学高中数学 综合检测配套训练 苏教版必修2

综合检测一、填空题1．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是________．2．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为________．3．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在平面的位置关系是________．4．直线3ax－y－1＝0与直线(a－eq\f(2,3))x＋y＋1＝0垂直，则a的值是________．5．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于________．6．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为eq\f(1,2)的直线垂直，则a的值为_______．7．圆C1：(x－3)2＋(y－4)2＝16与圆C2：x2＋y2＝m内切，则实数m＝________.8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C19．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________．10．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，eq\r(2)和a，且长为a的棱与长为eq\r(2)的棱异面，则a的取值范围是________．11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN12．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，eq\r(3))，B(－2，－2eq\r(3))，则直线l1，l2的位置关系是________．13．过直线x＋y－2eq\r(2)＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．14．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为eq\r(3)的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．二、解答题15．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．16．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.17．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.18．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．19．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值的点P的坐标．20．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相 等，求四棱锥P－ABCD的体积．

答案1．22．43．垂直4．－eq\f(1,3)或15．2eq\r(3)6．－107．818．④9.eq\r(6)或eq\r(2)10．(0，eq\r(2))11．90°12．平行或重合13．(eq\r(2)，eq\r(2))14.eq\f(eq\r(3),3)15．解(1)如图所示，显然有0<d≤AB.而AB＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10).故所求的d的变化范围为(0,3eq\r(10)]．(2)由图可知，当d最大时，两直线垂直于AB.而kAB＝eq\f(2－－1,6－－3)＝eq\f(1,3)，∴所求的直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.16．证明(1)如图所示，连结AC，AC交BD于点O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.17．解(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.①当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．②当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，故eq\f(|－k＋2|,eq\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(3,4).∴方程为y－5＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y＋11＝0.综上，所求直线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.(2)AO＝eq\r(9＋25)＝eq\r(34)，lAO：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝eq\f(1,eq\r(34))，S＝eq\f(1,2)d·AO＝eq\f(1,2).18．(1)证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)解如图，设BD与AC交于点O，连结OE.∵PC⊥平面BDE，BE、OE⊂平面BDE.∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BEO即为二面角B－PC－A的平面角．由(1)知BD⊥平面PAC.又OE、AC⊂平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴BD＝AC＝2eq\r(2)，BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2).由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD得PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.而PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5)，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝3.在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE得BE＝eq\f(2eq\r(5),3).在Rt△BOE中，OE＝eq\r(BE2－BO2)＝eq\f(eq\r(2),3).∴tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝3，即二面角B－PC－A的正切值为3.19．解(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，∴设切线方程为x＋y＝a(a≠0)，又∵圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，∴圆心C(－1,2)到切线的距离等于圆的半径eq\r(2)，∴eq\f(|－1＋2－a|,eq\r(2))＝eq\r(2)⇒a＝－1，或a＝3，则所求切线的方程为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)∵切线PM与半径CM垂直，∴PM2＝PC2－CM2，∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)，∴2x1－4y1＋3＝0，∴动点P的轨迹是直线2x－4y＋3＝0.PM的最小值就是PO的最小值，而PO的最小值为O到直线2x－4y＋3＝0的距离d＝eq\f(3eq\r(5),10)，此时点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－eq\f(3,10)，eq\f(3,5))).20．(1)证明如图，连结AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.(2)解过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连结PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意得∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝eq\f(PA,PB)，sin∠BPF＝eq\f(BF,PB)，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC.又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝eq\r(AB2＋AG2)＝2eq\r(5)，BF＝