新教材2021-2022学年高中数学苏教版必修第一册测评 第6章 幂函数、指数函数和对数函数

第6章塞函数、指数函数和对数函数

6.1寨函数

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

1.(多选)下列函数是寻函数的有()

1

A.y=B.y=2?

C.y=f+xD.y=/(/O)

■AD

1

廨析|因为y="2=x?,所以是减函数；y=2f由于出现系数2,因此不是寐函数;产/+工是两项和的

形式，不是赛函数;y=/(/0)是标函数.

2.已知界函数图象经过点(2,8),则该基函数的解析式是()

A.j=3xB.y=(2&F

C.yf3DR?&

1c

豳设紧函数为产档因为图象经过点(2,8),所以产2盘=8,解得a=3,函教的解析式为y三一.

3.下列基函数在区间(0,+8)上是减函数的是()

A.)=xB.y=f

C.J=A?D.y=r'

^|D

解析),=苍)=/,4二/在区间(0,+8)上是增函数J=X”在区间(0,+8)上是减函数，故选D.

4.如图所示，给出四个哥函数的图氮则图象与函数的大致对应是()

A.®y=^,㉘,•=",®y=xA

%2

B.①，•二,&y=xA

%2

CG=f，②，=/，•=，④y=C

%2

D.^=x3,(gv=9=f=/

gg>

颠对于图。函数图象关于原点对称，为奇函数，且在(0,+8)上为增函数,故只有yr3符合;对

于图②函数图象关于y轴对称，为偶函数，且在(0,+8)上为增函数，故只有产小符合;对于图@

函数的定义域为［0,+8),且为增函数，故产彩符合;对于图④函数的定义域为｛加和｝,且为奇函

数,并且在(0,+8)上为减函数，故y=x'符合.故选B.

5.设寻函数危尸”的图象经过点［4,2),则k+a=.

3

醯2

13

由题意得&=1,2=牛=。=2,.：&+。=2

6.已知点3⑻在辕函数/)=3-1)/的图象上，若/则实数m的取值范围

为.

,+8)

解析|因为/X)=(〃/)/为寐函数，

所以a-1=1,解得a=2,

所以危尸/.又(2,8)在危)上，代入解得b=3,

所以贝x)=d为奇函数.

因为firn)+J(1-3m)V0,

所以人机)<次\-3tn)=fi3m-\').

因为犬x)=9在R上为增函数，

1

所以解得m>?、

故实数机的取值范围为/，.

7.已知寝函数«r)=(2阳2-6〃?+5)曰+i为奇函数,则实数m=.

^|2

解析|：加0为解函数,・：2>6〃+5=1,解得m=2或w=l;

当m=\时不是奇函数，不满足题意；

当m=2时出幻=旦是奇函数，满足题意.

综上所述，用=2.

8.如图，暴函数)，二炉(〃?£N)的图象关于)，轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析

式.

7

网由题意，得3"卜7<0,.：〃?<3

*m€N,Zm=O,l或2.

:•寐函数的图象关于y轴对称,

二3机-7为偶数.

*/m=0时,36-7=-7,

m=\时,3/n-7=4

m—2口寸,3"，-7=-1.

4

故当m=\时jff4符合题意，即解析式为yr

B级关键能力提升练

9.如图所示，曲线G与C2分别是函数产/和产父在第一象限内的图象，则下列结论正确的是

()

A.w<m<0BJ〃V〃VO

C.n>m>0D./n>n>0

^¥|A

隆画由图象可知，两函数在第一象限内为减函数，故加<0,”0.又在(0/)内，曲线G更贴近X轴,

故，心〃，故选A.

10.(2020江苏镇江高一月考)已知凝函数J(x)=(m2-3m-3腐”在区间(0,+oo)上是增函数,则实数m

的值是()

A.-1或4B.4

C.-lD.1或4

函B

(m2-3m-3=1.

陵粉寐函数段)二(加2.3相・3)乂”在(0.+oo)上是增函数，则1血>&解得m=4.

11.若累函数几0=产/+"+3（产R.p£Z）在（0,+8）上是增函数，且在定义域.上是偶函数，则

〃+4二（）

A.OB.lC.2D.3

廨丽为火x）=q-+2p+3（g£R,p£Z）是源函数，所以4=1.又危尸d2+2p+3（p£Z）在（0,+8）上

是增函数，所以-〃2+2p+3>0,解得-1<P<3,因为p£Z，所以〃=0或1或2,当〃=0时段）K3,易知

兀）1=/是奇函数，不满足题意，舍去;当p=\时次X）="4,因为九6三/是偶函数，满足题意;当p=2

时於）=3是奇函数，不满足题意，舍去.所以〃+4=2.故选C.

12.（2021安徽宿州高一期中）已知嘉函数段）=（旭2_46+4）产'对任意总眼£（0,+8）,

且加加2,都有（X-X2）［/（M）;/（X2）］<O,则人-3）次-1）次兀）的大小关系是（）

A次九）勺（-3）勺（-1）

By（-l）<7（-3）<7（ir）

c4-3）M/）<yu）

D«・3）5兀）加1）

蠲A

解析对任意X］/2£（0,+8）,且X*X2,都有（汨-X2>口>1）处2）］<0,即於）在（0,+8）上是减函数，又於）

f?n2-47n+4=1.

是解函数，知7n”m・6解得m=1或〃尸3（舍去），•次0=x"风v）是偶函数，

・火1）M1）代3）$3）,而川）次3）次兀），即斤1）X-3）X初

13.（多选）已知鼎函数府）的图象经过点（4,2）,则下列命题正确的是（）

A《v）是偶函数

B«x）在定义域上是增函数

C加）的值域为［0,+8）

D.兀Q在定义域内有最大值

客系］BC

11

廨痴设危）二4,则4a=2,解得a^/.J（x）=XZ~f:m）的定义域为［0,+oo）,不关于原点对称，故

A错误;可得段）在定义域上是增函数，故B正确;值域为［0,+8）,故C正确次x）在定义域内没有

最大值，故D错误.

14.（多选）已知函数尸3。是互质的整数）的图象关于5轴对称，且在©+9）上是增函数，则

（）

A.p为奇数,g为偶数B.pq<0

C.p为偶数均为奇数D.pq>0

标AD

解析由函数厂的图象关于、轴对■称知:函数1y二为偶函数.故q为偶数.〃为奇薮.又）=在

（0,+8）上是增函数，•:pq>0.

15.（多选）函数於尸:巴1£（・1,0）50』）,若不等式段）>田成立,则。的取值可以为（）

A.OB.2C.ID.-2

HAD

丽因为x£（-l,0）U（0,D,所以0<kl<l.

要使y（x）=d>|川成立在（-1,0）u（0,1）上应恒大于o,

所以0=1显然是不成立的.

当。=0时次x）=l>|x|;

当«=2时/）=*=田2<|川；

当a=-2时□:）=X-2=|X「2>I>R.

综上,a的可能取值为。或-2.

16.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为:发送方由明文到密文

（加密）,接收方由密文到明文（解密）.现在加密密钥为y=K（a为常数），如“4”通过加密后得到密

三三.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是_____.

§g]9

画由题目可知加密密钥y=/（a是常数）是一个寐函数模型，所以要想求得解密后得到的明

文，就必须先求出a的值.由题意得2:4。,解得a=2,则丁二彩,由延二?,得x=9.

X2+4X+5

17.函数贝幻二也小^的单调区间为；由兀0的单调性得比兀）

磔减区间（-2,+8）,增区间（-00,-2）>

%2+4X+4+11

朝因为危）=-+4X+4=1+叵②所以其图象可由解函数产/的图象向左平移

2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，如图所示.

所以直幻在G2,+8）上是减函数，在（-8,-2）上是增函数，且图象关于直线x=-2对称.

_V2J2V2

22

又因为-2-（-TT）=7C-2,--（-2）=2-2,所以K.2<2-,

故-7T距离对称轴更近，

所以八-冗)才12,

X根

18.(2021山西怀仁第一中学云东校区高一月考)已知累函数人x)=

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数还经过(2,四),试确定m的值，并求满足共2-〃)4生1)的实数。的取值范围.

1)：'机£N：•：nr+m=m(m+1)为偶如令m2+m=2k,k£N：则J(x)=2五,

.:定义域为。+8),在［0,+00)上兀0为增函数.

1?

y/2.=22=2m2=

(2)7,

•:小+加=2,解得m=l或小=-2(舍去)，

1

X2

•：/□)=，由⑴知«x)在定义域［0,+00)上为增函数.

I［1，

.次2-a)Xa-l)等价于2-公>。-120,解得IWav,.：«的取值范围是1

19.已知轻函数人打=(-2机2+阳+2W"।为偶函数.

(1)求以)的解析式；

(2)若函数)，可5)-23-1口+1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围.

解(1)由Kt)为底函数知.Zw?+m+Zul,

1

即2〃厂加-1=0,得m=l或m=-,

当m=\时｛¥)二小,符合题意；

11

3%2

当加:/时A0=，为非奇非偶函数，不合题意,舍去.

•：段)=6

(2)由(1)得y=7(x)-2(fl-l)x+1=jr-2(a-1)x+1,即函数的对称轴为直线x=a-1,

由题意知函数在Q,3)上为单调函数，

.：对称轴a-1W2或a-123,即或的取值范围是(-8,3］U［4,+8).

C级

20.己知幕函数flx)=(lf+匕1)/趣1锄，且y(2)</(3).

(1)求实数k的值，并写出相应的函数1彳)的解析式；

⑵对于⑴中的函数人x),试判断是否存在正数见使函数g(x)=l次v)+2/水,在区间［0,1］上的最大

值为5,若存在，求出m的值;若不存在,请说明理由.

暖|(1):电)是球函数，故F+hl=l,

；.k=-2或k=\.

当k=l时＜x)三代满足人2)勺(3),

当k=-2时其。二才,不满足12〕守(3),

•次i)=d

(2):，g(x)=1-j(x)+2fnx=-x2+2inx+1,

：・g(x)开口方向向下,对称轴为直线心0),

①当Ovmvl时,g(x)在区间［0,叼上为增函数，在区间［孙1］上为减函数，

•:g(x)max=g(m)=ni2+1=5,Zzn=壬2,均不符合题意，舍去.

②当时,g(x)在区间［0,1］上是增函数，

5

•:g(X)max=g(1)=2"?=5,・：〃?二，符合题意.

5

综上所述刖二土

第6章黑函数、指数函数和对数函数

6.2指数函数

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

1.下列函数中，指数函数的个数为()

riy1(i)2x

@V=V2/；徵=〃(。＞0,且存1)；斜=产；@='2/-1

A.OB.1

C.3D.4

量B

籥词由指数函数的定义可判定,只有②正确.

2.函数y=aM(a＞1)的图象是()

答案B

画该函数是偶函数.可先画出时j=〃的图象，然后沿y轴翻折过去,便得到x<0时的函

数图象.

3.己知府）二3叫2这4《4力为常数）的图象经过定点（2,1）,则府）的值域为（）

A.[9,8I]B.[3,9]

C.[l,9]D.[l,+8)

HJc

断由危）过定点（2,1）可知6=2,所以用）=342且在［2,4］上是增函

数段）min=i/（2）=I尺）maxM4）=9.

4.已知函数产H+a的图象如图所示，则函数产於+k的图象可能是（）

解析|由函数y=kx+a的图象可得&因为函数y=kx+a的图象与大轴交点的横坐标大

于1,所以Q・l,所以“a<0.函数产出型的图象可以看成把产出的图象向右平移-A个单位长

度得到的,且函数），=由d”是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项，选

B.

5.函数）=想曲的定义域为.

答案［3,+8）

髭画由2匚820得x23.

6.某种细菌在培养的过程中，每20min分裂一次（一个分裂为两个），经过3h,这样的细菌由一

个分裂为个.

|答案|512

艇画由题意可知，经过3h,细菌共分裂了9次，这时这样的细菌由一个分裂为29=512（个）.

7.函数尸（广2的值域是.

8.设段)=3',g(x)=(I)

⑴在同•坐标系中作出"x）,gQ）的图象；

⑵计算川）与g（-ix/u）与g（-。/（⑼与双-机）的值，从中你能得到什么结论?

解（1）函数大划与g（x）的图象如图所示：

(2Ml)=3'=3,g(-l)=G)=3；

A北)=3抬(・北)=

旷=3m.

从计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等，即当指数函数的

底薮互为倒数时，它们的图象关于），轴对称.

B级关键能力提升练

）-4

9.若（1-2/有意义，则x的取值范围是（）

A.R

（T）U（”8）

D.

D。）

31

)-4=—1

解析|因为(l-2rJ(l-2x)3有意义，所以L2x>0,即xN,故选D.

10.当A>0时，函数«r)=(a2-l尸的值总大于1,则实数a的取值范围是()

A.(-A-1)U(1,V2)

B.(-l,l)

C.(-oo,-l)U(l,+oo)

D.(-OO,-V2)U(V2,+OO)

蠲D

廨济|依题意得即/>2,.：|山>泥,.：〃的取值范围为(-8,-&)U(应,+oo),故选D.

11.(2021山东枣庄调研)函数)，」弓(0<4<1)的图象的大致形状是()

答案|D

—=产x>0,

画因为产国La's<a且0<a<l,所以根据指数函数的图象和性质，当x£(0,+oo)时，函

数为减函数，图象下降;当八七(-8,0)时，函数是增函数，图象上升，故选D.

12.函数抬尸⑶"在区间上的最大值是()

A.IB.3

C.9D.27

解析人)W在区间［-2,-1］上为减函数，当尸-2时取得最大值为27.

13.函数段)=2产.13>0,且殍1)恒过定点()

A.(l,-I)B.(IJ)

C.(0,l)D.(0,-l)

解析|由题意知x-1=0,即此时尸2a°-l=1,所以函数恒过定点（1,1）,故选B.

14.（多选）函数产优・4（4）0,且好1）的大致图象不可能是（）

修案|ABD

解析|如果函数的图象是A,那么由l-a=l,得a=0,这与。>0且启1相矛盾，故A不可能;如果函

数的图象是B,那么由4%<0,得0<0,这是不可能的，故B不可能如果函数的图象是C,那么由

0<l-avl,得0<avl,且3a=0,故C可能;如果函数的图象是D,那么由a%vo,得0<0,这是不可

能的，故D不可能.

15.（多选）设指数函数贝x）=a">0,且在1）,则下列等式中正确的是（）

A次%+'）三"次>»

Bfix-y)=f(y)

（3次材）=［/（刈”（〃£Q）

D.伏町用）

答案|ABC

《=空

解析质+丁）=产=）/丸泌）,A^^x-y）=ar>=aV=ayf（y\B对次/。）=产=（心"=网）］"。

对;伏刈"用）¥av）”,D错.

16.（2020宁夏银川一中月考）已知函数氏6="+6（a>0,Wl）的定义域和值域都是［-1,0］,则

a+h=.

cc1+b=-1.

l+b=0,

若a>l,则於）在［10］上为增函数，所以此方程组无解;若0<4<1,则凡1）在

（ar1+b=Q,［a=r3

［-1,0］上为减函数，所以H+0=I解得lb=・2,所以a+b=2

17.若直线y=2a与函数产|小1|（a>0,且存1）的图象有两个公共点，则a的取值范围

是.

「（°④

解析|当0<a<l时,y=|aU|的图象为图I.因为y=2a与广底-1|的图象有两个交点，所以0v2a〈l,

1

2

即0<a<

当时，产|小1|的图象如图2,而产2a>1不可能与y二|oM|有两个交点.综

上,0<。<

18.求下列函数的定义域和值域.

⑴产3隼

(2)y=5-A-l.

g(l)令1«20,得^<1.

•:定义域为(-81].设/=Vl・%20,则3'23°=1,,：值域为[1,+8).

(2)定义域为R,

：5'>0,.：5F>-1,,)值域为(4,+8).

19.已知函数於)="+伙。>0,W1).

(1)若风©的图象如图I所示，求。力的值；

(2)若人力的图象如图2所示，求a,b的取值范围；

(3)在(1)中，若|/(x)|=m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围.

a2+b=0,

a°+。=-2.

1)因为")的图象过点(2,0),(0,-2),所以

解得a=&=-3.

(2)由图象知人外在R上是减函数，

所以0va<l.又40)<0,

即a0+b<0,所以1,所以〃的取值范围是(0,1)力的取值范围<(-a),-l).

(3)画出n1)|二|(百尸-3|的图象如图所示，要使l/U)|=,〃有且仅有一个实数解，则〃?=0或

加23,即m的取值范围是{〃巾〃=0,或〃?23}.

C级学科素养创新练

20.(2020海南调研)己知函数员X)=2',g(x)二/十2ax.

⑴当a=-l时,求函数yyg(x))(-2WxW3)的值域；

(2)设函数<h若乃>0,且〃⑴的最小值为2,求实数a的取值范围.

圈1)当a=-\时虑。))=2*2(2«),

令"=P2x,则y=¥,：xe[-2,3],

”[-1,8],

而y=2〃是增函数，•：2・旷忘256,

停,256]

•:函数yXgtr))的值域是.

(2)易知存0,当a>0时，则力>0,g(x)在(-8,0上是臧函数,在(-〃力)上是增函数,.尔幻的最小

值为g(・a)=・a2<o次入)在也+8)上是增函数，最小值为2/,>2°=1,

V2

而献x)的最小值为2,.：这种情况不可能

当4Vo时，则0v0,g(x)在(-8/)上是减函数且没有最小值次%)在g,+oo)上是增函数,最小值

为

V21

・"(x)的最小值为2片2b=-t满足题意，

(4)=if4)=--

,:gS尸gF河2解得公4

(.1-2勺

,：实数。的取值范围是1.4].

第6章幕函数、指数函数和对数函数

6.3对数函数

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

1.函数y=J10g2X-2的定义域是()

A.(3,+co)B.[3,+oo)

C.(4,+oo)D.[4,+8)

答案|D

dog2x-2>0,

廨稿由题意得k解得x24.

2.(2021山东聊城调研)已知函数4r)=k)g2(x+l),若加)=1,则1等于()

A.OB.1C.2D.3

解析|a+1=2,故a=1.

{y[y=G)；XW[O.+8))

3.设集合知二,N={y|y=logMx£(0』]),则集合MUN等于()

A.(-oo,0)U[l,+oo)B.[0,+8)

C.(-oo,l]D.(-oo,0)U(0,l)

|答案|c

解析W=(01],N=(@,0],因此MU2(-oc,l].

4.(2021湖北宜宾高一调研)函数段)=ggsx|的图象是()

ABCD

莪A

解析y=|log%H的图象是保留y=log3%的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而

把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的.

5.已知对数函数段)=嚏炉3>0,尔1),且过点(9,2)斤)的反函数记为产且力,则g(x)的解析式是

()

A.g(x)=4'B.g(x)=2x

C.ga)=TD.g(x)=3x

|答案|D

解析|由题意得log«9=2,即标二义又：Z>0,.：a=3.因此/(x)=log3X,

•:贝x)的反函数为g(x)=3*.

6.(2021江苏苏州木渎中学月考)函数段)=/一2+]0即3。+]3>0/#。的图象必经过点一

1^1(2,2)

廨丽当x=2时42)=a°+log“l+l=2,所以图象必经过点(2,2).

/logi(3x-2)

7.函数/)=72的定义域是.

加

答案

po^(3x-2)>0,

解得义域是加

丽由(3x・2>0,1

8.根据函数AT）=logK的图象和性质解决以下问题:

⑴若y（a）X2）,求a的取值范围；

⑵求产log2（2x・D在［2,14］上的最大值和最小值.

解函数/（A）=10g2^的图象如图.

⑴：Kl)=10gM为增函数，又加)》(2),

Zlog2«>log22.

・：a>2,即a的取值范围是Q,+8).

(2)72«14,

・：3W2x-lW27.

•：log23Wlog2（2x-l）Wlog227.

・：函数危）=睡2（2丫-1）在［2,14］上的最小值为log23,最大值为log227.

B级关键能力提升练

(3XJC<0,『创的值为

hog2X,X>0,那么

9.已知函数逃入）=)

1

D27

A.27D.

1

27

C.-27D.-

1

--3.故选

力-“3)一3J一27B.

10.（2020江苏南京十三中月考）下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10-的定义域和

值域相同的是（）

A..y=xB.y=lgx

1

C.j=2vD.yN

建D

解画函数y=10®的定义域和值域均为（0,+8）,函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;

函数产1改的定义域为（0,+劝,值域为R,不满足要求;函数产2*的定义域,为R,值域为（0,+oo）,

1

不满足要求;函数产8的定义域和值域均为（0,+00）,满足要求.故选D.

ii.下图中有六个函数的图象，依据图象用表示出以下五个量的大小关系,正确的

是（）

（注:图中y=bx与y=\og2X关于y=x对称）

A..a<c<\<b<d

B.a<\<d<c<b

C.a<1<c<b<d

D.a<\<c<d<b

陵画由指数函数与对数函数的图象可知,avl力=2,lvcv2,d>2,所以有vcvb".故选C.

12.若函数y=loga32.ax+l）有最小值，则a的取值范围是（）

A.（O,1）B.（0J）U（L2）

C.（L2）D.［2,+8）

fgc

解析|当a>\时,y有最小值，则说明For+l有最小值，故For+l=0中/v0,即424Vo，所以

1<"2.当0<々<1时,y有最小值，则说明f-or+l有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去.综

上可知，故选C.

…江苏™“4/f满足的关系式是（）

A.a"且b>\

且0<£><1

Cb>l,且031

D.Ovavl,且0</?<1

|答案|c

|10易；；上,

-ioga，知log”>0,.：0<。<1;由|10驱|二-】0眄,知10眄〈0,.：/?>1,故选仁

14.（多选）函数产10&/（心0,存1）在［2,4］上的最大值与最小值的差是1,贝］。的值可以为（）

42

A.V2B.2C.2D.

怪案|CD

4

----7

解析当a>\时.函数y=\og（tx在［2.4］上是增函数.所以log41og“2=l.即log“=1.所以a=2.当

21

0<a<1时，函数y=logfAv在［2,4］上是减函数，所以10^2-10^,4=1,即log/=1,所以。=2综上知。二2

或a

15.（多选）（2021福建厦门调研）若函数兀r）=lo&（x+b）的图象如图，其中a,b为常数，则函数

g（x）=ax+b的图象不可能是（

答案|ABC

解析由函数兀v）=logfl（x+b）的图象可知，函数y（x）=log"（x+b）在（6+8）上是减函数，所以0<<7<1

且OvAv1,所以g（x）=c^+b在R上是减函数,故排除A,B;由g（x）的值域,为（瓦+8）,所以g（x）=ax+b

的图象应在直线y=b的上方而Ovbvl,故排除C.

16.（多选）（2021湖南长沙调研涵数段）的定义域为D若满足:纵）在。上具有单调性;②i?在

S力区D使凡r）在［4用上的值域为122」,那么就称了可㈤为，，半保值函数”，若函数

40=1。改（"+户）（4>0,存1）是“半保值函数”，则t的取值可以为（）

111

45fl

A.B.OCD.-

®AD

庭函函数於）=10&（。,+~）（。>0,/1）是“半保值函数”，且定义域为R.当a>\时,2="+产在R上

是增函数j=log〃z在（0,+oo）上是增函数，可得/幻为R上的增函数;当0<«<1时<x）仍为R上的

增函数，

•JCv)在定义域R上为增函数人lAlogXa'+PAX,

XX

c区区C

.："+-=，则/-+产=0.

X

02

令〃=，〃＞0,则〃2.〃+尸=0有两个不相等的正实根.

得/=14尸＞0,且尸＞0,

V4-X2

17.函数/(x)=lnx的定义域为

静熏|{疝)3$2,且“1}

(4-X2＞0.

卜＞0,

丽由Xj得0〈x《2且*1.

V4-%2

・：函数40=1nx的定义域为30令W2且/1}.

(ax+bjc<0.

+1),x>0

18.函数犬r)=