学高中数学 第二章 2.2.2（二）双曲线的简单几何性质(二)基础过关训练 新人教A版选修1-1

2.2.2双曲线的简单几何性质(二)一、基础过关1.过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为()A.2 B.4 C.8 D.4eq\r(2)2.过双曲线的一个顶点A作直线l，若l与双曲线只有一个公共点，则这样的直线l有几条()A.0 B.1 C.3 3.已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1和双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,3)＝1(m>0)有相同的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A.3x±y＝0 B.x±3y＝0C.eq\r(3)x±y＝0 D.x±eq\r(3)y＝04.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的半焦距为c，若原点到直线bx＋ay＝ab的距离为eq\f(c,2)，则双曲线的离心率e等于 ()A.eq\r(2) B.2 C.2eq\r(2) D.45.过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，且双曲线的右顶点A满足MA⊥NA，则双曲线的离心率等于________.6.已知点(x，y)在双曲线4x2－y2＝16上，则y2＋8x的最小值为________.7.双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________.二、能力提升8.设F1、F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点.若P在双曲线上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|等于 ()A.2eq\r(5) B.eq\r(5) C.2eq\r(10) D.eq\r(10)9.已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则 ()A.a2＝eq\f(13,2) B.a2＝13C.b2＝eq\f(1,2) D.b2＝210.已知双曲线方程x2－eq\f(y2,2)＝1，过点A(0,1)作直线l交双曲线于P1、P2的不同两点，若线段P1P2的中点在直线x＝eq\f(1,2)上，求l的斜率k的值.11.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的一个焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15).求双曲线E的方程.三、探究与拓展12.直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

答案1.B2.C3.C4.A5.26.－167.(1,3]8.C9.C10.解设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2－\f(y2,2)＝1，))得(2－k2)x2－2kx－3＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－k2≠0，,Δ＝4k2－42－k2－3,＝－8k2＋24>0.))解得－eq\r(3)<k<eq\r(3)，且k≠±eq\r(2).∵P1P2的中点在直线x＝eq\f(1,2)上.∴eq\f(1,2)(x1＋x2)＝eq\f(－k,k2－2)＝eq\f(1,2)，∴k＝－1±eq\r(3).∵－eq\r(3)<k<eq\r(3)，且k≠±eq\r(2).∴k＝－1＋eq\r(3).11.解设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))两式作差得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq\f(－12b2,－15a2)＝eq\f(4b2,5a2).又直线AB的斜率是eq\f(－15－0,－12－3)＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2所以双曲线的标准方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.12.解(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①，依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝2k2－8k2－2>0，,－\f(2k,k2－2)>0，,\f(2,k2－2)>0，))解得k的取值范围为{k|－2<k<－eq\r(2)}.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①得x1＋x2＝eq\f(2k,2－k2)，x1x2＝eq\f(2,k2－2)，②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB，得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0，③把②式及c＝eq\f(\r(6),2)代入③