新人教版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用教案

平面向量的概念

【教学重难点】【教学目标】【核心素养】

了解平面向量的实际背景，理解平面向

平面向量的相关概念数学抽象

量的相关概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的几何表示数学抽象

概念

理解两个向量相等的含义以及共线向量

相等向量与共线向量数学抽象、逻辑推理

的概念

【教学过程】

一、问题导入

预习教材P2—P4的内容，思考以下问题：

1.向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

2.怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3.两个向量（向量的模）能否比较大小？

4.如何判断相等向量或共线向量？向量初与向量明是相等向量吗？

二、新知探究

1.向量的相关概念

例1：给出下列命题：

①若成=氏,则4,B,C,。四点是平行四边形的四个顶点；

②在口A8CO中，一定有油=成;

③若a=b,b=c,则0=。.

其中所有正确命题的序号为.

解析：碎=氏,A,B,C,O四点可能在同一条直线上，故①不正确；在口A8CQ中，

|=|成1，屈与反平行且方向相同，故碇=戊,故②正确；。=方，则|。|=制，且。与b的方向

相同；b=c,则步|=|c|,且。与c的方向相同，则。与。长度相等且方向相同，故。=小故③

正确.

答案：②③

教师小结

（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件

①有大小；②有方向.两个条件缺一不可.

(2)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

2.向量的表示

例2：在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:

(1)况，使|以|=4啦，点4在点。北偏东45。方向上；

(2)初，使励|=4,点8在点A正东方向上；

(3)祝，使|反］=6,点C在点B北偏东30。方向上.

解：(1)由于点4在点。北偏东45。方向上，所以在坐标纸上点A距点。的横向小方格

数与纵向小方格数相等.又|次|=4啦，小方格的边长为1,所以点A距点。的横向小方格数

与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定，画出向量以，如图所示.

(2)由于点8在点A正东方向上，且|劝|=4,所以在坐标纸上点8距点A的横向小方格

数为4,纵向小方格数为0,于是点8的位置可以确定，画出向量牯，如图所示.

(3)由于点。在点8北偏东30。方向上，且|m=6,依据勾股定理可得，在坐标纸上点

。距点8的横向小方格数为3,纵向小方格数为3小之5.2,于是点C的位置可以确定，画出向

量品，如图所示.

教师小结:

用有向线段表示向量的步骤

3.共线向量与相等向量

例3；如图所示，。是正六边形人?COE/7的中心，且厉一a,Oh-b,在每两点所确定的

向量中.

（1）与。的长度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）与。共线的向量有哪些？

解：（1）与。的长度相等、方向相反的向量有仍，沈，硒、电

（2）与。共线的向量有办，豉,况），Fk,Ch,而，初，况，Ab.

互动探究：

（1）变条件、变问法：本例中若。t'=c,其他条件不变，试分别写出与a,b,c相等的向

量.

解：与〃相等的向量有分，D&,内与〃相等的向量有力Eb,M；与。相等的向量

有m,Eb,Ah.

（2）变问法：本例条件不变，与动共线的向量有哪些？

解：与中共线的向量有办，炭，帅,在，Ch,而,R）,血，况.

教师小结

共线向量与相等向量的判断

（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量.

（2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量.

（3）非零向量的共线具有传递性，即向量〃，b,c为非零向量，若。〃4b//c,则口J推

出a//c.

注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况.

【课堂总结】

1.向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量.

（2）有向线段

①定义：具有方向的线段.

②三个要素：起直、之面、长度.

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、8为终点的有向线段

记作乱.

④长度：线段八〃的长度也叫做有向线段油的长度，记作曲.

（3）向量的表示

2.向量的有关概念

（1）向量的模（长度）：向量A5的大小，称为向量息的长度（或称模），记作曲.

（2）零向量：长度为QJ勺向量，记作0.

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

3.两个向量间的关系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫撤共线向量.若〃，入是平行向量，记

作a//b.

规定：零向量与任意向量与行,即对任意向量小都有0〃〃.

（2）相等向量：长度超筌且方向相同的向量，若。，方是相等向量，记作。=从

■名师点拨

（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别.

（2）共线向量所在直线可以平夕亍，与平面几何中的共线不同.

（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

【课堂检测】

1.如图，在%8c。中，点E,尸分别是AB,CD的中点，图中与At平行的向量的个数为

（）

AER

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C.图中与后：平行的向量为加，Fb,卮共3个.

2.下列结论中正确的是（）

①若a〃b且同=|例，则。=方；

②若。=4则。〃〃且|。|=|例；

③若。与》方向相同且⑷=仍|,则。=岳

④若a*b,则0与b方向相反且0用b|.

A.①③B.②③

C.③④D.@<4)

解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，。，方可能反向；②③正

确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等.

3.已知。是正方形ABCO对角线的交点，在以O,A,B,C,。这5点中任意一点为起

点，另一点为终点的所有向量中，写出：

(1)与沅相等的向量；

(2)马加长度相等的向量；

(3)与力A共线的向量.

解：画出图形，如图所示.

(1)易知BC=ADf

所以与觉相等的向量为

(2)由。是正方形ABCO对角线的交点知OB=OD=OA=OC,

所以与防长度相等的向量为尻)，沈，cb,况，初，亦Db.

(3)与用共线的向量为初，前,ch.

平面向量的应用

【第一课时】

教学重难点教学目标核心素养

会用向量方法解决平面几何中的

向量在平面几何中的应用平行、数学建模、逻辑推理

垂直、长度、夹角等问题

会用向量方法解决物理中的速

向量在物理中的应用数学建模、数学运算

度、力学问题

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题?

2.如何用向量方法解决物理问题？

二、新知探究

探究点1;

向量在几何中的应用

角度一：平面几何中的垂直问题

例1：如图所示，在正方形A8co中，E,尸分别是AB,8C的中点，求证:

AFLDE.

证明：法一：设m=a,Ah=b.

则⑷=|加,a・b=0,

又力丘=一0+上,#=筋+办=方+%,

所.俄=(〃+为(_a+W=_%2—]/+/2=_/2+如2=0.

故油J_盼，即AF_L£>£

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则A(0,0),

D(0,2),E(1,0),F(2,1),#=(2,1),降=(1,-2).

因为#•阮=(2,1)•(1,-2)=2-2=0,

所以协_L瓦，即4F_LOE.

角度二：平面几何中的平行(或共线)问题

圆②：如图，点O是平行四边形A8CQ的中心，E,尸分别在边CO,AB

CFAF1

上，且寸=而=求证：点尸在同一直线上.

LDrD5Z.E，O，

证明：设初=加，才力=〃，

CEAF1

由而=而=知尸分别是。>，的三等分点,

匕Drn5Z，£，AB

1J、111

=-W旭十］3〃十।〃)=4相+］〃,

破祀+；仍

1,,.11,1

=2vtn-tn)-］，X=不，〃十］/1.

所以劭=旗.

又。为劭和尚的公共点，故点E,O,b在同一直线上.

角度三：平面几何中的长度问题

颐引：如图，平行四边形A8CQ中，已知A£>=1,A8=2,对角线80=

2,求对角线AC的长.

解：设劝=。，A^=b,则m=a—》，配=°+》，

而|Bt)\—\a-b\~yjcr—lab-^b2~yj1-\-4-2ab—、5—2ab—2,

所以5—2〃彷=4,所以。心=当，又|At|2=|a+bF=a2+2a.8+〃2=]+4+2a.b=6,所以|祀

1=木,即AC=班.

阳宿团附

用向量方法解决平面几何问题的步骤

立平面几何与向量的联系，用向量

表示问题中涉及的几何元素.

(“化)-]将平面几何问题转化为向量问题]

(£算卜一fk过向量运算,研究几何元素间的关系)

([•〉T用运算结果判断几何问题中的关系〕

保究点@___________

向量在物理中的应用

履M：(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25

km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)己知两恒力尸i=(3,4),尸2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)

移动到点8(7,0),求人，尸2分别对质点所做的功.

解：(1)如图，设牯表示水流的速度，劝表示渡船的速度，祝表示渡船实

际垂直过江的速度./|・一|

因为筋+初=祝，所以四边形A8CO为平行四边形.

在RSACD中，ZACD=90°,|成|=|彷|=12.5.

|劝|—25,所以NCAD—30。，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30。.

(2)设物体在力尸作用下的位移为s,则所做的功为W=Fs.

因为息=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

所以用=尸|•息=(3,4)•(-13,-15)

=3x(-13)+4x(-15)=-99(焦)，

牝=尸2•初=(6,-5)•(-13,-15)

=6x(—13)+(—5)x(—15)=—3(焦).

画陶防固

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

表示〉_-把物理问题中的相关量用向量表示

转化为向量问题的模型,通过向量的运算

使问题得以解决

迁原》_►把结果迁原为物理问题

三、课堂总结

1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

/X建立平面几何与向好的联系，用向一表

对发一示问题中涉及的几何元素，将平面几何

问题转化为向量问题

4介,一通过向量运算，研究几何元素之间的关

7系,如距离、夹角等问题_____________

把运算结果“翻译”成几何关系'

2.向量在物理学中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法

相似，可以用向量的知识来解决.

(2)物理学中的功是一个标量，即为力尸与位移s的数量积，即W=Fs=|6|s|cos。(0

为尸与s的夹角).

四、课堂检测

1.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静

水中的速度大小为()

A.10m/sB.2\[26m/s

C.4y[6m/sD.12m/s

解析：选B.由题意如卜水|=2m/s,,册|=10m/s,作出示意图如图.

所以小船在静水中的速度大小

必=11。2+22=2而(m/s).

2.已知三个力力=(-2,-1),力=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一

点，为使物体保持平衡，再加上一个力角，则八=()

A.(—1,—2)B.(1,­2)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：选D.由物理知识知力+力+力+加=0,故4=一(/+及+力)=(1,2).

3.设P，。分别是梯形ABC。的对角线AC与8。的中点，ABVOC,试用向量证明：PQ

//AB.

证明：设反=工(2>0且¥1),因为匝=电一介=劝+匝一^^劝+卜眇一祝)

=AS+1[(AZ)-AS)-(AS+Dt)]

=油+；(cb-A^)

=z(Ct)+A^)=z(—2+1)A§,

所以电〃牯，又P,Q,A,8四点不共线，所以尸。〃AB.

【第二课时】

教学重难点教学目标核心素养

余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理

掌握余弦定理的几种变形公式及应

余弦定理的推论数学运算

用

能利用余弦定理求解三角形的边、

三角形的元素及解三角形数学运算

角等问题

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.余弦定理的内容是什么？

2.余弦定理有哪些推论？

二、新知探究

探究点画____________________________

已知两边及一角解三角形

■H：(1)(2018•高考全国卷U)在"BC中，cos/冬BC=1,AC=5,则AB=()

A.4^/2B.而

C.^29D.2小

(2)已知"BC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,a=布，c=2,cosA=|,则力

)

^

2V3

Ac.B.

D.1

c寸3

2-=2-

25所以由余弦定理，得A"=AC2+8C2

-2AC-BCcosC=25+1-2x5x1xf-|j=32,所以48=46，故选A.

（2）由余弦定理得5=22+/一2乂2反0$4

2

因为cosA=g,所以34—88—3=0,

所以/?=3（。=一（舍去）.故选D.

答案：（1）A

（2）D

互动探究：

变条件：将本例⑵中的条件“a=邓,c=2,cosA=1w改为“4=2,c=2，5,cosA=

誓,求人为何值？

解：由余弦定理得：

层=6+/—2bccosA,

所以22=〃+（273）2—2xbx2/X乎，

即从一66+8=0,解得6=2或b=4.

规律方法：

解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤

（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.

（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.

探究点2：

己知三边（三边关系）解三角形

（1）在△45C中，已知〃=3,b=5,c=V19,则最大角与最小角的和为（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

（2）在△ABC中，若（a+c）（以一c）=b（Z?—c）,则A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

解析：（1）在△ABC中，因为。=3,6=5,。=梅，

所以最大角为8,最小角为A,

+庐一/9+25—19I

所以cosC=-=5,所以C=60。，所以A+8=120。，所以△ABC中

LUu乙八3八3乙

的最大角与最小角的和为120。.故选B.

（2）因为（a+c）（6f—c）=b（/?—c）,所以按+/—〃2=6C,所以cos4=

2bc

因为(0°,180°),所以A=60。.

答案：(1)B

胆宿园附

已知三角形的三边解三角形的方法

先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求

出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.

注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入3从而转化为己知三边求

探究点3：

判断三角形的形状

阳⑶：在A48C中，若Z?2sin2C4-c2sin2B=2Z?ccos8cosC,试判断"8C的形状.

解：将已知等式变形为

b1(1—cos2C)-\~(r(1—COS2B)=2bccosBcosC.

由余弦定理并整理，得

/+»一//+启一廿

=2菠2acx2ab，

Ml”JIa[(c^+b^—c2)+(居+»—按)]24a4)

所以Zr+/=4^2=/=矿.

所以A=90。.所以^ABC是直角三角形.

规律方法：

(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径

①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断.

②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断.

(2)判断三角形时经常用到以下结论

①4ABC为直角三角形=/=户+°2或廿=标+/或庐=々2+^2.

②△ABC为锐角三角形=〃2+〃>/,且〃+。2>〃2,且/+。2>02

③△ABC为钝角三角形=/+〃</或62+。2<々2或/+々2V/.

7T

④若sin2A=sin28,则A=B或A+B=].

三、课堂总结

1.余弦定理

三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹

文字语言

角的余弦的积的两倍

标=♦+c2-2bccos_A

符号语言〃2=42+(?-2-ccosB

<?=层+/一2aZ?cosC

2.余弦定理的推论

户+/一/

cosA=2bc:

♦+c2—护

cosB-------------；

2ac

〃2+从一寸

cos2ab-

3.二角形的元素与解二角形

（1）三角形的元素

三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.

（2）解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

四、课堂检测

1.在△ABC中，已知。=5,b=7,c=8,则4+C=（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

/+C2—从25+64—49

解析：选

B.cosB=lac-2x5x8

所以8=60。，所以A+C=120。.

2.在中，已知（〃+Z?+c）（8+c—a）=3bc,则角4等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：选B.因为（8+c）2-/=/+/+2从一々2=3儿，

所以序+c2一/=加，

/+/一1

所以cosA=----赤---=2，所以A=60。.

3.若△A8C的内角A,B,。所对的边小b,c满足（a+h）2-?=4,且C=60。，则取?

解析：因为。=60。，所以°2=“2+从—2abcos60。,

即/—/+从一々b.①

又因为（a+Z?）2—C2=4,

所以/MM+/+ZHJ-ZL②

4

由①②知一"=2"—4,所以砧=）.

答案：|4

4.在△A8C中，acosA+bcosB=ccosC,试判断△ABC的形状.

〃+/-CT02+/—。2々2+。2-^2

解：由余弦定理知cosA=双，cosB=Z—,cosC=^-7,代入已知条

“/日/+/—〃2(?+612—Z?2,c1—cr—tr

件得oF^+.F^~+c.F^=°,

通分得。2(加+c2—/)+Z?2(c2+c2—Z?2)4-C2(/一/一从)=0,

展开整理得(序一加)2=/.

所以〃2一/二土/,即/=〃+/或"=/+/.

根据勾股定理知AABC是直角三角形.

【第三课时】

教学重难点教学目标核心素养

通过对任意三角形边长和角度关系

正弦定理的探索，掌握正弦逻辑推理

定理的内容及其证明方法

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？

2.正弦定理的内容是什么？

二、新知探究

探究点@____________________________

已知两角及一边解三角形

jam：在AABC中，已知c=10,4=45。，C=30°,解这个三角形.

【解】因为4=45。，C=30°,所以3=180。一（A+C）=105°.

,_ac但csinA…sin45°,八r-

由而入=而下得a=sinC=10xsin30°=，

因为。+。)所以里平

sin75o=sin(3045=sin300cos450+cos30°sin45°=^t4^,^=sinc

lOxsin(A+C)八小十,.r-

—而行一:20x乂仔=5啦r+5旗.

期宿团四

已知三角形的两角和任一边解三角形的思路

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和

定理求出第三个角.

(2)若所给边不是己知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定

理求另外两边.

探究点酉__________________________

已知两边及其中一边的对角解皿眨

丽已知AABC中的下列条件，解三角形：

(1)。=10,b=20,A=60°；

(2)。=2,c=&,。=$

解：⑴因为磊=去,

所以58=”$=型喏£=小＞1,

所以三角形无解.

/八e、1ac.4-sinCyl2

(2)因为忑港=而下，所以sinA=—

因为c>a,所以C>A.所以4=；.

师&5兀csinB"s'"12r-

s,n3

互动探究：

变条件：若本例⑵中。=当改为A=其他条件不变，求C,B,b.

解：因为嬴不=而下’所以smC=[^=^・

所以C=1或竽.

当c=1时，B=E，"=^T=/+L

山人27C-,nn,t/sinB(-

当C=3■时，8=五，力=飞病=小-1.

期陶园附

(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路

①首先由正弦定理求出另一边充角的正弦值；

②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另

一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；

③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可

求两个角，要分类讨论.

(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法

①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；

②在△ABC中，已知小人和4,以点。为圆心，以边长。为半径画弧，此弧与除去顶点

A的射线48的公共点的个数即为三角形解的个数，解E向个数见下表：

A为钝角A为直角A为锐角

a>b一解一解一解

a=b无解无解一解

<z>/?sinA两解

a<b无解无解a=bsinA一解

a<bs\nA无解

搽究点同L

判断三角形的形状

匐引：已知在△ABC中，角A,B所对的边分别是4和。，若〃cos8=6cosA,则ZkABC一

定是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由正弦定理得：tzcosB=/?cosA=>sinAcosB=sinBcosA^sin(A—8)=0,由于一兀

<A-B<n1故必有4—8=0,A=B,即8c为等腰三角形.

答案：A

互动探究：

变条件：若把本例条件变为“枕in3=csinC”，试判断△ABC的形状.

解：由bsinB=csinC可得sin23=sin2。，因为三角形内角和为180。，

所以sinB=sinC.所以B=C.故为等腰三角形.

施陶防tsi

判断三角形形状的两种途径

：前甫定密夏逅兔己身泰祥需在有豆£美系：

化边，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，

；从而判断三角形的形状

利用正弦定理把已知条件转化为内角的三

角函数间的关系，通过三角函数恒等变形

得出内角的关系，从而判断出三角形的形

状，此时要注意应用A+BW>x这个结论

注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏

解.

三、课堂总结

1.正弦定理

在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C

abc

sinAsinBsinC

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

■名师点拨

对正弦定理的理解

（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立.

（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.

（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式,

它描述了三角形中边与角的一种数量关系.

2.正弦定理的变形

若R为△ABC外接圆的半径，则

（1）a=2RsinA,h=2RsinB,c=2RsinC；

(3)sinA：sin8：sinC=a:b：c；

,、〃+b+c

sinA+sinB+sinC

四、课堂检测

1.（2019•辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，A8=2,AC=3,8=60。，则cos

C=1）

C.坐D.f

解析：选B.由正弦定理，得券=黑，即言=悬两，解得sinC=^,因为48V

olll5UIJD5111willDUJ

AC,所以CVB,所以cosC=[l一5访2。=卓.

2.在^ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且4：8：C=1：2：3,贝U〃：b：c

=()

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：小：1D.1：小：2

解析：选D.在AA8C中，因为A：8：C=1：2：3,所以B=2A,C=3A,又A+8+C

=180°,所以A=30。，B=60°,C=90°,所以a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin60°：

sin90°=1:小：2.

3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是〃，b,c,若c-acos8=(2a—b)cosAf则

△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析：选D.已知c—acos8=(2a—b)cosA,由正弦定理得sinC—sinAcos8=2sinAcos

A-sinBcosA,所以sin(A+B)—sinAcosB=2sinAcosA—sinBcosA,化简得cosA(sinB-

sinA)=0,所以cosA=0或sinB—sin4=0,则A=90。或A=B,故ZiABC为等腰三角形或直

角三角形.

【第四课时】

教学重难点教学目标核心素养

理解测量中的基线等有关名词、

测量中的术语直观想象

术语的确切含义

会利用正、余弦定理解决生产实

测量距离、高度、角度问题践中的有关距离、高度、角度等数学建模

问题

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.什么是基线？

2.基线的长度与测量的精确度有什么关系?

3.利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？

二、新知探究

搽究点画__________________________

测量距离问题

海上A,B两个小岛相距10海里，从4岛望C岛和3岛成60。的视角，从8岛望

。岛和A岛成75。的视角，则8岛与。岛间的距离是.________

解析：如图，在aABC中，ZC=180°-(NB+NA)=45。，

由正弦定理,可得低=焉,4=1

所以8c=/10=5加(海里).

答案：5%海里

变条件：在本例中，若“从8岛望。岛和A岛成75。的视角”改为“A,。两岛相距20海

里”，其他条件不变，又如何求8岛与C岛间的距离呢？

解：由已知在△4BC中，AB=10,AC=20,ZBAC=60°,即已知两边和两边的夹角，利

用余弦定理求解即可.

8(?=AB2+AC2-2ABAGcos60°=102+202-2x10x20x|=300.故BC=

即8,C间的距离为1即海里.

阳宿团附

测量距离问题的解题思路

求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个

三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.构造数学模型时，尽量把己知元素放在同一

个三角形中.

探究点@__________________________

测量高度问题

丽：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公

路北侧一山顶。在西偏北30。的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶

在西偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山的高度8=m.

解析：由题意，在△4BC中，ZBAC=30°,Z4BC=180°-75°=105°,故NAC8=45°.

又48=60()m,故由正弦定理得;系2

解得BC=30Mm.在RS8CD中，C0=8Ctan30。=30（）7^＜坐=10顺（m）.

答案：10加

互动探究：

变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶O点的最

大仰角为a,求tana的值.

解：如图，过点C,作CE_LA8,垂足为E,则NDEC=a,由例题可知，

/CBE=75。,BC=30072,

所以CE=BCsin/CBE

=300V2sin75°

=30MX'¥

=150+l5（h/3.

DC10厮3啦一加

所rrhI以.。=在=]50+15即=3.

期宿团附

测量高度问题的解题思路

高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题.常用正弦定理

或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形

的问题.这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥,

再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度.

探究点@________________

测量角度问题

SBT31：岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10

海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方■_]

向B处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北

偏东75。方向且相距10海里的。处，随即以每小时1丽海里的速度前往

拦截.

（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？

（2）假设海监船在。处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间.

解：（1）根据题意得N84C=45。，N48C=75。，BC=10t

所以ZACB=180°-75。-45。=60°,

AB_BC

在AABC中，由sinZACB=sinZBACf

8CsinNAC8_10sin600_

sinZBAC-sin45°'

2

所以海监船接到通知时，在距离岛A5加海里处.

（2）设海监船航行时间为1小时,则8=10，,

又因为NBCD=180。一NACB=180。-60。=120。，

所以BD2=BC2+CD2-2BC-CDcos120°,

所以300^=100+100/2-2xl0xl0rf-^,

所以2户一，-1=0,

解得t=\或r=—1（舍去）.

所以。。=10,所以8C=CQ,

所以NC3O=；（180。—120。）=30°,

所以443。=75。+30。=105。.

所以海监船沿方位角1（）5。航行，航行时间为1个小时.

（或海监船沿南偏东75。方向航行，航行时间为1个小时）

阳宿团四

测量角度问题的基本思路

（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中

标出相关的角和距离.

（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的

解.

三、课堂总结

1.基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线

实际测量中的有关名称、术语

名称定义图示

视线

在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线错和角

仰角看

的夹角一水平线

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线望7!^水平线

俯角

的夹角

南偏西60。（指以正南

方向为始边，转向目标

从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线方向线形成的角）

方向角

是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90。）西］

北

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水

方位角。遂

平角

四、课堂检测

1.若P在。的北偏东44。50,方向上，则。在尸的（）

A.东偏北45。10,方向上B.东偏北45。50'方向上

C.南偏西44。50,方向上D.西偏南45。50,方向上

解析：选C.如图所示.

2.如图，C,B三点在地面同一直线上，从地面上C,。两点望山顶A,测得它们的

仰角分别为45。和30。，已知CD=200米，点。位于B。上，则山高4B等于（）

A

A.10岫米B.50（V3+1）米

C.100（V3+1）米D.200米

解析：选C.设AB=x米，在RSAC3中，ZACB=45°,

所以BC=4B=x.

在RSAB。中，ZD=30°,则8。=小43=小尤

因为BD-8C=CQ,所以小4一尸200,

解得x=100（^3+1）.故选C.

3.已知台风中心位于城市A东偏北a（a为锐角）度的150公里处，以v公里〃J、时沿正

西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北夕（£为锐角）度的200公里处，若cosa

=4cos夕，则u=（）

A.60B.80

C.100D.125

解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得（2.5v）2=2002+1502+2X200X150COS（a

+£）①，由正弦定理得点，=W，所以sina=gsinp.又cosafcos^,sin2a+cos2a=

sin"sinj

3443I?12

1,解得5由4=亍故cos4=5,sina=5，cosa=$,故cos(a+.)25—25=0,代入①解得

v=1