新课程2024高考数学一轮复习第九章统计与统计案例第1讲随机抽样学案含解析

PAGE第九章统计与统计案例第1讲随机抽样[考纲解读]1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简洁随机抽样方法从总体中抽取样本.2.了解分层抽样的意义，能利用分层抽样解决实际问题．(重点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲内容为高考中的冷考点．预料2024年高考对本讲将会以实际应用为背景命题考查分层抽样，同时也可能与统计相结合命题．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中、低档题目为主.1．简洁随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个eq\o(□,\s\up3(01))不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，假如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都eq\o(□,\s\up3(02))相等，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽样．(2)最常用的简洁随机抽样的方法：eq\o(□,\s\up3(03))抽签法和eq\o(□,\s\up3(04))随机数表法．2．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成eq\o(□,\s\up3(01))互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)应用范围：当总体是由eq\o(□,\s\up3(02))差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．注：两种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简洁随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取—总体中的个数较少分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取,各层抽样时采纳简洁随机抽样总体由差异明显的几部分组成1．概念辨析(1)简洁随机抽样是一种不放回抽样．()(2)简洁随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()(3)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．()(4)在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽到的可能性越大．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本容量D．从总体中抽取的一个样本答案A解析从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．(2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选用简洁随机抽样和分层抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，则()A．p1<p2B．p1>p2C．p1＝p2D．以上均有可能答案C解析因为用简洁随机抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等．故选C.(3)一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f(1,12)，则总体中的个体数为()A．40B．60C．80D．120答案D解析因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．由B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f(1,12)，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是eq\f(1,12)，所以总体中的个体数为10÷eq\f(1,12)＝120.故选D.(4)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案18解析由题意，知应从丙型产品中抽取60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝60×eq\f(3,10)＝18(件)．题型一简洁随机抽样1．下列抽样检验中，适合用抽签法的是()A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验答案B解析A，D中总体的个体数较多，不相宜用抽签法，C中，一般甲、乙两厂的产品质量有区分，也不相宜用抽签法．故选B.2．利用简洁随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若其次次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,14)D.eq\f(10,27)答案C解析依据题意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).3．(2024·衡水二模)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，从中抽取60个样本，如下供应的是随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列起先向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是________．答案578解析从第6行第6列的数起先，满意条件的6个编号依次为436,535,577,348,522,578，则第6个编号为578.1.简洁随机抽样的特点(1)抽取的个体数较少．(2)是逐个抽取．(3)是不放回抽取．(4)是等可能抽取．只有四个特点都满意的抽样才是简洁随机抽样.2.抽签法与随机数表法的适用状况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的状况，随机数表法适用于总体中个体数较多的状况.(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否便利；二是号签是否易搅匀.1.(2024·金版原创)(多选)下列抽取样本的方式不属于简洁随机抽样的是()A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中随意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里C.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验D.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参与学校组织的篮球赛答案ABCD解析A项不是简洁随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；B项也不是简洁随机抽样，因为它是有放回的抽样；C项也不是简洁随机抽样，因为它是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；D项也不是简洁随机抽样，因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样．故选ABCD.2.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字起先由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816 6572 0802 6314 0701 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08B．07C．02D．01答案D解析选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01.故选D.题型二分层抽样角度1求总体容量或样本容量1.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A.101B．808C．1212D．2012答案B解析甲社区每个个体被抽到的概率为eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，样本容量为12＋21＋25＋43＝101，所以四个社区中驾驶员的总人数N＝eq\f(101,\f(1,8))＝808.2.(2024·安徽六校教化探讨会联考)某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品的数量之比为2∶3∶5，为探讨这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为()A.15B．25C．50D．60答案C解析解法一：某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则A型产品被抽取的抽样比为eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(1,5).因为A产品有10件，所以n＝eq\f(10,\f(1,5))＝50.故选C.解法二：由题意，得eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(10,n)，解得n＝50.故选C.角度2求每层中的样本数量3.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要依据各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是()A.甲应付51eq\f(41,109)钱B.乙应付32eq\f(24,109)钱C.丙应付16eq\f(56,109)钱D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少答案B解析依题意由分层抽样可知，100÷(560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，则甲应付：eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(钱)；乙应付：eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(钱)；丙应付：eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(钱).分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：依据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.(3)分层抽样的计算应依据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本数量,各层个体数量)”.提示：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必需满意抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量).1.一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f(1,12)，则总体中个体的个数为()A.150B．200C．500D．600答案D解析运用分层抽样的方法，在不同层中每个个体被抽到的概率相等，都等于eq\f(样本容量,总体容量).设总体中个体的个数为N，则eq\f(50,N)＝eq\f(1,12).解得N＝600.故选D.2.某校共有老师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从全部师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100，那么n＝()A.200B．300C．400D．500答案A解析每个个体被抽到的概率等于eq\f(100,800)＝eq\f(1,8)，应抽取的老师人数为200×eq\f(1,8)＝25，应抽取的女学生人数为600×eq\f(1,8)＝75，故样本容量n＝25＋75＋100＝200.3．(2024·河北衡水中学模拟)随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智