距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75。的方向

以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12、8海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻

艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向.

解：设经过，小时在点。处刚好追上走私船，依题意：AC=12小3BC=\2t,ZABC=

120°,

在"5C中，由正弦定理得^需=马而

所以sinN8AC=g,所以NB4C=30。，

2

所以AB=BC=8=12f,解得［=1,航行的方向为北偏东75°.

2

即巡逻艇最少经过1小时可追到走私船，沿北偏东75。的方向航行.

平面向量的运算

【第一课时】

向量的加法运算

【学习重难点】【学习目标】【核心素养】

理解向量加法的概念以及向量

平面向量加法的几何意义数学抽象、直观想象

加法的几何意义

掌握向量加法的平行四边形法

平行四边形法则

则和三角形法则，数学抽象、直观想象

和三角形法则

会用它们解决实际问题

掌握向量加法的交换律和结合

平面向量加法的运算律数学抽象、数学运算

律，会用它们进行计算

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？

2.向量加法的运算律有哪两个？

二、新知探究

探究点1：

平而向量的加法及其几何意义

例1：如图，已知向量a,b,Cf求作和向量a+8+c.

解：法一：可先作a+c,再作Q+c)+力，即。+)+c.如图，首先在平面内任取一点

O,作向量以一处接着作向量加一。，

则得向量仍=a+c,然后作向量沈=4

则向量沈=。+方+。为所求.

-c

0<-----

法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作.如图，(1)在平面内任取一点0,作

0A=af0h=b\

(2)作平行四边形A0BC,则灵=。+)；

(3)再作向量帅=c；

(4)作平行四边形CODE,

则次?+c=a+8+c.0fc即为所求.

探究点2：

平面向量的加法运算

例2：化简：

(1)觉+砧

(2)m+Ct>+祀；

(3)劝+亦+仍+湿+或

解：(1)成+^=筋+求=湿.

(2)Dh+Cb+Bt

=配+劭+励

=(Bt+Ct>)+励

=筋+加=0.

(3)油+办+劭+配+成

=牯+反：+6+办+现

=配+劭+加+并

=助+办+两=#+双=0.

探究点3：

向量加法的实际应用

例3：某人在静水中游泳，速度为44千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游

泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

解：如图，设此人游泳的速度为仍，水流的速度为次，以3,仍为邻边作口。4。5,则

此人的实际速度为3+附=区.

B.....C

4731\

04，

由勾股定理知I成1=8,且在放"C。中，ZCOA=60°f故此人沿与河岸成60。的夹角顺

着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时.

三、学习小结

1.向量加法的定义及运算法则

定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法

三角前提已知非零向量。，b

法则形法作法在平面内任取一点A,作筋=。，比=从再作向量祀

则结论向量祝叫做。与b的和,记作。+瓦

即a~\~b=硅+唯=/

图形

前提已知不共线的两个向量。，b

平行在平面内任取一点0,以同一点0为起点的两个己

作法

法四边知向量。，〃为邻边作口。4"

则形法结论对角线元就是。与b的和

则。书

图形

规

对于零向量与任一向量a,我们规定。+0=止±卫=口

定

2.lo+例,|a|,回之间的关系

一般地，\a+b\<\a\~\~\b\f当且仅当〃，b方向相同时等号成立.

3.向量加法的运算律

交换律g-\-b=b~\~a

结合律(a+b)+c=a+(：+c)

四、精炼反馈

1,化简。>+地+对+下的结果等于（

A.QPB.

C.SPD.

解析：选B.办+地+对+升=死+0=死.