学高中数学 综合检测（一）北师大版选修2-2

综合检测(一)一、选择题1．i是虚数单位，复数eq\f(1－3i,1－i)的共轭复数是 ()A．2＋i B．2－iC．－1＋2i D．－1－2i2．下列积分的值为2的是 ()A．ʃeq\o\al(5,0)(2x－4)dx B．ʃeq\o\al(π,0)cosxdxC．ʃeq\o\al(3,1)eq\f(1,x)dx D．ʃeq\o\al(π,0)sinxdx3．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为 ()A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除4．i为虚数单位，复平面内表示复数z＝eq\f(－i,2＋i)的点在 ()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，则P，Q的大小关系为 ()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定6．求证：eq\r(7)－1>eq\r(11)－eq\r(5).证明：要证eq\r(7)－1>eq\r(11)－eq\r(5)，只要证eq\r(7)＋eq\r(5)>eq\r(11)＋1，即证7＋2eq\r(7×5)＋5>11＋2eq\r(11)＋1，即证eq\r(35)>eq\r(11)，即证35>11，∵35>11恒成立，∴原式成立．以上证明过程应用了 ()A．综合法 B．分析法C．综合法、分析法配合使用 D．间接证法7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极大值点 ()A．1个 B．2个C．3个 D．4个8．设f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为 ()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)9.如右图阴影部分的面积是 ()A．e＋eq\f(1,e)B．e＋eq\f(1,e)－1C．e＋eq\f(1,e)－2D．e－eq\f(1,e)10．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为 ()A．(1,0) B．(－1，－4)C．(1，－4) D．(1,0)或(－1，－4)11．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且(x－1)f′(x)>0，a＝f(0)，b＝f(eq\f(1,2))，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是 ()A．a>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．c>b>a12．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于 ()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)二、填空题13．若复数z＝cosθ－sinθi所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．14．变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2(m/s)(其中t为时间，单位：s)，则它在前2s内所走过的路程为________m.15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题16．已知复数z＝eq\f(a2－7a＋6,a2－1)＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．17．求函数f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2的单调区间．18．已知a>5，求证：eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a).19．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，求a2、a3、a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列．(1)比较eq\r(\f(b,a))与eq\r(\f(c,b))的大小，并证明你的结论．(2)求证：B不可能是钝角．21．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋eq\f(k,2)x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．

答案1．A2．D3．B4．C5．C6．B7．B8．C9．C10．D11．B12．C13．一14．215．[－eq\r(3)，eq\r(3)]16．解(1)当z为实数时，则a2－5a－6＝0，且eq\f(a2－7a＋6,a2－1)有意义，∴a＝－1，或a＝6，且a≠±1，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则a2－5a－6≠0，且eq\f(a2－7a＋6,a2－1)有意义，∴a≠－1，且a≠6，且a≠±1.∴当a≠±1，且a≠6时，z为虚数，即当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有a2－5a且eq\f(a2－7a＋6,a2－1)＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠－1，且a≠6，,a＝6.))∴不存在实数a使z为纯虚数．17．解f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．18．证明要证eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需证eq\r(a－5)＋eq\r(a)<eq\r(a－3)＋eq\r(a－2)，只需证(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2<(eq\r(a－3)＋eq\r(a－2))2，只需证2a－5＋2eq\r(a2－5a)<2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，只需证eq\r(a2－5a)<eq\r(a2－5a＋6)，只需证a2－5a<a2－5只需证0<6.因为0<6恒成立，所以eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a)成立．19．解a1＝eq\f(1,2)＝eq\f(3,6)，a2＝eq\f(3,7)，a3＝eq\f(3,8)，a4＝eq\f(3,9)，猜想an＝eq\f(3,n＋5)，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝eq\f(3,1＋5)＝eq\f(1,2)，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即ak＝eq\f(3,k＋5).则当n＝k＋1时，ak＋1＝eq\f(3ak,ak＋3)＝eq\f(3·\f(3,k＋5),\f(3,k＋5)＋3)＝eq\f(3,k＋1＋5)，所以当n＝k＋1时猜想也成立，由①②知，对n∈N*，an＝eq\f(3,n＋5)都成立．20．(1)解大小关系为eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b))，证明如下：要证eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b))，只需证eq\f(b,a)<eq\f(c,b)，由题意知a、b、c>0，只需证b2<ac，∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))，∴b2≤ac，又a、b、c任意两边均不相等，∴b2<ac成立．故所得大小关系正确．(2)证明假设B是钝角，则cosB<0，而cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)>eq\f(2ac－b2,2ac)>eq\f(ac－b2,2ac)>0.这与cosB<0矛盾，故假设不成立．∴B不可能是钝角．21．解(1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－1＋2x.由于f(1)＝ln2，f′(1)＝eq\f(3,2)，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝eq\f(3,2)(x－1)，即3x－2y＋2ln2－3＝0.(2)f′(x)＝eq\f(xkx＋k－1,1＋x)，x∈(－1，＋∞)．当k＝0时，f′(x)＝－eq\f(x,1＋x).所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k<1时，由f′(x)＝eq\f(xkx＋k－1,1＋x)＝0，得x1＝0，x2＝eq\f(1－k,k)>0.所以，在区间(－1,0)和(eq\f(1－k,k)，＋∞)上，f′(x)>0；在区间(0，eq\f(1－k,k))上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(eq\f(1－k,k)，＋∞)，单调递减区间是(0，eq\f(1－k,k))．当k＝1时，f′(x)＝eq\f